10.5 随机变量的数学特征_第1页
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第十章概率§10.5随机变量的数学特征教学目的：理解数学期望的概念及性质会计算数学期望掌握方差、标准差的概念及性质理解方差、标准差的实际意义教学重点：数学期望的概念及性质方差、标准差的概念及性质方差、标准差的实际意义教学难点：数学期望的实际意义方差、标准差的概念及性质方差、标准差的实际意义教学内容：数学期望1、定义设离散型随机变量X有概率函数p(X=xk)=pk(k=1,2,⋯).若存在，称该和为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记作2、性质数学期望的性质如下：3、例题例1随机变量X的分布列如下：解：例2一台仪器由两个主要部件组成,其总长度为两个部件长度之和,这两个部件的长度ξ与η为两个相互独立的随机变量,其分布列如下:求：(1)总长度的数学期望；（2）E(ξη).解：(1)设仪器的总长度为ε=ξ+η，注：下面的计算是错误的：因为E(XY)=E(X)E(Y)要求X与Y相互独立，而η与其本身不可能相互独立，所以要用随机变量的数学期望公式计算.方差和标准差1、引入有甲、乙两种品牌的手表,它们每日误差分别为X1，与X2,各具有如下分布列:易验证，如果从期望看分不出它们的优势,但仔细观察.显然甲品牌比乙品牌优,因其误差较小,如何计算就是这节讨论的内容.如果X是随机变量,|X一E(X)|是衡量随机变量X与它期望E(X)的偏差,但绝对值运算有许多不方便之处.人们就用[X−E(X)]2去衡量.但[X−E(X)]2仍是一个随机变量,所以就用它的数学期望，即E[X−E(X)]2来衡量X与E(X)的偏离程度.概念设X为随机变量，如果[X−E(X)]2存在，则称它为X的方差，记作D(X),即D(X)=E[X−E(X)]2.将D(X)称为X的标准差，记作σ(X)=D(X)=E[X−E(X)]2=E{X2−2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)−[E(X)]2.所以方差计算也可使用如下公式D(X)=E(X2)−[E(X)]2.例题例3计算上文所述甲、乙两种品牌手表的方差D(X1)和D(X2)，以确定哪个品牌手表的质量较优.解：由于说明甲牌手表较乙牌优.例4甲、乙两台自动车床生产同种零件,经过长期观察，生产1000个零件所产生的次品数X、Y的分布列如下:试判断哪台自动车床生产更为稳定.解：由于所以乙自动车床生产更加稳定.性质由方差概念，可得其性质：练习：各月份对某公司产品需求有很大差异,根据过去两年的数据得到公司产品月需求量概率分布列如下:若公司根据月需求量的数学期望来确定月订单数，则公司认为这种产品的月订单数是多少?假设每单位产品销售

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