第17讲 导数中的恒（能）成立及不等式的证明（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

第17讲导数中的恒（能）成立及不等式的证明TOC\o"1-2"\h\u题型一导数中单变量恒成立问题 1题型二导数中单变量能成立问题 4题型三导数中双变量恒（能）成立问题 5题型四导数中双函数恒（能）成立问题 6题型五导数中不等式的证明 7课时精练 9【基础回顾】知识点1：利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．知识点2：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)（2）∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)（3）∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)（4）∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)知识点3：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=f(x)，x∈[a,b]，y=g(x)，x∈[c,d]．（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．题型一导数中单变量恒成立问题【解决方法】：方法1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若a>f(x)对恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需③求最值.方法2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ方法3、等价转化法当遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数H(x)=g(x)−f(x)，进而只需满足F(x)min≥0，或者方法4、必要条件探路法必要性探路法是求解带参数的恒成立问题的重要法宝.我们在解决问题时,先从满足题意的自变量范围中选择一个数,代入求得一个参数范围,此时这个范围是题意的必要条件.之后再设法证明该必要条件是题意的充分条件,或者讨论别的点.若充分性成立,则该范围就是题目所求范围.这种方法是逻辑条件的充分运用,因为先得到必要条件,故称为必要性探路法.基本步骤：（1）探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性.选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）.（2）证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调.①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案;②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.注意:这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本.方法5、端点效应：又名充分必要法，是必要条件探路法的特殊情况：端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理:（1）如果函数在区间[a,b]上,f(x)≥0恒成立,则f(a)≥0或f(b)≥0.（2）如果函数在区间[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0（或f(b)=0）,则f'(a)≥0（或f'(b)≤0）.（3）如果函数在区间[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0,f'(a)=0（或f(b)=0,f'(b)≤0）则f''(a)≥0（或f''(b)≤0）.【例题精讲】1．函数f(x)=exx+x2−2x−a(x>0)A．(e,+∞) B．[e−1,+2．若函数fx=kx−lnx在区间12A．12,+∞ B．2,+∞ C．3．已知不等式ax−x−lnx≥0对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围为（A．1,+∞ B．1e,+∞ C．4．若函数f(x)=ex+a总在直线y=x−1的上方，则实数a的取值范围是（A．(−1,+∞) B．(−e,−2) C．5．函数fx=ex−e−xA．2,+∞ B．1,+∞ C．−∞6．若x∈0,+∞，x2A．3 B．2 C．1 D．07．已知关于x的不等式elnmx−x+2>x+2eA．1,e3+23 B．1,e38．若对于任意x>0，不等式ex−ax≥1恒成立，则实数a的最大值为9．已知a>0,fx=1−lnxx，对任意x110．设实数λ>0，若对任意x∈(1,+∞)，不等式eλx−(λ+1)x+ln题型二导数中单变量能成立问题（1）∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)（2）∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)【例题精讲】1．已知函数f(x)=x2A．(e−32,+∞) B．(2e2．已知函数fx=xcosx−sinx，若存在A．−π B．2π C．−1 3．已知函数f(x)=13x3−3x2+8xA．[7，+∞） B．[193，+∞) C．[4．设函数f(x)=(2x−1)ex−a+a(a<1)，若f(x)≤0有且仅有2个整数解，则A．14e B．12e C．5．已知函数f(x)=alnx−12xA．(0,+∞) B．(−1,+∞) C．6．已知函数fx=x2−a+2x+alnx，其中a∈A．12,+∞ B．22,+∞7．已知函数fx=x2−x,x⩽0,x−alnx,x>0,若A．0,e B．C．e,+∞ 8．已知函数fx=xcosx−sinx，若存在x∈0,29．已知函数f(x)=x2−2lnx，若关于x的不等式f(x)−m≥0在[1,10．已知函数fx=mx−e−x，若存在x∈R，使得fx题型三导数中双变量恒（能）成立问题一个函数，两个变量。主要为齐次化消元，同构消元，对称化消元。【例题精讲】1．已知函数fx=lnx,x≥11−x2,x<1，若A．4−2ln2,+∞ B．1+e,+∞2．