辽科院机械制图讲义

绪论1.1课程的研究对象在工程中，根据国家标准和有关规定，应用正投影理论准确地表达物体的形状、大小及其技术要求的图纸，称为图样。图样是人们表达设计思想、传递设计信息、交流创新构思的重要工具之一，是现代工业生产部门、管理部门和科技部门中一种重要的技术资料，在工程设计、施工、检验、技术交流等方面有着极其重要的地位，因此，图样被喻为“工程界的语言”。“机械制图”是一门研究绘制和阅读机械图样的技术基础课，在工科院校中，是相关专业培养高级工程技术应用型人才必须学习的一门主干课，是每个从事机械行业的工程技术人员都必须学习和熟练掌握的技能。1.2学习任务和内容本课程的主要任务是：1．学习和掌握正投影的基本理论及应用，能够绘制和阅读中等复杂程度机械图样。2．熟悉并贯彻执行《技术制图》与《机械制图》国家标准的有关规定，培养查阅有关标准、手册的能力。3．培养和发展学生的空间想象力以及分析问题、解决问题的能力。4．熟练地掌握AutoCAD绘图技能，同时培养学生在尺规绘图和徒手绘图方面的综合能力5．培养学生一丝不苟的工作作风和严谨的工作态度。本课程包括的内容如下：1.3课程的学习方法1．本课程是实践性很强的技术基础课，在学习中除了掌握基本理论知识外，还必须密切联系实际，更多地注意在具体作图时如何运用这些理论。因此，必须通过一系列绘图、看图练习，才能掌握本课程的基本原理和基本方法。2．在学习中，必须经常注意空间几何关系的分析以及空间几何元素与其投影之间的相互关系。只有“从空间到平面，再从平面到空间”，进行反复研究和思考，才是学好本课程的有效方法。3．在计算机绘图的训练中，应掌握AutoCAD的绘图设置、编辑和绘图方法，不断提高综合应用AutoCAD各种命令的绘图技能。4．注意正确使用绘图仪器，不断提高尺规绘图技能和绘图速度。5．认真听课，及时复习，独立完成作业，有意识的培养自学能力和学生的标准意识，提高创新意识，养成认真工作的习惯，这是21世纪高技能人才必备的基本素质。

第1章制图的基本知识机械图样是工程上用以表达设计意图和交流技术思想的技术文件，是工程界的技术语言。设计师通过图样设计新产品，工艺师依据图样制造新产品。此外，机械图样还广泛应用于技术交流。在各个工业部门，为了科学地进行生产和管理，对机械图样中的图幅的安排、尺寸注法、图样画法、图纸大小、图线等内容，都做出了统一规定，这些规定称为制图标准。本章主要介绍由国家质量技术监督局最新颁布的《技术制图》、《机械制图》国家标准(以下简称国标)中的有关规定，同时介绍绘图工具的使用、几何作图和平面图形的绘图方法等有关的制图基本知识。国家标准代号为“GB”，它是由“国标”两个字的汉语拼音的第一个字母“G”和“B”组成的，例如“GB/T14690－1993”，国标后面的两组数字分别表示标准的序号和颁布的年份。国家标准的代号以“GB”开头者为强制性标准，国家标准的代号以“GB/T”开头者为推荐性标准。图样在国际上也有统一的标准，即ISO标准(InternationalStandardizationOrganization的缩写)，这个标准是由国际标准化组织制定的。我国1978年参加国际标准化组织后，为了加强我国与世界各国的技术交流，国家标准的许多内容已经与ISO标准相同了。1.1国家标准有关制图的规定1.1.1图纸幅面及格式1．图纸幅面(GB/T14689－1993)标准图幅共有五种，其尺寸见表1-1所示。绘制图样时应优先采用这些图幅尺寸，必要时也允许加长幅面。加长幅面的尺寸是由基本幅面的短边成整数倍增加后得出的，见图1-1。

表1-1图纸幅面尺寸幅面代号A0A1A2A3A4B×L841×1189594×841420×594297×420210×297a25c105e2010

图1-1图幅及加长边2．图框格式图纸可以横放，也可以竖放。每张图纸上都必须用粗实线画出图框，其格式有两种，一种是用于需要装订的图纸，如图1-2a所示；另一种则用于不需要装订的图纸，如图1-2b所示。同一产品的图样只能采用一种格式。图1-2图框格式a)需要装订的图框格式

b)不需要装订的图框格式3.标题栏格式每张图纸都必须具有一个标题栏，它通常位于图纸右下角紧贴图框线的位置上。标题栏的格式和内容在国家标准GB10609.1－1989中作出了详细的规定，如图1-3所示，它适用于工矿企业等各图1-3标题栏举例种生产用图纸。而一般在学校的制图作业中可采用图1-4所示的标题栏格式及尺寸。必须注意的是标题栏中文字的书写方向即为读图的方向。图1-4推荐学生使用的标题栏格式1.1.2比例(GB/T14690－1993)绘制图样时所采用的比例，是指图样中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。比值为1的比例，即1︰1，称为原值比例；比值大于1的比例，如2︰1等，称为放大比例；比值小于1的比例，如1︰2等，称为缩小比例。绘制图样时，应尽可能按机件的实际大小采用1︰1的比例画出，以方便绘图和看图。但由于机件的大小及结构复杂程度不同，有时需要放大或缩小，当需要按比例绘制图样时，应由表1-2中所规定的第一系列中选取适当的比例，必要时也可选取表1-2第二系列的比例。

表1-2比例种类比例第一系列第二系列原值比例1:1放大比例2:15:11×10n:12×10n:15×10n:12.5:14:12.5×10n:14×10n:1缩小比例1:21:51:101:1×10n1:2×10n1:5×10n1:1.51:2.51:31:41:61:1.5×10n1:2.5×10n1:3×10n1:4×10n1:6×10n注：n为正整数在图样上标注比例应采用比例符号“︰”表示，如1︰1、2︰1等，并在标题栏的比例栏中填写。在同一张图样上的各图形一般采用相同的比例绘制；当某个图形需要采用不同的比例绘制时，可在视图名称的下方或右侧标注比例，如：、。不论采用何种比例，图上所注的尺寸数值均应为机件的实际尺寸，如图1-5所示。图1-5采用不同比例绘制的同一图形a)1:1b)1:2c)2:11.1.3字体(GB/T14691－1993)图样上除了表达机件的图形外，还需要用数字和文字来说明机件的大小和技术要求等内容。国标规定书写的字体必须字体端正、笔画清楚、排列整齐、间隔均匀。1．字高字体的高度h(单位为mm)代表字体的号数，分为1.8、2.5、3.5、5、7、10、14、20八种。2．汉字汉字应写成长仿宋体，并采用国家正式公布推行的简化字。长仿宋字的书写要领为：横平竖直、注意起落、结构均称、填满方格。汉字的高度不应小于3.5mm，其宽度一般为h/。长仿宋体的书写示例如下所示：机械图样中的汉字数字各种字母必须写得字体端正笔划清楚排列整齐间隔均匀长仿宋体汉字书写示例表1-3字体大小

字体的代号20号14号10号7号5号3.5号2.5号1.8号字高201410753.52.51.8字宽(h/字高)1410753.52.51.81.3注：单位为mm

3．数字数字有阿拉伯数字和罗马数字两种，有直体和斜体之分。常用的是斜体字，其字头向右倾斜，与水平方向约成75°，书写示例如下所示。01234567890123456789阿拉伯数字示例ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ罗马数字示例4．字母字母有拉丁字母和希腊字母两种，常用的是拉丁字母，我国的汉语拼音字母与它的写法一样，每种均有大写和小写、直体和斜体之分。写斜体字时，通常字头向右倾斜与水平线约成75°，以下即为拉丁字母与希腊字母的书写示例。拉丁字母示例(斜体)αβγδεζηθικλμνξ西腊字母示例(斜体)5．应用示例用作分数极限偏差、注脚等的数字及字母一般采用小一号的字体，下面是字体的应用示例。

