沪教版七年级数学上册《分式的加减法》教案

沪教版七年级数学上册《分式的加减法》教案

一、教学指导思想与理论依据

本节课的教学设计以《义务教育数学课程标准》为根本遵循，强调数学核心素养的落地，特别是数学运算能力和逻辑推理能力的培养。设计秉持“以学生发展为本”的理念，将教学过程视为学生在教师引导下主动建构知识、发展思维的过程。理论支撑主要来源于建构主义学习理论，强调学习者利用已有认知结构（分数的加减法）同化和顺应新知识（分式的加减法），通过主动探究、合作交流实现意义建构。同时，融合“问题驱动教学法”，通过精心设计的问题链，激发学生认知冲突，引导其深入思考，经历数学知识的发生、发展与应用过程，从而深刻理解分式加减法的本质是转化为同分母分式的运算，掌握通分这一关键技能，体会类比、化归等基本数学思想。

二、教材内容分析

“分式的加减法”是沪教版七年级数学上册第十章“分式”中的核心内容，是在学生已经掌握了整式四则运算、因式分解以及分式的概念、基本性质及约分、乘除法运算的基础上进行的自然延伸。从知识结构上看，它既是分式基本性质及通分的直接应用，又是后续学习分式方程、反比例函数以及解决相关实际问题的重要运算工具。教材通常遵循由简到繁的认知规律，先安排同分母分式的加减法，再重点突破异分母分式的加减法，其中确定最简公分母和进行通分是教学的关键与难点。本课时内容蕴含着丰富的数学思想方法，如类比思想（类比分数加减法）、化归思想（将异分母分式化为同分母分式）和整体思想，是培养学生数学思维能力的良好载体。

三、学情分析

授课对象为七年级学生。他们的认知发展正处于从具体运算向形式运算过渡的阶段，具备一定的抽象逻辑思维能力，但仍需具体实例的支撑。

认知基础：

1.知识基础：学生已经熟练掌握了分数的通分与加减法运算规则，这是学习本课最直接、最重要的认知起点。同时，他们学习了分式的概念、基本性质，能够进行分式的约分和乘除运算，掌握了因式分解的几种基本方法（提公因式法、公式法），这些是进行分式通分和运算化简的必要前提。

2.能力基础：具备初步的观察、类比、归纳能力，能够进行简单的代数式变形与运算。

可能存在的困难：

1.从数到式的思维跨越：虽然分数与分式具有高度相似性，但用含有字母的代数式代替具体的数字，对部分学生的符号意识与抽象能力仍构成挑战。

2.最简公分母的确定：当分母是多项式时，如何准确地将其因式分解，并从中确定最简公分母，是学生普遍感到困难的地方。

3.运算结果的化简：学生容易在分子合并同类项、因式分解及最终约分等后续步骤中出现错误，或忽略将运算结果化为最简分式或整式的要求。

4.符号处理：在通分或分子相加减时，涉及多项式前的负号，容易出现符号错误。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.理解并掌握同分母分式相加减的运算法则，并能熟练进行计算。

2.理解并掌握异分母分式相加减的运算法则，经历将异分母分式转化为同分母分式的过程，掌握通分的关键技能，特别是最简公分母的确定方法。

3.能熟练、准确地进行分式的加减混合运算，并能将运算结果化为最简形式。

（二）过程与方法

1.通过类比分数加减法的运算法则，探索分式加减法的运算法则，体会类比思想在数学学习中的重要作用。

2.在探索异分母分式加减法的过程中，经历“发现问题（分母不同）—寻找方法（通分）—解决问题（化为同分母）”的完整思维过程，发展化归意识与探究能力。

3.通过例题解析与变式训练，提高运算的准确性、规范性和灵活性。

（三）情感态度与价值观

1.在类比猜想与探究验证的活动中，获得数学发现的体验，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.通过克服运算中的难点（如确定最简公分母、处理符号等），培养严谨细致、坚持不懈的数学学习态度。