函数fx=aex+lnx+ba∈A．2ln2 B．3ln2 C．3．已知2025lna=a+m,2025lnb=b+m，其中a≠b，若ab<λ恒成立，则实数A．[(2025e)2,+∞)4．已知函数fx=ex−ax+a有两个不同的零点xA．1<x1<C．x1−1x5．已知实数x，y满足lny=e2xy−A．1e2 B．1e C．e6．已知fx=lnx−ax+aA．x1+xC．fx1+f7．已知函数fx=xlnx−k，gx=x，若存在x1∈1,A．−∞,0 B．−∞,1 C．8．（多选）若mn−m=em−1A．当m>0时，m=lnn B．当0<n<1C．当m>0时，n2+2m+3>4n D．∃n∈(0,+9．（多选）已知正数x,y满足xlnx=eA．y是x的函数 B．x是y的函数C．y+1xy<1 D．ln10．（多选）若函数f(x)=x−12aln2x,(a∈R)有两个极值点A．a>e B．fx1<1 C．题型四导数中双函数恒（能）成立问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【例题精讲】1．已知函数f(x)=e2x,g(x)=x−1，对任意x1∈R，存在x2∈(0,+A．1 B．2C．2+ln2 2．已知函数f(x)=xex+ex,g(x)=xlnA．−1 B．−1e C．1 3．已知函数f(x)=−x2−6x−3，g(x)=ex+exex实数m，n满足m<n<0，若A．2 B．4 C．23 D．4．已知f(x)=lnx+x−a,g(x)=x+ex+a,fx1A．[−1,+∞) B．(−∞,e]5．若函数fx=ex−1x，gx=x1+A．若x1>B．若x1<C．存在xD．存在x0，使得当x1>x0，x2>6．已知在函数fx=ax+ba>0,b>0，gx=lnx+2，若对∀x>−2A．0,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞ D．[e,+∞)7．若不等式x4−4x3>2−a对任意实数xA．a<−27 B．a>−25 C．a≥29 D．a>298．已知函数f(x)=lnxx,g(x)=ex−ax，若∀9．已知函数fx=ex−x，gx=x−lnx10．已知fx=lnx−x4+34x，gx=−题型五导数中不等式的证明1．已知函数f（x）＝ex+1﹣eln（x+a）+b﹣2在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（1﹣e）x﹣y+1﹣e＝0．（1）求a，b；（2）证明：f（x）+1＞0．2．已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）+1．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a≤2时，证明：当x＞0时，f（x）＜ex恒成立．3．设函数f（x）＝e2x﹣2ax．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调性；（3）证明：当a＞0时，f(x)≥lna−a4．已知函数f(x)=x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证f（x1）+f（x2）＜﹣16+16ln25．设a、b为实数，且a＞1，函数f（x）＝ax，g（x）＝bx﹣e2．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当b＝lna时，证明：f（x）≥g（x）+e2+1；（3）若曲线y＝f（x）与直线y＝g（x）有且仅有两个交点，求blna6．已知函数f（x）＝memx﹣1﹣lnx（m＞0），其图像在x=1（1）求m的取值范围；（2）证明：f(x)＞m−1（3）证明：∀x1，x2∈(1m，+∞)，f（x1+x2）＞f注：ln2≈0.69．7．已知a≠0，函数f（x）＝ax﹣a2lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a＞0时，f（x）≥2a2﹣a3．8．设函数f(x)=lnx+3（1）a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值．（2）讨论f（x）的单调性．（3）当a＜0时，证明：f(x)≤−19．已知函数f（x）＝ex+a﹣lnx（a∈R）．（1）设x＝1是f（x）的极值点，求a，并求函数f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）≥2+a．10．已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex，g(x)=x（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间．（2）求证：g(x)＞−1（3）令h（x）＝f（x）﹣g（x），若对任意不同的x1，x2∈[1，e]，都有|h（x1）﹣h（x2）|＜3|x1﹣x2|，求实数a的取值范围．课时精练一、单选题1．已知函数fx=ex2x−1，若fx≥kx−kA．−∞,−e B．−∞,−e2．已知函数f′x是函数fx的导函数，f1=e−1，对任意实数xA．−∞,1 C．1,e D．3．若关于x的不等式x2−2lnx+m≥0恒成立，则实数A．−1,+∞ B．e,+∞ C．−4．若∃m∈R使得不等式lnxx−mln2−lnA．1 B．e C．4 D．25．当x>1时，关于x的不等式(2x−1)ex−a(x−1)≤0仅有两个正整数解，则实数aA．4e32,3e2 B．36．若存在x>0使得不等式aex+1−x≤1A．0,1 B．[e,+∞) C．7．已知函数fx=2ex+1+x+1A．−∞,1−2lnC．−∞,2−3ln8．若对任意正实数x，y都有2y−xelnx−lnA．0,1 B．0,C．−∞,0∪二、多选题9．（多选）已知函数f(x)=a2x2−ax+A．a的取值范围是(−∞,0)∪(4,+∞C．x1x2的取值范围是0,1410．（多选）对于函数fx=xA．函数fxB．x=1是函数fxC．点−1,f−1是曲线y=fD．∀x∈−5,+∞，f11．（多选）已知函数fx=eA．.若fx≥0B．若存在x0≥0，使得fC．若fx有两个零点x1D．若fx有两个零点x1三、填空题12．已知fx=x+4x，gx=x3−3x+8−a，若对∀13．已知函数fx=xcosx−sinx，若∀x∈0,214．已知函数fx=lnxx，gx=lnx+1−ax四、解答题15．已知函数fx(1)当a=0时，求fx(2)若gx=fx+3aex对定义域内任意实