1.1.4图线(GB/T17450－1998、GB/T4457.4－2002)1．图线及其应用绘制图样时应采用表1-4中规定的各种图线。机械图样中图线的宽度分为粗、细两种，粗线的宽度d应按图的大小和复杂程度在0.5～2mm间选择,常用的线宽约1mm。细线的宽度约为d/2。国标推荐的图线宽度系列为：0.13、0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1、1.4、2mm，图1-6为图线的应用示例。2．图线画法同一张图样中同类图线的宽度应基本一致，虚线、点画线、双点画线的线段长短和间隔应各自大致相等。绘制圆的对称中心线时，圆心应为线段的交点，首末两端应是线段而不是短画或点，且超出图形外2～5mm。在较小的图形上绘制点画线、双点画线有困难时，可用细实线来代替。虚线、点画线或双点画线和实线或它们自己相交时，应以线段相交，而不应在空隙处相交。当虚线、点画线或双点画线是实线的延长线时，连接处应为空隙，如图1-7所示。表1-4图线及应用举例图线名称图线型式图线宽度主要用途粗实线粗线可见轮廓线细实线细线尺寸线、尺寸界线、剖面线、辅助线重合断面的轮廓线、引出线螺纹的牙底线及齿轮的齿根线波浪线细线断裂处的边界线、视图和剖视的分界线双折线细线断裂处的边界线虚线细线不可见的轮廓线、不可见的过渡线细点画线细线轴线、对称中心线、轨迹线齿轮的分度圆及分度线粗点画线粗线有特殊要求的线或表面的表示线细双点画线细线相邻辅助零件的轮廓线、中断线极限位置的轮廓线、假想投影轮廓线图1-6图线应用示例图1-7图线绘制注意事项1.1.5尺寸注法(GB/T4458.4－2003、GB/T16675.2－1996)机件的形状由图形来表达，而大小则必须由尺寸来确定。标注尺寸时，应严格遵守国家标准有关尺寸标注的规定，做到正确、完整、清晰、合理。1．尺寸标注的基本规则1)机件的真实大小应以图样上所标注的尺寸数值为依据，与图形的比例大小及绘图的准确程度无关。2)图样中的尺寸，以mm为单位时，不需标注计量单位的名称或代号，如采用其他单位，则必须注明相应的计量单位或名称(如30°10′5″)。3)图样中所标注的尺寸，应为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则需另加说明。4)机件的每一尺寸，一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。2．尺寸的组成一个完整的尺寸标注由尺寸界线、尺寸线、尺寸数字和表示尺寸线终端的箭头或斜线组成。如图1-8所示。(1)尺寸界线尺寸界线用细实线绘制，用以表示所注的尺寸范围。尺寸界线一般由图形的轮廓线、轴线或对称中心线引出，也可利用轮廓线、轴线或对称中心线作为尺寸界线。通常，尺寸界线应与尺寸线垂直，并超出尺寸线终端2mm左右，必要时允许尺寸界线与尺寸线倾斜，如图1-9所示。图1-8尺寸的基本要素图1-9尺寸界线(2)尺寸线尺寸线用细实线绘制在尺寸界线之间，表示尺寸度量的方向。尺寸线必须单独绘制，不能用其他图线代替，也不得与其他图线重合或画在其他图线的延长线上。标注线性尺寸时，尺寸线必须与所标注的线段平行，如图1-8所示。尺寸线的终端有两种形式：箭头和斜线。机械图样中一般采用箭头作为尺寸线的终端，斜线形式主要用于建筑图样。当尺寸线与尺寸界线垂直时，同一图样中只能采用一种尺寸终端形式。箭头适用于各种类型的图样，如图1-10a所示。图1-10箭头形式斜线用细实线绘制，其画法如图1-10b所示。当尺寸线的终端采用斜线形式时，尺寸线与尺寸界线必须互相垂直。(3)尺寸数字尺寸数字表示所注机件尺寸的实际大小。线性尺寸的数字一般注写在尺寸线的上方，也可注在尺寸线的中断处。尺寸数字的书写方法有两种：1)如图1-11所示，水平方向的尺寸数字字头朝上；垂直方向的尺寸数字，字头朝左；倾斜方向的尺寸数字其字头保持有朝上的趋势。但在30º范围内应尽量避免标注尺寸，当无法避免时，可参照如图1-11b的形式标注。在注写尺寸数字时，数字不可被任何图线所通过，当不可避免时，必须把图线断开，如图1-11c所示。图1-11尺寸数字的方向图1-12线性尺寸数字的注写方法2)如图1-12所示，对于非水平方向的尺寸，其数字可水平地注写在尺寸线的中断处。尺寸数字的注写一般采用第一种方法，且注意在一张图样中，尽可能采用同一种方法。3．常用的尺寸标注法根据国家标准的有关规定，表1-5列举了一些常见的尺寸注法示例以供参考。表1-5尺寸注法的基本规定内容示例说明角度角度的尺寸界线应沿径向引出。尺寸线应画成圆弧，其圆心是该角的顶点。角度的尺寸数字一般应注写在尺寸线的中断处，并一律写成水平方向，必要时也可写在尺寸线的上方、外面或引出标注直径和半径直径、半径的尺寸数值前，应分别注出符号“ɸ”“R”。对球面，应在符号“ɸ”“R”前加注符号“S”，在不致引起误解时，也允许省略符号“S”当圆弧的半径过大或在图纸范围内无法标注其圆心位置时，可用折线形式表示尺寸线。若无需表示圆心位置时，可将尺寸线中断小间隔、小圆和小圆弧没有足够位置画箭头或注写尺寸数字时，可按左图形式标注弦长和弧长标注弦长尺寸时，尺寸界线应平行于该弦的垂直平分线。标注弧长尺寸时，尺寸线用圆弧，尺寸数字上方应加注符号“⌒”，尺寸界线应沿径向引出对称机件当对称机件的图形只画出一半或略大于一半时，尺寸线应略超过对称中心线或断裂处的边界线，且只在有尺寸界线的一端画出箭头正方形结构剖面为正方形时，可在正方形边长尺寸数字前加注符号“□”或用“B×B”注出(B为正方形的对边距离)1.2制图工具、仪器及使用方法正确使用绘图工具和仪器，是保证绘图质量和绘图效率的一个重要方面。为此将尺规绘图工具及其使用方法介绍如下。图板要求板面平滑光洁，它的左侧边为丁字尺的导边，必须平直光滑，图纸用胶带纸固定在图板上，如图1-13所示。图1-13图板、丁字尺、三角板及其图纸固定方法丁字尺由尺头和尺身两部分组成，它主要用来画水平线，其头部必须紧靠绘图板左边，然后用丁字尺的上边画线。移动丁字尺时，用左手推动丁字尺头沿图板上下移动，把丁字尺调整到准确的位置，然后压住丁字尺进行画线。画水平线是从左到右画，铅笔前后方向应与纸面垂直，而在画线前进方向倾斜约30°。三角板可配合丁字尺画铅垂线及15°倍角的斜线；或用两块三角板配合画任意角度的平行线或垂直线，如图1-14所示。图1-14三角板和丁字尺联合作图a)画水平线b)画垂直线绘图用铅笔的铅芯分别用B和H表示其软、硬程度，绘图时根据不同使用要求，应准备以下几种硬度不同的铅笔：B或HB——画粗实线用；HB或H——画箭头和写字用；H或2H——画各种细线和画底稿用。其中用于画粗实线的铅笔磨成矩形，其余的磨成圆锥形，如图1-15所示。图1-15铅笔的削法圆规用来画圆和圆弧。画图时应尽量使钢针和铅芯都垂直于纸面，钢针的台阶与铅芯尖应平齐，使用方法如图1-16所示。图1-16圆规的使用方法分规主要用来量取线段长度或等分已知线段。分规的两个针尖应调整平齐，从比例尺上量取长度时，针尖不要正对尺面，应使针尖与尺面保持倾斜。用分规等分线段时，通常要用试分法，分规的用法如图1-17所示。图1-17分规及其用法1.3几何作图方法机械图样的图形都是由平面几何图形构成，掌握常见的几何作图方法是绘制机械图样的基础，作图方法如表1-6。