3.体会分式作为刻画现实世界数量关系的有效模型，感知数学的应用价值。

五、教学重难点

教学重点：

1.分式加减法的运算法则。

2.异分母分式加减法中通分的方法，特别是最简公分母的确定。

教学难点：

1.当分式的分母为多项式时，最简公分母的确定。

2.分式加减混合运算中符号的处理与运算结果的化简。

六、教学方法与策略

主要教学方法：

1.类比发现法：引导学生回顾分数加减法，通过类比，大胆猜想分式加减法的法则，实现知识的正向迁移。

2.问题驱动教学法：围绕“如何计算分母不同的分式加法？”这一核心问题，设计层层递进的问题串，驱动学生主动思考通分的必要性与方法。

3.探究式教学法：在法则的得出和难点突破环节，组织学生进行小组合作探究，通过举例、尝试、讨论、辨析，自主构建知识。

4.讲练结合法：精讲法则与通分要点，辅以由浅入深的阶梯式练习，及时巩固，反馈矫正。

学习策略指导：

指导学生运用“类比—猜想—验证—应用”的学习路径，强调“先看分母，确定法则；异分母先通分；结果必化简”的运算流程，培养良好的运算习惯。

七、教学准备

教师准备：多媒体课件（PPT或几何画板等），包含问题情境、动画演示通分过程、例题、阶梯式练习题、课堂小结框架等；精心设计的课堂导学案。

学生准备：复习分数的加减法、分式的基本性质及因式分解；预习课本相关内容。

八、教学过程设计

（一）创设情境，问题引入（约5分钟）

【活动设计】

1.课件展示一个实际问题：

工程队甲单独完成一项工程需要a

a

a天，工程队乙单独完成需要b

b

b天。

（1）甲队一天完成这项工程的几分之几？乙队呢？

（2）两队合作一天，能完成这项工程的几分之几？

2.学生根据“工作效率=工作总量÷工作时间”易得出：（1）甲队效率为1

a

\frac{1}{a}

a1​，乙队效率为1

b

\frac{1}{b}

b1​。（2）合作效率为1

a

+

1

b

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}

a1​+b1​。

3.教师提问：1

a

+

1

b

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}

a1​+b1​等于多少？该如何计算？它与我们学过的什么运算类似？

【设计意图】从贴近生活的工程问题引入，自然生成异分母分式相加的算式，使学生明确学习本课内容的现实必要性。最后的提问将学生的思维引向与分数运算的类比，为新课探索定向。

（二）温故知新，类比猜想（约8分钟）

【活动设计】

1.回顾旧知：教师引导学生快速口答：

2

7

+

3

7

=

?

\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=?

72​+73​=?5

9

−

2

9

=

?

\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=?

95​−92​=?

同分母分数相加减，法则是什么？

1

2

+

1

3

=

?

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=?

21​+31​=?你是如何计算的？

异分母分数相加减，关键步骤是什么？

2.类比猜想：

（1）计算：3

x

+

2

x

\frac{3}{x}+\frac{2}{x}

x3​+x2​，5

a

−

3

a

\frac{5}{a}-\frac{3}{a}

a5​−a3​。学生尝试计算，并说明依据。

教师引导学生归纳：同分母分式相加减，分母______，把分子______。用式子表示：a

c

±

b

c

=

\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=

ca​±cb​=______。

（2）那么，如何计算1

a

+

1

b

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}

a1​+b1​呢？它类似于异分母分数相加，你认为关键是什么？（通分）

如何对1

a

\frac{1}{a}

a1​和1

b

\frac{1}{b}

b1​进行通分？它们的公分母是什么？（a

b

ab

ab）

请尝试写出计算过程：1

a

+

1

b

=

b

a

b

+

a

a

b

=

a

+

b

a

b

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}

a1​+b1​=abb​+aba​=aba+b​。

3.初步感知：师生共同完成情境中问题的计算。

【设计意图】从最熟悉的同分母分数运算入手，通过具体数字到字母的替换，让学生轻松得出同分母分式的法则，建立信心。进而将异分母分式问题与异分母分数进行类比，引导学生自觉运用“通分”这一策略，并完成最简单的异分母分式加法，为探究一般法则做好铺垫。

（三）合作探究，建构新知（约15分钟）

【活动设计】

1.探究一：异分母分式加减法法则

1.2.问题一：计算1

x

+

1

y

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

x1​+y1​。学生独立完成，教师板书规范步骤。

2.3.问题二：计算1

2

a

+

2

3

b

\frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}

2a1​+3b2​。同桌讨论：公分母如何确定？（引导学生思考系数和各字母因子的取法）

3.4.问题三：计算3

x

−

1

+

2

x

\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x}

x−13​+x2​。小组合作探究：

（1）现在的分母是什么？（多项式x

−

1

x-1

x−1和单项式x

x

x）

（2）它们的分母是x

−

1

x-1

x−1和x

x

x，公分母是什么？为什么？（x

(

x

−

1

)

x(x-1)

x(x−1)，因为它们是互质的整式）

（3）请写出完整计算过程。

4.5.归纳法则：在完成以上三个层次例题的基础上，教师引导学生小组讨论，尝试用文字和符号语言归纳异分母分式加减法的法则。

文字语言：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

符号语言：a

b

±

c

d

=

a

d

b

d

±

b

c

b

d

=

a

d

±

b

c

b

d

\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pmbc}{bd}

ba​±dc​=bdad​±bdbc​=bdad±bc​（其中b

,

d

b,d

b,d均不为零）。

6.探究二：如何确定最简公分母？（教学难点突破）

1.7.教师出示一组分母：2

x

2x

2x,3

y

3y

3y；4

a

2

b

4a^2b

4a2b,6

a

b

2

6ab^2

6ab2；(

x

−

2

)

