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文档简介

高等数学

第二章

极限与连续

极限的概念

目录Contents数列极限1函数极限2极限的性质3自变量趋于无穷大时自变量趋于某个值时数列极限1知识引入“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第一天截下的木棒长为第二天截下的木棒长为………第n天截下的木棒长为

庄子截丈问题：知识引入结论：观察数列随着增大，数列值有什么变化？当无限增大时，无限接近于0.把0称为数列的极限.知识引入

割圆术

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用.

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失.知识引入正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积——数列的极限…用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:圆的面积说明：当n的取值无限增大时，面积

无限接近一个确定的常数

S.数列极限对于数列

，若当自然数

无限增大时，

能无限地趋近于一个确定的常数A，则称数列

为收敛数列，常数A称为它的极限，记作反之，如果数列

的极限不存在，则称数列

发散.例1判断下列数列的极限是否存在

123无限增大，极限不存在

结论：解：例2

由等比数列求和公式可知由于

，所以当

无限增大时，

无限趋近于零，所以

无限趋近于

，因此函数极限2

对于

，自变量的变化过程有两种形式：自变量趋于无穷大时函数的极限函数的极限自变量趋于有限值

时函数的极限观察当

时,函数

的变化趋势.当

时，函数

无限趋近于常数0；当

时，函数

也无限趋近于常数0.对于函数,如果当自变量

的绝对值无限增大时,函数

无限趋近于一个确定的常数,称常数

为函数

当

时的极限,记作

定义设

讨论该函数当

时的极限.例3解：观察函数

图像可看出，当

从1的左、右两侧无限趋近于1时，曲线

上的点

与

都无限趋近于点

，即函数

的值无限趋近于常数2，所以

定义对于函数,如果当自变量

从左、右两侧无限趋近于

时,函数

无限趋近于一个确定的常数,称函数在

处的极限为,记作

左、右极限定义当自变量

时，函数

无限趋近于一个确定的常数,则称常数

为

时的左(右)极限,记作

的充分必要条件是

即左、右极限存在并相等.

定理1——判断分段函数在分界点处的极限方法.例4观察当

时，函数

的变化趋势，并求

时的极限.从图像可看出，当

从的左、右两侧同时无限趋近于-1时，函数

的值无限趋近于-2，故当

时并不要求函数

在点

处有定义.例5设

求当

时的极限.解：函数极限的性质3性质1（唯一性）性质2（局部有界性）性质3（保号性）函数极限的性质性质4

则例6解：课堂小

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