表1-6几何作图方法内容方法步骤示例直线作图等分线段将线段AB三等分，过点A作任意直线AB1，用分规以任意长度在AB1上截取三个等长线段，得1、2、3点，连接3B,并过1、2点作3B的平行线，即得三个等长线段过定点K作已知直线AB的垂线先使三角板的斜边过AB,以另一个三角板的一边作导边,将三角板翻转90°使斜边过点K,即可过点K作AB的垂线等分圆周及作内接正多边形六等分圆周和作正六边形圆规等分法以已知圆的直径的两端点A、B为圆心,以已知圆的半径R为半径画弧与圆周相交,即得等分点,依次连接等分点,即得圆内接正六边形30°～60°三角板与丁字尺(或45°三角的一边)相配合作内接或外接圆的正六边形四等分圆周和作正四边形用45°三角板与丁字尺(或30°三角板的一边)相配合,即可作出圆的内接正四边形五等分圆周和作圆内接正五边形平分半径OB得点O1,以O1为圆心，以O1D为半径画弧，交OA于E，以DE为弦在圆周上依次截取即得圆内接正五边形斜度与锥度斜度的作法与标注方法斜度是指一直线对另一直线或平面对另一平面的倾斜程度，其大小用该两直线(或平面)间夹角的正切来表示，并把比值简化为1︰n的形式锥度的定义、作法与标注方法锥度是指正圆锥体的底圆直径与其高度的比值，如果是锥台，则为上、下两底的直径差与锥台高度的比值，并以1︰n的形式表示圆弧连接圆弧连接的几何原理与直线相切的圆弧圆心的轨迹是与已知直线相距圆弧半径且平行的直线与圆弧相切的圆弧圆心轨迹是已知圆弧的同心圆，外切时轨迹圆的半径为两圆弧半径之和，内切时为两圆弧半径之差圆弧与直线相切分别作已知直线的直线(距离为R2)，两平行直线的交点即为圆心O，自点O向已知直线作垂线，垂足即切点a、b，再用半径为R2的圆弧连接即可与两圆弧相外切分别过圆心O1、O2作圆弧Ra(R1+R)和Rb(R2+R)，其交点即为圆弧R的圆心O，作直线OO1、OO2，它们与已知圆弧的交点即为切点a、b，再用半径为R的圆弧连接即可与两圆弧相内切分别过圆心O1、O2作圆弧Ra(R-R1)和Rb(R-R2)，其交点即为圆弧R的圆心O，作直线OO1、OO2，它们与已知圆弧的交点即为切点a、b，再用半径为R的圆弧连接即可椭圆作图一动点到两定点(焦点)的距离之和为一常数(等于长轴)，该动点的运动轨迹为椭圆作图椭圆的长轴AB和短轴CD，连AC、取CM=OA－OC；作AM的中垂线，使之与长、短轴分别交于O3、O1两点；作与O1、O3的对称点O2、、O4。连O1O3、O1O4、O2O3、O2O4，分别以O1、O2为圆心、O1C(或O2D)为半径，画弧交O2O3、O2O4、O1O3、O1O4的延长线于G、H、E、F，再分别以O3、O4为圆心，O3A(或O4B)为半径，画弧与前所画弧连接即得椭圆1.4平面图形的尺寸分析与绘图方法平面图形都是由若干直线段和曲线段连接而成的，有些线段可根据给定的尺寸关系直接画出，而有些线段则要根据两线段的几何条件作图。要想正确而又迅速地画好平面图形，首先必须对图形中标注的尺寸进行分析，通过分析，可使我们了解平面图形中各种线段的形状、大小、位置，确定画图顺序。1.4.1平面图形的尺寸分析平面图形的尺寸分析就是分析平面图形中所有尺寸的作用以及图形与尺寸之间的关系。在标注和分析尺寸时，必须确定基准，尺寸基准就是标注尺寸的起点。在平面图形中，有水平和竖直两个方向上的基准。基准一般采用图形的对称线、圆的中心线、重要的轮廓线等。平面图形中的尺寸按其作用分为定形尺寸和定位尺寸两类。(1)定形尺寸确定平面图形上几何元素形状和大小的尺寸。例如直线的长短，圆的大小等，图1-18中的尺寸ɸ15、R28等都称为定形尺寸。

图1-18吊钩(2)定位尺寸确定各几何元素之间位置的尺寸称为定位尺寸。例如圆心的位置、直线的位置等，图1-18中的尺寸6、60、10都是定位尺寸。对于定位尺寸而言，应以基准为标注或度量的起点。图1-18中两条垂直相交的中心线就是该图形的尺寸基准。1.4.2平面图形的线段分析根据定形尺寸与定位尺寸的概念来分析图1-18所示的吊钩，可以把图形中的线段分为三种：(1)已知线段定形、定位尺寸齐全，可以直接画出的线段称为已知线段，图1-18中，作为尺寸基准的直角坐标系建立后，R32及ɸ27的圆弧就可根据有关尺寸直接画出。(2)中间线段具有定形尺寸，但定位尺寸不全，需根据另外的几何要素的连接关系才能画出的线段称为中间线段，如图1-18中的R18及R24两段圆弧。(3)连接线段只有定形尺寸，没有定位尺寸，完全根据与其他线段的连接关系画出的线段称为连接线段，图1-17中的R3、R28、R40圆弧就属于连接线段。根据以上分析可以知道，平面图形的绘图顺序应该是：已知线段——中间线段——连接线段。1.4.3平面图形的绘图方法和步骤图1-19为一手柄的平面图形，其作图步骤如下：图1-19手柄1)确定尺寸基准并作出图形的基准线。根据该平面图形的特点，以上下对称中心线为竖直方向基准，通过R15圆心的竖直线为水平方向基准，如图1-20a所示。2)画已知线段，如图1-20b所示。3)画中间线段，大圆弧R50是中间圆弧，圆心位置尺寸只有一个垂直方向是已知的，水平方向位置需根据R50圆弧与R10圆弧内切的关系画出，如图1-20c所示。4)画连接线段，R12的圆弧只给出半径，同时与R15、R50圆弧外切，所以它是连接线段，应最后画出，如图1-20d所示。5)校核作图过程，擦去多余的作图线，描深图形，如图1-19所示。图1-20平面图形作图步骤

第2章点、直线和平面的投影2.1投影法的基本知识2.1.1投影法的基本概念日常生活中我们经常遇到投影现象，例如人在日光的照射下，地面上就会留下影子。人们根据这一自然现象，经过科学的抽象，弄清了影子与物体间的几何关系，建立了一种实用的、用投影图表达空间物体的方法——投影法。投影法是由投影中心发出的投射线通过物体，向选定的投影面进行投影，并在投影面上得到图形的方法。根据投影法所得到的图形，称为投影图，简称投影。如图2-1所示，光源S称为投射中心，由光源S所发出的光线SA、SB、SC称为投射线，所选定的平面P称为投影面，△abc称为△ABC的投影。图2-1中心投影法2.1.2投影法的分类投影法通常分为中心投影法和平行投影法两种。1．中心投影法投射线汇交于一点(投影中心)的投影法，称为中心投影法，如图2-1所示。用中心投影法所得到的投影，称为中心投影，也称透视投影。中心投影的大小随着投影中心、物体和投影面之间的相对位置变化而变化，一般不能反映物体的实际大小和真实形状，但由于它的立体感较强，所以常应用于建筑、桥梁等的外形设计中。2．平行投影法投射线相互平行(将投影中心移到无穷远处，投影线趋于平行)的投影法，称为平行投影法，如图2-2所示。在平行投影中，根据投射线与投影面的倾角不同，又分为斜投影和正投影。(1)斜投影即投射线与投影面倾斜的平行投影法，如图2-2a所示。(2)正投影即投射线与投影面垂直的平行投影法，如图2-2b所示。在平行投影法中，正投影图能反映物体在投射方向上的真实形状，且大小与物体到投影面的距离无关，因此，工程制图中主要使用这种投影方法。为叙述方便，在后续章节中，将“正投影”简称为“投影”。图2-2平行投影法a)斜投影b)正投影2.2点的投影研究投影的目的是为了用投影图来表达空间物体的形状，而实际上任何物体均可视为由点、线、面三种几何要素构成，研究几何要素的投影，就是为了以后更方便地研究物体的投影。如图2-3a所示，空间一点A在投影面上有确定的投影a，反之，投射面上的投影a却可以对应投射线上的任意点A1、A2、A3•••，如图2-3b所示，这就说明点的一面投影不能唯一确定该点的空间位置，需要建立多面投影体系来表达。图2-3点的一面投影与该点的空间位置2.2.1点的两面投影1．两投影面体系的建立两投影面体系由两个相互垂直的投影面组成，分别为：正立投影面V(简称正面)和水平投影面H(简称水平面)，两投影面之间的交线OX，称为投影轴。两个投影面把空间分为四个区域，前上方区域称为第一分角，依次有第二、三、四分角，如图2-4所示。国家标准规定，绘制机械图样时，应以采用正投影法为主，并采用第一角画法，因此本书只介绍物体在第一分角的投影。图2-4两投影面体系的四个分角2．点在两投影面体系中的投影在如图2-5所示的两投影面体系中，过空间一点A用正投影的方法，分别向H面和V面作投影，得到点A的水平投影a和正面投影a′。为了把两个投影a和a′画在同一平面上，规定V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90º，使之与V面处于同一平面上，见图2-5a。展开后的投影图如图2-5b所示。由于平面是无限的，为了便于作图，通常在投影图上省略投影面的边框和投影面的标记H、V，图2-5c即为点A的两面投影图。图2-5点的两面投影图的形成a)直观图b）展开c）投影图3．点的两面投影规律1)点的两面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。