8.5 二重积分的计算

第八章多元函数微积分§8.5二重积分的计算教学目的：1.使学生掌握利用直角坐标计算二重积分的方法教学重点：1.将二重积分化为二次积分教学难点：1.将二重积分化为二次积分教学内容：一、积分区域的分类1.[X-型域]用不等式，来表示的区域，其中函数、在区间上连续，如图8—12、图8-13所示，称为—型区域；【X—型区域的特点】穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.图8-13图8-12图8-13图8-122.[Y-型域]用不等式，来表示的区域，其中函数、在区间上连续，如图8—14、8-15所示，称为—型区域。图8-15图8-14图8-15图8-14【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3.[既是X-型，又是Y-型]积分区域D既是X-型，，，又是Y-型，，。如图8-16所示。计算结果一样，但可做出适当选择。aabdc图8-16图8-164.［既非X－型域也非Y－型域］如图8-17，在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)分别使用积分公式.,由二重积分积分区域的可加性得图8-17图8-17二、直角坐标下，二重积分的计算1、对—型区域的二重积分的计算法对—型区域选为积分变量，，任取子区间。设表示过点且垂直轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图9—6所示，则曲顶柱体体积的微元为那么曲顶柱体体积为由图8-18知，该截面是一个以区间为底，以曲线（固定）为曲边的曲边梯形，其面积为则曲顶柱体体积为故二重积分的计算法为2、对—型区域上的二重积分的计算法对—型区域如图8-18所示，选取为积分变量，则用垂直于轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积故二重积分的计算法为由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。若区域为—型，则先把看成常量，对进行积分，它的积分限一般是的函数。然后在对进行积分，它的积分限是常数。若区域是为—型，则先把看成常量，对进行积分，它的积分限一般是的函数。然后在对进行积分，它的积分限是常数。这种先一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分法。图8-18图8-183、若区域既是—型区域，又是—型区域这种类型区域的累次积分可以交换积分次序。即区域既为—型，可以用不等式，来表示。又为—型的，可以用不等式，来表示，则4、若区域既不是—型区域，又不是—型区域用平行于轴或轴的直线，把区域分成若干个属于同一类型的区域，如图8-17所示，然后在每个区域分别确定其上下限。最后根据积分的性质即可求解积分。注意：利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常会大大化简二重积分的计算．设函数在闭区域上连续，且关于轴对称，位于轴上方的部分记为，则在上若，则；若，则．当区域关于轴对称，函数关于变量有奇偶性时有类似的结果．在利用这种方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两方面。例题1计算，其中是由直线及所围成的闭区域。解法1：首先画出积分区域（图8-19）。解法2：首先画出积分区域（图8-20）。112oxyx=yx=2Dy12112oxyy=xy=1Dx图8-20图8-20图8-19图8-19例题2计算，其中是由直线和所围成的闭区域。D既是X—型域又是—Y型域解法1：首先画出积分区域（图8-21）。解法2：首先画出积分区域（图8-22）。注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便。－11－111yoy=xD－1xy－111xoy=xDxy图8-22图8-21图8-22图8-21例题3计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。解：画出积分区域，如图8-23所示。既是型的，又是型的。解：由与积分区域可表为，用先对后对的积分次序，得如果用先对后对的积分次序，积分区域分成两个区域如图8-24所示，即因此图8-24图8-24图8-23图8-23练习：1.计算下列二重积分。（1）其中（2）其中是顶点分别为的