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第七章微分方程§7.3.1二阶线性微分方程教学目的：掌握二阶线性齐次、非齐次微分方程的标准形式掌握二阶常系数线性齐次、非齐次微分方程的标准形式理解二阶线性齐次、非齐次微分方程解的结构定理掌握特征方程、特征根的概念掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学重点：1.二阶线性齐次、非齐次微分方程的标准形式2.二阶常系数线性齐次、非齐次微分方程的标准形式3.特征方程、特征根的概念4.二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学难点：对二阶线性齐次、非齐次微分方程解的结构定理的理解二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学内容：一、二阶线性微分方程的定义形如的微分方程称为二阶线性微分方程.二阶线性齐次微分方程：二阶线性非齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数非线性齐次微分方程：二阶线性微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构定义1对于两个不恒等于零的函数y1与y2，如果存在一个常数C,使y2=Cy1,则称函数y2与y1线性相关；否则，称函数y2与y1线性无关.例如：与线性无关，与线性相关.定理1如果函数y1、y2都是二阶线性齐次微分方程的解，则y=C1y1+C2y2也是该方程的解，其中C1、C2是任意常数.定理2：二阶线性齐次微分方程解的结构定理如果函数y1、y2是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关特解，则y=C1y1+C2y2是该方程的通解，其中C1、C2是任意常数.二阶线性非齐次微分方程解的结构定理3：二阶线性非齐次微分方程解的结构定理设y*是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，Y是与它对应的齐次方程的通解，则y=Y+y*是二阶线性非齐次微分方程的通解.二阶常系数线性齐次微分方程概念方程称为二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程.特征方程的根称为特征根.特征方程是一元二次方程，将微分方程中的换成，把换成，把y换成1，可得到对应的特征方程.解法特征根有如下三种情况：特征方程有两个不相等的实根：方程的通解为特征方程有两个相等的实根：方程的通解为特征方程有一对共轭复根：方程的通解为综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程的通解的步骤如下.第一步：写出微分方程的特征方程；第二步：求出特征方程的两个根与第三步：根据特征方程的两个根的不同情况，有相应的通解公式，见下表例题例1．求微分方程的通解.解：所给微分方程的特征方程为即解得因此，特征根为所以，方程的通解为求微分方程满足条件的通解.解：所给微分方程的特征方程为解得特征根为所以微分方程的通解为将初始条件代入通解得解方程组，得故微分方程的特解为求微分方程的通解.解：所

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