(x-2)

(x−2),x

x

x；(

x

−

y

)

2

(x-y)^2

(x−y)2,(

y

−

x

)

(y-x)

(y−x)；x

2

−

4

x^2-4

x2−4,x

−

2

x-2

x−2。

2.8.小组竞赛与辨析：以小组为单位，快速写出每组式子的最简公分母，并派代表说明理由。教师重点引导辨析：

（1）系数取各分母系数的最小公倍数。

（2）字母（或因式）取各分母中所有字母（或因式）的最高次幂。

（3）分母是多项式时，必须先进行因式分解，再确定最简公分母。

（4）处理像(

y

−

x

)

(y-x)

(y−x)这样的因式，需利用符号法则化为−

(

x

−

y

)

-(x-y)

−(x−y)，以便识别相同因式。

3.9.教师精讲点拨：总结确定最简公分母的“三步法”：一“系”（系数最小公倍数）；二“字”（所有字母或因式）；三“指”（相同因式的最高指数）。并用思维导图呈现。

【设计意图】本环节是本节课的核心。通过三个由易到难的问题层层推进，让学生在实践中逐步体会异分母分式加减的过程。重点设计小组合作探究环节，让学生在面对分母为多项式的挑战时，通过讨论、辨析，自主发现“因式分解”和“处理符号”的必要性，从而深刻理解确定最简公分母的原理与方法。教师的精讲在探究之后，起画龙点睛和系统提升的作用。

（四）典例精析，深化理解（约12分钟）

【活动设计】

教师出示例题，师生互动，强调步骤与规范。

例1：计算3

2

x

2

y

−

2

3

x

y

2

+

5

4

x

y

\frac{3}{2x^2y}-\frac{2}{3xy^2}+\frac{5}{4xy}

2x2y3​−3xy22​+4xy5​

1.分析：分母均为单项式。引导学生口述最简公分母（12

x

2

y

2

12x^2y^2

12x2y2），并说明理由。

2.板书示范：详细展示通分过程，强调分子整体性（第二个分式的分子是“-2”，通分后分子是−

2

⋅

4

x

-2\cdot4x

−2⋅4x），以及运算结果的化简。

例2：计算x

x

2

−

4

−

1

x

+

2

\frac{x}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}

x2−4x​−x+21​

1.分析：分母存在多项式。提问：第一步做什么？（分解第一个分式的分母：x

2

−

4

=

(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

x^2-4=(x+2)(x-2)

x2−4=(x+2)(x−2)）

2.学生板演：请一名学生上台板演，其他学生在学案上完成。

3.师生共评：重点关注：①分母因式分解是否正确；②最简公分母是否为(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

(x+2)(x-2)

(x+2)(x−2)；③通分后第二个分式的分子是“-1”，应化为“−

(

x

−

2

)

-(x-2)

−(x−2)”并与前面的负号合并处理；④分子合并后是否可约分。

4.变式：若将“-”改为“+”，结果如何？若计算1

x

+

2

−

x

x

2

−

4

\frac{1}{x+2}-\frac{x}{x^2-4}

x+21​−x2−4x​，符号处理上有什么不同？

例3：计算m

−

2

n

n

−

m

+

m

m

−

n

−

2

m

n

−

m

\frac{m-2n}{n-m}+\frac{m}{m-n}-\frac{2m}{n-m}

n−mm−2n​+m−nm​−n−m2m​

1.分析：涉及分母互为相反数的情况。引导学生发现n

−

m

=

−

(

m

−

n

)

n-m=-(m-n)

n−m=−(m−n)，统一分母为m

−

n

m-n

m−n或n

−

m

n-m

n−m。

2.解法比较：展示统一为m

−

n

m-n

m−n的解法，重点讲解如何改变分子符号。

【设计意图】例题设计涵盖不同层次和类型。例1巩固单项式分母的运算流程；例2重点突破多项式分母的因式分解和通分，通过板演和讲评暴露并纠正典型错误；例3专项训练分母互为相反数的处理技巧，提升学生符号变形和灵活处理问题的能力。变式训练旨在举一反三。