因为投射线Aa和Aa′构成了一个矩形平面AaaXa′，如图2-5a所示。它垂直于H面和V面，也必然垂直于H面和V面的交线OX，所以平面上AaaXa′的直线aaX和a′aX必垂直于OX，即aaX⊥OX和a′aX⊥OX。当a随着H面旋转和V面重合在一个平面上时，aaX⊥OX的这种垂直关系不变，因此投影图上的a、aX、a′三点在同一条直线上，且aa′⊥OX。2)点的正面投影到OX轴的距离反映A点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离，即aaX＝Aa′和a′aX＝Aa。因为AaaXa′是一矩形，所以满足aaX＝Aa′和a′aX＝Aa。2.2.2点的三面投影1．三投影面体系的建立三投影面体系是在两投影面体系的基础上建立的。在两投影面体系中，再加一个同时垂直于H、V的侧立投影面，简称侧面，用W表示，如图2-6所示，这三个相互垂直的投影面组成的体系称为三投影面体系。H面与V面之间的交线为OX轴，简称X轴；H面与W面之间的交线为OY轴，简称Y轴；V面与W面之间的交线为OZ轴，简称Z轴；三个坐标轴的交点O称原点。图2-6三投影面体系2．点在三投影面体系中的投影过A点同时向三个投影面作垂线，分别得到点的三面投影a、a′、a″，如图2-7a所示。三个投影面仍需展开在一个平面上，展开方法如图2-7a的箭头所示：V面保持不动，H面仍然绕OX轴向下旋转90º，W面绕OZ轴向右后方向旋转90º。H面和W面旋转时是沿着OY轴分开的，随H面旋转的OY轴用OYH表示，随W面旋转的OY轴用OYW表示。aY也随之被分为aYH和aYW。同两面投影一样，在投影图上也要省略投影面的边框与投影面的标记H、V和W，展开后的投影图如图2-7b所示。图2-7点的三面投影3．点的三面投影规律1)点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴。即：点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，aa′⊥OX。点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，a′a″⊥OZ。由于水平投影和侧面投影不能直接连线，需借助45º斜线或圆弧实现联系，这时a、a″满足：aaYH⊥OYH、a″aYW⊥OYW2)点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离。即：a′aX＝a″aY＝A点到H面的距离aaX＝a″aZ＝A点到V面的距离aaY＝a′aZ＝A点到W面的距离4．点的三面投影与直角坐标通过上述分析我们知道，点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离，那么空间点到投影面的距离就等于点相应的空间坐标值，即：Aa″＝OaX＝XA，Aa′＝OaY＝YA，Aa＝OaZ＝ZA。投影图描述了点在三投影面体系中的位置，如果将三投影面体系看作是一个空间直角坐标系，投影轴OX、OY、OZ就是三个坐标轴，O点就是坐标原点，那么点在投影体系中的位置就可以用坐标来确定。由此可见，点的坐标与其投影之间有一一对应的关系，也就是说，已知一点的坐标可以作出点的三面投影图；反之，已知点的三面投影也可以求出其相应的坐标，从而确定点在空间的位置。例2-1已知点A的坐标A(15、10、20)，求点A的三面投影。作图步骤如下：1)画投影轴OX、OYH、OYW、OZ，建立三投影面体系。2)沿OX轴正方向量取15，得到aX，如图2-8a所示。3)过aX作OX轴的垂线，并使aXa＝10，aXa′＝20，分别得到a和a′，如图2-8b所示。4)过a′点作OZ轴的垂线，并使aZa″＝10，得到a″，如图2-8c所示。还可利用45º斜线，求得a″，如图2-8d所示。a、a′、a″即为点A的三面投影。图2-8已知点的坐标求作点的三面投影图5．点在三投影面体系中的几种情况根据空间点在三投影面体系中的状态，可分为四种情况：(1)空间任意点；(2)投影面上的点；(3)投影轴上的点；(4)点在原点上。其投影图和坐标的关系如表2-1所示。表2-1各种位置点的投影图例及投影特性点的位置投影图例投影图特性一般位置点的三个坐标值均不为零。点的三面投影都在相应投影面上在投影面上点的一个坐标值为零。点的一面投影在点所在的投影面上，另两面投影在相应投影轴上在投影轴上点的两个坐标值为零。点的两面投影在投影轴上，另一面投影与原点重合在原点点的三个坐标值都为零。点的三个投影与空间点都重合在原点上例2-2如图2-9a所示，已知点A的两面投影(a′、a″)，求作第三面投影a。图2-9已知点的两面投影求其第三面投影分析：点的每一面投影，都反映了它的两个坐标，其两面投影就包含了点的三个坐标，这样就可以利用点的投影与坐标的关系求出点的第三面投影。作图步骤如下所示：1)根据点的投影规律，过a′作OX轴的垂线，a必然在这条垂线上；2)因为YA＝a′aX＝a″aY，如图2-9b所示，自a″按箭头所指方向连线，使与aa′交于a，a即为所求。2.2.3两点的相对位置1．两点相对位置关系两点的相对位置就是指两点间左右、前后、上下的位置关系，可以通过投影图上各组同面投影的坐标差来确定的。判断方法如下：1)两点间的左、右位置关系，由X坐标值来确定，坐标大者在左边。2)两点间的前、后位置关系，由Y坐标值来确定，坐标大者在前边。3)两点间的上、下位置关系，由Z坐标值来确定，坐标大者在上边。如图2-10所示，A、B两点的相对位置可以这样来判断：以B点为基准点，已知xA>xB、yA<yB、zA<zB,所以，可以得出A点在B点的左、后、下方。图2-10空间两点的相对位置2．重影点当两点的两个坐标相等时，该两点位于同一投射线上，它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，这两个点就称为该投影面的一对重影点。利用这对点不同的坐标值，就可以判断这对重影点的可见性。如图2-11a所示，E、F两点Xe=Xf、Ze=Zf，位于垂直V面的同一条投射线上，e′和f′重合，由于Ye>Yf，这表示点E位于点F的前方。根据“前遮后”的原则，可判断e′可见，f′不可见，用(f′)表示，如图2-11b所示。图2-11重影点可见性的判断同理：判断一对H面重影点的可见性，需根据Z坐标值来确定，Z坐标大者可见，即“上遮下”；判断一对W面重影点的可见性，需根据X坐标值来确定，X坐标大者可见，即“左遮右”。例2-3如图2-12a所示为点A的三面投影，已知点B在点A的左方15mm、后方5mm、上方10mm，点C在点A的正后方10mm处，试求作B、C两点的三面投影。分析：题中给出的B、C与A点的相互位置，即为这两点与A点的坐标差，利用坐标差就可以确定B、C点的投影。求B点三面投影的作图步骤，如图2-12b所示：1)自aX、aYH、aZ分别向左、向后、向上量取15mm、5mm、10mm，得到bX、bYH、bZ。2)根据点的投影规律，作出B点的三面投影b、b′、b″。求C点三面投影的作图步骤如图2-12c所示：1)从A的水平投影a沿aaX方向量取10mm，得到c。2)ac=cYH，根据投影关系求出c″。3)C点的正面投影c′与a′重合，为一对重影点，a′可见，c′不可见，如图2-12c所示。图2-12根据点的相对位置确定点的三面投影2.3直线的投影2.3.1直线投影的基本性质(1)显实性当直线段平行于投影面时，其投影反映实长，如图2-13a所示，ab＝AB。图2-13直线投影的基本性质a)显实性b)积聚性c)类似性(2)积聚性当直线段垂直于投影面时，其投影积聚为一点，如图2-13b所示。(3)类似性当直线段倾斜于投影面时，其投影仍为直线，但小于实长，如图2-13c所示，ab<AB。2.3.2直线的三面投影图由直线投影的基本性质可见，直线的投影除积聚为一点外，一般仍为直线。所以作直线的三面投影时，可以根据“两点确定一条直线”这个定理，首先作出直线上两端点A、B的三面投影，如图2-14a所示；然后连接直线上两端点的同面投影(即同一投影面上的投影)，ab、a′b′、a″b″即为直线A、B的三面投影，如图2-14b所示。图2-14直线的三面投影直线与其投影之间的夹角称为直线对该投影面的倾角。如图2-14c所示，直线AB对投影面H、V和W的倾角分别为α、β、γ。2.3.3各种位置直线的投影特性直线相对于三投影面的位置有三种：投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。1．投影面平行线平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。投影面平行线分为三种：(1)水平线平行于H面，与V面、W面倾斜的直线。(2)正平线平行于V面，与H面、W面倾斜的直线。(3)侧平线平行于W面，与H面、V面倾斜的直线。各种投影面平行线的三面投影图例及投影特征如表2-2所示。表2-2投影面平行线的投影图例及投影特性名称投影图例投影特性水平线1．水平投影反映实长，即ab＝AB2．β、γ反映直线对V面、W面的倾角3．a′b′∥OX,a′′b′′∥OYWa′b′、a′′b′′<AB正平线1．正面投影反映实长，即c′d′＝CD2．α、γ反映直线对H面、W面的倾角3．cd∥OX，c′′d′′∥OZ，cd、c′′d′′<CD侧平线1．侧面投影反映实长，即e′′f′′＝EF2．α、β反映直线对H面、V面的倾角3．ef∥OYH，e′f′∥OZ，ef、e′f′<EF2．投影面垂直线垂直于一个投影面而与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。投影面垂直线分为三种：(1)铅垂线垂直于H面，平行于V和W面的直线。(2)正垂线垂直于V面，平行于H和W面的直线。(3)侧垂线垂直于W面，平行于V和H面的直线。各种投影面垂直线的三面投影图例及投影特征如表2-3所示。表2-3投影面垂直线的投影图例及投影特性名称投影图例投影特性铅垂线1．水平投影a(b)积聚成一点2．正面投影和侧面投影反映实长，即：a′b′＝a′′b′′＝AB3．a′b′、a′′b′′∥OZ正垂线1．正面投影c′(d′)积聚成一点2．水平投影和侧面投影反映实长，即：cd＝c′′d′′＝CD3．cd∥OYHc′′d′′∥OYW侧垂线1．侧面投影e′′(f′′)积聚成一点2．水平投影和正面投影反映实长，即：ef＝e′f′＝EF3．ef、e′f′∥OX3．一般位置直线倾斜于三个投影面的直线，称为一般位置直线，如图2-14所示。由正投影的类似性可知，一般位置直线的三面投影都是直线，且均小于实长。工程上常用直角三角形法求一般位置直线段的实长和直线与投影面的夹角。如图2-15a所示，过A点作AB1∥ab，得到一直角△AB1B。其中一条直角边AB1＝ab，另一直角边BB1＝ZB－ZA(即为两端点A、B的Z轴坐标差)，斜边AB即为线段的实长，AB与AB1的夹角即为AB对H面的倾角α。以下介绍两种作图方法：1)如图2-15b所示，过b作ab的垂线bB0，在此垂线上量取bB0＝ZB－ZA，则aB0即为所求直线AB的实长，∠B0ab即为倾角α。2)如图2-15c所示，过a′作X轴的平行线，与b′b相交于b0(b′b0＝ZB－ZA)，量取b0A0＝ab，则b′A0也是所求直线段的实长，∠b′A0b0即为倾角α。图2-15直角三角形法求直线的实长及倾角同理，可以利用线段的正面投影求出β角，利用线段的侧面投影求出γ角。如图2-16a、b所示，已知直线AB的实长L，以及a和a′b′，求ab。图2-16已知线段的实长求其水平投影分析：已知a′b′和实长L可组成一直角三角形，由此可求出YB－YA，通过YB－YA就可以确定b的位置。作图步骤如图2-16c所示：1)由b′作a′b′的垂线。2)以a′为圆心、L为半径画弧，与b′b0相交于b0。3)过a作OX轴的平行线，与过b′作的OX轴的垂线相交。4)自此交点沿Y方向量取b′b0长度，其端点即为b，连接ab，得解。2.3.4直线上的点直线上的点的投影有下述特性：(1)从属性直线上的点的投影必然在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律；反之，如果点的投影都在直线的同面投影上，且符合点的投影规律，那么这个点一定在该直线上。如图2-17所示，k、k′、k″分别在ab、a′b′、a″b″上，符合点的投影规律，K点在直线AB上。(2)定比性点分线段成定比，其投影也成同样的比例。如图2-17所示，点K在直线AB上，满足AK︰KB＝ak︰kb＝a′k′︰k′b′＝a″k″︰k″b″。图2-17直线上点的投影例2-5如图2-18a所示，已知线段AB及点K的投影，试判断点K是否属于AB。图2-18判断一个点是否属于某一直线此题可用以下两种方法求解：(1)利用直线上点的从属性判断方法1)分别求出直线AB和点K的侧面投影a′′b′′、k′′。2)如图2-18b所示，k′′不在a′′b′′上，所以点K不属于直线AB。(2)利用直线上点的定比性判断方法1)过a作任意辅助线ab1，并在ab1上量取ak0=a′k′、k0b1=b′k′。2)由图2-18c可知，bk︰ka≠b1k0︰k0a，所以点K不属于直线AB。2.3.5两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况。前两种位置的直线称为共面直线，后一种位置的直线称为异面直线。1．两直线平行若空间两直线平行，则它们的同面投影必然互相平行；反之，如果两直线的同面投影互相平行，则空间两直线必平行，如图2-19所示。图2-19两平行直线的投影对于一般位置直线，只要两面投影平行就可以判定空间两直线平行；而对于投影面平行线，则必须是反映它们实长的投影相互平行，才可以判定两直线平行。图2-20a为两正平线的两面投影，它们的正面投影相互平行a′b′∥c′d′，因此AB∥CD；而图2-20b所示为两侧平线的投影，侧面投影a″b″不平行于c″d″，就可以断定两侧平线不平行。图2-20判断两条投影面平行线是否平行2．两直线相交若两直线相交，则两直线的同面投影必相交，交点同时属于两直线，为两直线的共有点，且符合点的投影规律。反之如果两直线的同面投影都相交，且各面投影的交点符合点的投影规律，则两直线必属于相交两直线，如图2-21所示。图2-21两直线相交例2-6如图2-22a所示，试判断直线AB和CD是否相交。分析：由图可知，两直线的两面投影各自相交，若其交点符合点的投影规律，才可确定二直线为相交两条直线。通过对AB和CD两直线投影关系的分析可知，两直线投影的交点不符合点的投影规律，因此，AB和CD两直线为不相交。图2-22判断空间两直线是否相交3．两直线交叉既不平行，又不相交的两条直线称为交叉两直线。如图2-20b、2-22、2-23所示。交叉两直线的投影可能有一组或两组是平行的，但决不会三组同面投影都互相平行，如图2-23所示。图2-23交叉两直线的投影(一)交叉两直线的投影可以有一组、两组甚至三组是相交的，但它们的交点一定不符合点的投影规律。若其中有一直线为投影面平行线时，则一定要检查直线在三个投影面上的投影交点是否符合点的投影规律，如图2-24a所示。如图2-24b所示，ab和cd的交点实际上是AB上Ⅰ点与CD上Ⅱ点的重合投影，Ⅰ、Ⅱ称为对H面的一对重影点。由于Z1>Z2，所以从H面上的投影，1可见，2是不可见的。同理，Ⅲ、Ⅳ点的可见性也可判断，请读者自己分析。图2-24交叉两直线的投影(二)4．两直线垂直当两直线在空间相互垂直并且其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在这条平行线所平行的投影面上的投影必定垂直，这种投影性质称为直角投影定理。反之，如果两直线在某一投影面上的投影相互垂直，且其中有一直线为该投影面的平行线时，则这两直线在空间必定垂直。