（五）巩固练习，分层递进（约12分钟）

【活动设计】

使用导学案或课件投影练习题，采取“独立完成—小组互查—全班反馈”的形式。

A组（基础巩固）：

1.填空：1

x

+

1

2

x

=

\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=

x1​+2x1​=______；2

a

−

b

−

3

a

+

b

\frac{2}{a-b}-\frac{3}{a+b}

a−b2​−a+b3​的最简公分母是______。

2.计算：

（1）5

3

a

+

2

3

a

\frac{5}{3a}+\frac{2}{3a}

3a5​+3a2​

（2）3

b

4

a

2

−

c

6

a

b

\frac{3b}{4a^2}-\frac{c}{6ab}

4a23b​−6abc​

（3）2

x

−

3

+

x

3

−

x

\frac{2}{x-3}+\frac{x}{3-x}

x−32​+3−xx​

B组（能力提升）：

3.计算：

（1）1

x

2

−

1

+

1

x

2

+

2

x

+

1

\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2+2x+1}

x2−11​+x2+2x+11​

（2）a

+

2

a

2

−

4

−

1

a

−

2

\frac{a+2}{a^2-4}-\frac{1}{a-2}

a2−4a+2​−a−21​

（3）x

x

−

y

⋅

y

2

x

+

y

−

x

4

y

x

4

−

y

4

÷

x

2

x

2

+

y

2

\frac{x}{x-y}\cdot\frac{y^2}{x+y}-\frac{x^4y}{x^4-y^4}\div\frac{x^2}{x^2+y^2}

x−yx​⋅x+yy2​−x4−y4x4y​÷x2+y2x2​（涉及综合运算）

C组（拓展思考）：

4.已知1

x

−

1

y

=

3

\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3

x1​−y1​=3，求代数式2

x

+

3

x

y

−

2

y

x

−

2

x

y

−

y

\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}

x−2xy−y2x+3xy−2y​的值。

教师巡视指导，重点关注学困生对A组题的掌握情况。对B、C组题进行适时点拨，鼓励学有余力的学生探究。练习后针对共性问题进行集中讲解。

【设计意图】分层练习满足不同层次学生的学习需求，使所有学生都能获得成功的体验。A组题确保基础知识和基本技能人人过关；B组题在复杂情境中应用法则，锻炼综合能力；C组题引入条件求值，渗透整体代入思想，培养思维灵活性。小组互查有助于生生互助，提高课堂效率。

（六）课堂小结，反思升华（约5分钟）

【活动设计】

教师引导学生围绕以下问题，以知识树或框架图的形式进行总结：

1.本节课我们学习了哪些运算法则？它们的核心思想是什么？（类比、化归）

2.进行异分母分式加减运算的一般步骤是什么？

（①确定最简公分母；②通分；③同分母分式相加减；④化简结果。）

3.在确定最简公分母和处理运算过程中，有哪些需要特别注意的易错点？

（①分母是多项式先分解；②正确处理符号，特别是分子是多项式时的整体性；③结果必须化为最简形式。）

4.你还有什么疑惑或收获？

学生自由发言，教师补充完善，并展示完整的知识结构图。

【设计意图】引导学生从知识、方法、易错点等多个维度进行自主梳理，将零散的知识点系统化、结构化。反思环节有助于学生元认知能力的提升，使学习效果得到巩固和深化。

（七）布置作业，延伸拓展（约3分钟）

【分层作业】

必做题：课本对应章节的练习题，完成A组和B组部分。

选做题：

1.设计一道包含分式加减运算的应用题并解答。

2.探究：当两个分式分母是二次三项式时（如x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q），如何高效确定最简公分母？它与因式分解有何关系？

预习作业：阅读下一节“分式的混合运算”，思考其运算顺序。

【设计意图】必做题巩固课堂所学，选做题兼顾应用与探究，为学有余力的学生提供发展空间。预习作业为下节课做铺垫，形成学习连贯性。

九、板书设计

主板（左侧）：

课题：分式的加减法

一、同分母分式相加减

法则：分母不变，分子相加减。

a

c

±

b

c

=

a

±

b

c

\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pmb}{c}

ca​±cb​=ca±b​（c

≠

0

c\neq0

c=0）

二、异分母分式相加减

1.法则：先通分，化为同分母分式，再加减。

a

b

±

c

d

=

a

d

b

d

±

b

c

b

d

=

a

d

±

b

c

b

d

\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}