如图2-25所示，直线AB、BC垂直相交，其中AB为水平线，BC为一般位置直线，因为AB⊥BC，AB⊥Bb，所以AB⊥平面BCcb；又因为ab∥AB，所以ab⊥平面BCcb；因此得证ab⊥bc。图2-25直角投影定理2.4平面的投影2.4.1平面的表示法平面的表示是由几何元素的类型来决定的：1)不在同一直线的三个点确定一个平面，如图2-26a所示。2)一直线和不在该直线上的一点确定一个平面，如图2-26b所示。3)相交两直线确定一个平面，如图2-26c所示。4)平行两直线确定一个平面，如图2-26d所示。5)任意平面形确定一个平面，如图2-26e所示。图2-26平面的表示方法除此之外，还可以用迹线表示一个平面，如图2-27所示。图2-27用迹线表示一个平面所谓迹线，是指平面与投影面的交线。平面P与H面、V面和W面的交线，分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线，依次用PH、PV和PW表示，如图2-28所示。图2-28平面迹线2.4.2平面的投影特性(1)显实性当平面平行于投影面时，其投影反映实形，如图2-29a所示，△abc＝△ABC。(2)积聚性当平面垂直于投影面时，其投影积聚为一条直线，如图2-29b所示。(3)类似性当平面倾斜于投影面时，其投影为原形的类似形，如图2-29c所示。图2-29平面投影的基本性质a)显实性b)积聚性c)类似性2.4.3各种位置平面的三面投影及特性根据平面在三投影体系中的位置可分为三类：投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面。前两种又称为特殊位置平面。1．投影面平行面平行于一个投影面而与另两个投影面垂直的平面称为投影面平行面。投影面平行面又分为三种：(1)水平面平行于H面的平面、垂直于V和W面。(2)正平面平行于V面的平面、垂直于H和W面。(3)侧平面平行于W面的平面、垂直于V和H面。表2-4列举了三种投影面平行面的投影及其投影特性。表2-4投影面平行面的投影及其特性名称直观图投影图投影特性水平面1．水平投影反映实形2．正面投影积聚成直线，且平行于OX轴3．侧面投影积聚成线，且平行于OY轴正平面1．正面投影反映实形2．水平投影积聚成直线，且平行于OX轴3．侧面投影积聚成直线，且平行于OZ轴侧平面1．侧面投影反映实形2．水平投影积聚成直线，且平行于OY轴3．侧面投影积聚成直线，且平行于OZ轴2．投影面垂直面垂直于一个投影面而与另两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面又分为三种：(1)铅垂面垂直于H面的平面、倾斜于V和W面。(2)正垂面垂直于V面的平面、倾斜于H和W面。(3)侧垂面垂直于W面的平面、倾斜于V和H面。表2-5投影面垂直面的投影图例及特性名称直观图投影图投影特性铅垂面1．水平投影积聚成直线，2．水平投影反映直线对V面、W面的倾角β、γ3．正面投影和侧面投影均为原形的类似形正垂面1．正面投影积聚成直线2．正面投影反映直线对H面、W面的倾角α、γ3．水平投影和侧面投影均为原形的类似形侧垂面1．侧面投影积聚成直线2．侧面投影反映平面对H面、V面的倾角α、β3．水平投影和侧面投影均为原形的类似形3．一般位置平面对三个投影面都处于倾斜的平面称为一般位置平面。如图2-30所示，由于平面△ABC倾斜于三个投影面，所以它的三面投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均为原形的类似形，不反映实形，也不反映该平面与投影面的倾角。图2-30一般位置平面的投影2.4.4平面上的点和直线的投影1．平面上直线的投影(1)平面上直线的确定判断一条直线是否属于某一平面的几何条件如下：1)若一直线经过平面上两个点，则此直线必属于该平面。如图2-31所示，△ABC决定一平面P，M点和N点分别是AB、AC上的两点，则直线MN必属于平面P。图2-31直线属于平面的几何条件(一)2)若一直线经过平面上一点，且平行于该平面上的另一条直线，则该直线必属于该平面。如图2-32所示，相交两直线AB、BC确定一平面P，M是AB上的一点，若过M点作直线MN，使MN//BC，则MN必定属于平面P。图2-32直线属于平面的几何条件(二)例2-7如图2-33a所示，在△ABC所确定的平面中，过点A作一条正平线。图2-33过已知点作平面内的正平线分析：根据正平线的水平投影平行于OX轴的特性，应先作出正平线的水平投影，然后再作出正面投影。作图步骤如下所示：1)在△ABC的水平投影上，过a作OX的平行线，交bc于m，连接am，如图2-33b所示。2)M点在BC边上，根据点的投影特性作出M点的正面投影m′，连接a′m′，AM即为所求，如图2-33c所示。(2)各种位置平面上所包含的直线类型根据各种位置平面的投影特点及直线投影的特点，可以确定各种位置平面上所包含的直线类型。1)一般位置平面中包含一般位置直线和三个投影面的平行线，如图2-34所示，△ABC为一般位置平面，其三条边均为一般位置直线，这个平面上还包含了水平线CE、正平线AD、侧平线BF。图2-34一般位置平面所包含的直线类型2)投影面平行面中包含了该平面所平行的投影面的平行线及另两个投影面的垂直线，如图2-35所示为一正平面，其三条边AB、BC和AC均为正平线，CE和BD分别为侧垂线和铅垂线。图2-35投影面平行面所包含的直线类型3)投影面垂直面包含该平面所垂直的投影面的垂直线、平行线和一般位置直线，如图2-36所示为△ABC为一铅垂面，其中AB、BC和AC均为一般位置直线；AD为水平线；BE为铅垂线。图2-36投影面垂直面所包含的直线类型2．平面上点的投影判断一点是否属于平面的几何条件为：如果点在平面的任意一直线上，则此点一定属于该平面。例2-8如图2-37a所示，已知平面△ABC上的一点K的正面投影k′，求其水平投影k。图2-37平面上点的投影分析：首先过点K在平面上作直线，则K点的水平投影必在此直线的投影上。作图步骤如下所示：1)在正面投影上连接a′k′，并将其延长交b′c′于e′，得到直线AE的正面投影a′e′。2)作a′e′的水平投影ae，根据点的投影规律，在ae上作出k，如图2-37b所示。例2-9如图2-38a所示，判断空间一点K是否属于平面△ABC。图2-38判断空间一点是否属于某一平面分析：要判断点K是否属于平面△ABC，通过点K作一属于该平面的辅助线，通过判断点K是否属于该直线，来判断它是否属于该平面。作图步骤如下所示：1)在正面投影上连接a′k′，并将其延长交b′c′于e′，得到直线AE的正面投影a′e′。2)作a′e′的水平投影ae，如图2-38b所示，k不在ae上，从而得知点K不属于平面△ABC。

第3章基本形体及其表面的交线一般机件的形体，都可以看成是由柱、锥、球、环等基本形体按一定方式组合而成的。按照表面性质的不同，基本形体分为平面形体和曲面形体两类。表面均为平面的形体，称为平面形体。表面为曲面或包含曲面的形体，称为曲面形体。本章重点讨论基本形体的三视图画法及其表面的交线。3.1三视图的形成及投影规律根据有关标准和规定，用正投影法绘制出的物体的投影图，称为视图。为了完整地表达物体的形状，一般的机械图样常采用多面正投影图，其中最常用的为三面视图，简称三视图。3.1.1三视图的形成如图3-1所示，将物体置于三投影面体系中，按正投影法分别向三个投影面投射，并把H面和W面按规定的方法展开，便可得到物体的三面投影，常称它们为三面视图，简称三视图。如图3-2a所示，物体在V面上的视图称为主视图，在H面上的视图称为俯视图，在W面上的视图称为左视图。由于视图的形状和物体与投影面的相对位置无关，因此，机械图样上通常规定不画投影轴、投影面的边框和投影间的连线，也不必注明各视图的名称，如图3-2b所示。图3-1三视图的形成图3-2三视图三视图中常用的线型有三种,如图3-3所示。粗实线——表示物体的可见轮廓线。细虚线——表示物体的不可见轮廓线。细点画线——表示物体的对称中心线、回转体的轴线。图3-3三视图中常用的线型3.1.2三视图的投影规律1.三视图的相对位置以主视图为准，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。绘制三视图时，必须按以上位置配置三视图,不能随意变动。2.三视图的“三等”规律物体有长、宽、高三个方向的尺寸，物体X轴方向的尺寸称为长度，Y轴方向的尺寸称为宽度，Z轴方向的尺寸称为高度。每个视图都能反映物体两个方向的尺寸，如图3-4所示。主、俯视图同时反映了物体的长度；主、左视图同时反映了物体的高度；左、俯视图同时反映了物体的宽度。其三视图的投影规律可归纳为：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等，简称“三等”规律。需要特别注意的是：无论是物体的总体尺寸还是某一局部的尺寸都要符合“三等”规律。图3-4三视图的“三等”规律3.视图与物体的方位关系物体有上、下、左、右、前、后六个方位，如图3-5a所示。如图3-5b所示,主视图反映了物体的上、下和左、右位置关系，俯视图反映了物体的左、右和前、后位置关系，左视图反映了物体的上、下和前、后位置关系。俯视图和左视图都反映物体的前、后位置关系，显然远离主视图的一边为物体的前面，靠近主视图的一边为物体的后面。图3-5视图与物体的方位关系3.2平面形体的三视图及其表面取点绘制平面形体的三视图，实际上就是作围成平面形体的各个表面的投影。由于平面图形由直线段组成，直线段又由其两端点来确定，因此，作平面形体的三视图，可归结为作面→线→点的投影，与第二章相比引入了两个问题:(1)各要素之间的相互位置关系；(2)各要素的可见性。平面形体分棱柱、棱锥两种。3.2.1棱柱棱柱的顶面和底面是两个形状相同且互相平行的多边形，各侧面都是矩形(称直棱柱)或平行四边形(称斜棱柱)，顶面和底面为正多边形的直棱柱则称为正棱柱。1.棱柱的三视图图3-6表示一个正六棱柱的投影情况。它的顶面和底面为水平面，六个侧面中，前、后面为正平面，另四个为铅垂面，六条棱线均为铅垂线。显然，六棱柱的俯视图反映了正六边形顶面和底面的实形，其中每条边又都是侧面的积聚投影；主视图反映了前、后侧面的实形；主视图和左视图反映了四个铅垂面的类似形，其中上、下两条直线分别是六棱柱的顶面和底面的积聚性投影，其余则是棱线的投影(反映实长)。图3-6正六棱柱的三视图通过以上图例，可以总结出直棱柱三视图的特性是：一个视图反映棱柱的顶面和底面的实形，另两个视图都是由实线或虚线组成的矩形线框。画棱柱三视图的步骤如下：1)画顶面和底面的各面投影，从反映顶面和底面实形的视图画起。2)画侧棱线的各面投影，不可见轮廓的投影画成虚线。2.棱柱表面上的点的投影当点在形体的表面上时，点的投影必在它所从属的表面的同面投影范围内。若该表面为可见，则表面上的点的同面投影也可见；反之，为不可见。一般情况下，棱柱的表面均为特殊位置平面，所以求棱柱表面上点的投影均可利用平面投影的积聚性作图。例3-1如图3-7所示，已知正六棱柱的表面上的M点的正面投影m′，N点的侧面投影n″,求各点的另两面投影。作图步骤：1)判断点在哪个面上。2)在点所在面的积聚投影上确定点投影的位置。3)作出点的另一面投影。4)判断可见性。作图：由于M点在BCGF棱面上，为正平面，水平投影有积聚性，因此M点的水平投影m必在该侧面的水平投影bcgf上，直接求出m，再根据m′和m求出m″，m″可见。同理，根据N点的侧面投影n″，量取Y坐标差△Y，首先确定水平投影n，最后求出正面投影n′，n′不可见。图3-7棱柱表面上的点的投影3.2.2棱锥及棱锥台棱锥的底面为多边形，各侧面为具有公共顶点的三角形。从棱锥顶点到底面的距离叫做棱锥的高。当棱锥的底面为正多边形、各侧棱相等时，该锥体称为正棱锥。正棱锥的各侧面为等腰三角形。1.棱锥的三视图图3-8正三棱锥的三视图如图3-8所示为一个正三棱锥，它由四个表面围成。锥的底面△ABC为水平面，水平投影△abc反映实形，V面和H面投影各积聚为一条分别平行于X轴和Y轴的直线；锥体的后侧面△SAC为侧垂面，它的W面投影积聚为一段倾斜于OZ轴的直线，V面和H面投影为△s′a′c′和△sac。锥的左、右两个侧面为一般位置平面，它的三面投影均为三角形。显然，棱锥三视图的特征是：一个视图反映棱锥的底面的实形，另两个视图都是由实线或虚线组成的有公共交点的三角形。画棱锥三视图的步骤如下：1)画底面的各面投影。2)作锥顶的各面投影，并同时将它与底面的各顶点的同面投影相连，不可见轮廓画成虚线。2.棱锥表面上的点的投影对于特殊位置平面，可直接利用平面投影的积聚性来作图。对于一般位置平面，则应利用在平面上取点的方法来作图。例3-2如图3-9所示，已知棱锥表面上的M、N点的正面投影m′、n′,求M、N点的另两面投影。分析与作图由于N点所在平面SAC为侧垂面，可利用其W面投影的积聚性先求出n″，再由n″和n′求出n，n、n″均可见。M点所在平面△SAB为一般位置平面，过m′点作辅助线e′f′(EF∥AB)，找到EF的水平投影ef，按点的投影规律在ef上作出M点的水平面投影m。最后根据m′和m求出m″，三个视图上M点的投影均可见。3.棱锥台棱锥台可看成由平行于棱锥底面的平面截去棱锥的锥顶部分而形成的，其顶面和底面为互相平行的相似多边形，侧面为梯形。由正棱锥截得的称为正棱台，其侧面为等腰梯形。图3-10所示为四棱台的三视图。俯视图分别反映了四棱台的顶面和底面的实形，顶面和底面的各对应边相互平行。作棱锥台的三视图的方法：一般先作棱锥台的顶面与底面的投影，再连接各侧棱线完成三视图。也可先画棱锥的三视图，再作棱锥台顶面的投影，最后檫去多余图线。图3-9棱锥表面上的点的投影图3-10正四棱台的三视图3.3曲面形体的三视图及其表面取点最基本的曲面形体是回转体。由回转面或回转面与平面围成的形体称为回转体。常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环。3.3.1圆柱圆柱由圆柱面和顶、底平面组成。1.圆柱面的形成圆柱面可看成是由一条直母线，围绕与它平行的轴线回转而成。如图3-11所示。母线的任一位置称为圆柱面的素线。2.圆柱的视图及其分析如图3-12所示，圆柱的俯视图是一个圆形线框，它是圆柱面在水平面上的积聚投影，也反映了顶、底平面的实形。图3-11圆柱面的形成图3-12圆柱及圆柱面上点的投影圆柱在主、左视图上的投影为相同的矩形线框，上、下两边是顶、底面的积聚投影，边长为圆柱的直径；主视图矩形的左、右两边分别是圆柱面最左、最右素线的投影，它们是圆柱面由前向后的转向轮廓线，也是主视图上圆柱面投影的可见与不可见的分界线，其俯视图分别积聚在前后对称中心线与圆形线框的交点上，左视图与轴线重合；左视图矩形的两边分别是圆柱面最前、最后素线的投影，它们是圆柱面由左向右的转向轮廓线，也是左视图上圆柱面投影的可见与不可见的分界线，其俯视图分别积聚在左右对称中心线与圆形线框的交点上，主视图与轴线重合。画圆柱的三视图时，先用细点画线画出轴线和圆的对称中心线，再画投影为圆的视图，最后画其余两个视图。3.圆柱表面取点圆柱面上点的投影，均可利用圆柱面投影的积聚性来作图。例3-3如图3-12b所示，已知圆柱面上的M点的侧面投影m″和N点的正面投影n′,求M、N点的其他两面投影。由于M点的侧面投影m″不可见，且在中心线上，故M点必在圆柱面的最右素线上，因此m′、m必在最右素线的相应投影上，直接求出。而N点的正面投影n′可见，故N点必在前半个圆柱面上，因此n必在俯视图的前半个圆上。先求出n，根据n″、n求出n′，n′可见。3.3.2圆锥及圆锥台圆锥由圆锥面和底平面组成。图3-13圆锥面的形成图3-14圆锥的视图1.圆锥面的形成圆锥面可看成是由一条直母线，围绕与它相交的轴线回转而成，如图3-13所示。母线的任一位置称为圆锥面的素线。2.圆锥的视图及其分析如图3-14所示，圆锥的轴线垂直于水平面，圆锥的俯视图是一个圆形线框，它即是圆锥面的水平投影，又是底平面实形的投影。主、左视图是两个相等的等腰三角形，它表示了圆锥面的投影，其底边是底圆的积聚性投影。主、左视图三角形的两腰分别是圆锥最左、最右素线和最前、最后素线的投影。画圆锥的三视图时，先用细点画线画出轴线和圆的对称中心线，再画出投影为圆的视图，最后画出其余两个视图。3.圆锥表面取点当点位于圆锥表面的四条特殊素线上时，可直接利用这些素线的特殊性质作出点的投影，如图3-16a所示的N点；如果点处于圆锥表面的一般位置，可采用下述两种方法求解：(1)辅助素线法利用圆锥面素线来求点的投影的方法称为辅助素线法。如图3-15所示。例3-4如图3-16a所示，已知圆锥面上的M点投影m′，求它的其他两面投影。如图3-16a所示，可通过M点作辅助素线的方法求点。在主视图上，过锥顶s′和m′作一辅助线s′m′,并将其延长与底平面的正面投影交于a′,作出其H面投影sa,再由m′根据点的投影关系求出m、m"。由于M点在左半个圆锥面上位置，故m、m"均可见。图3-15辅助素线和辅助圆图3-16圆锥面上的点的投影(2)辅助圆法如图3-15所示，在圆锥面上可以作出无数个垂直于轴线的圆，利用这些圆来求点的投影的方法称为辅助圆法。例3-5如图3-16b所示，已知圆锥面上的P点投影p′，求它们的其他两面投影。如图3-16b所示，可通过P点作辅助圆的方法求点。过p′垂直于轴线作一直线a′b′，a′b′的长就是该辅助圆的直径，作出辅助圆的水平投影，就可求出p，再根据p′、p求出p"。3.圆锥台圆锥台可看成由平行于圆锥底面的平面截去锥顶部分而形成的。图3-17所示为圆锥台的三视图。圆锥台视图的绘制及表面取点的方法与圆锥基本相同。值得注意的是当用辅助素线法取点时一定要过原圆锥的锥顶作辅助素线。图3-17圆锥台3.3.3圆球1.圆球面的形成圆球面可看成是由一个圆作母线，以其直径为轴线回转而成，如图3-18所示。在母线上任一点的运动轨迹均是一个圆。点在母线上的位置不同，其圆的直径也不相同。图3-18圆球面的形成图3-19圆球及球面上的点的投影2.圆球的视图及分析如图3-19a所示，圆球的三个视图都是圆，其直径为圆球直径。但这三个圆并非球面上同一个圆的投影，而是圆球面上三个方向上的转向轮廓线的投影。V面投影中的圆，是球面上前、后半球的转向轮廓线，也是V面上前、后半球的可见与不可见的分界圆；W面投影中的圆，是球面上左、右半球的转向轮廓线，是W面上左、右半球的可见与不可见的分界圆；H面投影中的圆，是球面上、下半球的转向轮廓线，是H面上、下半球的可见与不可见的分界圆。3.圆球面上取点圆球面转向轮廓线上的点的投影均处于特殊位置，可利用点的投影规律直接求出，如图3-19a所示。其他位置点的投影一般要通过作辅助圆来求解。在圆球表面上，过任意一点可以作出无数个圆，但考虑作图简便，应选择过球面上已知点作平行于投影面的辅助圆来作图。例3-6如图3-19b所示，已知圆球面上的M点的V面投影m′，求M点的其他两面投影。由于m′为可见，所以M点在球体的前半个球面上。选择在球面上过M点作平行于水平面的辅助圆的方法求点。过m′作辅助圆的V面投影a′b′，作出圆的H面投影，其直径等于a′b′的长度，按点的投影规律作出m和m"。由m′的位置可知，M点在球面的左、上、前部。故m、m"都可见。3.3.4圆环1.圆环面的形成圆环面可看成是由一个圆作母线，以其同平面但位于圆周之外的直线为轴线回转而成，如图3-20所示。在母线上任一点的运动轨迹均为一个圆，称纬圆。其中，母线圆上B点和D点绕成的圆分别是圆环面上直径最大和最小的圆，分别称为最大圆和最小圆。圆环外面的一半表面称为外环面，是由圆的ABC弧回转而成；里面的一半表面称为内环面，是由圆的CDA弧回转而成。2.圆环的视图及分析如图3-21所示，俯视图有直径不等的三个同心圆，其中直径最大和最小的轮廓线圆是环面上的最大圆和最小圆的投影。点画线圆是母线圆心轨迹的投影。主视图中的小圆为平行V面的素线圆的投影，该素线圆是外环面在V面上可见与不可见的分界线。左视图是和主视图相同的图形，不同的是，小圆为平行W面的素线圆的投影，它是外环面在W面上可见与不可见的分界线。由于内环面上的半个素线圆始终不可见，故在V、W面上都画成虚线。图3-20圆环面的形成图3-21圆环的视图3.圆环面上的点的投影圆环面上的特殊点的投影可直接作出。圆环面上的一般点的投影要通过作辅助圆来求。例3-7如图3-22所示，已知圆环面上的E点的H面投影e、M点的V面投影m′、N点的H面投影n，求M、N点的其他两面投影。由于E点位于圆环面的最大圆上，可按点的投影规律直接作出e′、e″。由于m′可见，所以M点在外环面的前半部。可在环面上过M点作水平辅助圆的方法求点，作图时先过m′作辅助圆的V面投影a′b′，再作圆的H面投影和W面投影，最后按点的投影规律在圆的同面投影上作出m和m″。N点位于内环面的后半部，其投影作法基本相同，不再详述。图3-22圆环面上的点的投影3.4平面与形体表面相交工程上常会遇到这样的机件，它的结构是由基本形体被截平面截去一部分或几部分而成的。基本形体被截切时，其表面的交线可看成是平面与形体表面相交产生的交线。截切基本形体的平面称为截平面，基本形体被截平面截断后的部分称为截断体，被截切后的断面称为截断面，截平面与基本形体表面的交线称为截交线，如图3-23所示。截交线具有下列基本性质：1)截交线是截平面与形体表面的共有线，截交线上的点是截平面与形体表面的共有点；2)由于形体是有一定的范围的，因此截交线应为封闭的平面图形。图3-23截交线与截断体3.4.1平面与平面形体相交平面形体的表面是由若干个平面图形所组成的，所以它的截交线均为封闭的、直线段围成的平面多边形。1)用一个截平面截切平面形体时，截交线的每一条边都是棱面与截平面的交线，各顶点都是棱线与截平面的交点，如图3-24所示。图3-24用一个截平面截切平面形体图3-25用多个截平面组合截切平面形体2)用多个截平面组合截切平面形体时，切口由多个相交的截断面组成，相邻两个截断面的交线的端点也是形体表面截交线的端点，故它们都在形体的表面上，如图3-25所示。求截交线的投影就是利用形体表面取点的方法求出截交线上各顶点的投影，然后依次连接，完成作图。例3-8如图3-26，已知切口的正面投影，完成被切正四棱柱的三视图。截平面与棱柱顶面及4个侧棱面相交，故截交线由五条交线组成，截断面为五边形。五边形的各顶点分别是截平面与棱柱表面的五条被截棱线的交点。由于截平面为正垂面，故截断面的正面投影积聚成直线段，水平投影与侧面投影为五边形。作图：1)求出截断面各顶点的正面投影：1′、2′、3′、4′、5′。2)求出各点的水平投影：1、2、3、4、5。3)求出各点的侧面投影：1″、2″、3″、4″、5″。4)整理轮廓线：在左视图中，应去除被截去部分的投影，并补画图示虚线。5)判别可见性，依次连接各顶点的同面投影，即完成切口的水平投影和侧面投影

。例3-9如图3-27a，已知切口的正面投影，完成带切口的正三棱锥的三视图。如图3-27a所示的切口是三棱锥被一个水平面和两个侧平面截切而成，且左右对称。切口的两个侧平面为三角形，截交线由两条侧平线(均平行于与FB)和一条正垂线组成，其中正垂线是水平面和侧平面的交线；切口水平面的五边形另有两条水平线和一条侧垂线，分别与棱锥底面对应边平行；切口的正面投影有积聚性。图3-26截切正四棱柱图3-27带切口的正三棱锥作图：如图3-27b所示。(1)求切口水平面的各顶点包含切口的水平面作一辅助平面P，求出P与三棱锥的交线DEF，水平面的各顶点Ⅱ、Ⅲ、F等均在DEF上，按投影关系求出它们的三面投影。(2)求切口侧平面的顶点侧平面的最高点Ⅰ在SA棱线上，按投影关系求出它的三面投影。(3)整理轮廓线去除被截侧棱线被截切掉的部分投影。(4)判别可见性依次连接切口侧面和底面各顶点的水平投影和侧面投影，其中左视图中切口的水平面2″、3″之间的部分不可见，画成虚线。3.4.2平面与曲面形体相