2.5 函数的连续性

高等数学

第二章

极限与连续

函数的连续性

目录Contents函数连续的概念1函数的间断点2初等函数的连续性3闭区间上连续函数的性质4函数的连续性1函数的增量定义1

在某过程中,变量

u由初值

u1

变为终值u2

,则称差

u2

u1

称为变量u的增量,注：

u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.当初值大于终值时，增量就是负的.

u=u2－u1.记为定义2自变量由x0变化到x，则称

x=x

x0

为自变量

x在x0点处的增量.=f(x0+

x)

f(x0)

y=f(x)

f(x0)

x

yOx0xxyy=f

(x)

f(x)在点

x0点处有函数增量

y：函数连续的概念当自变量x在这根据这一特点，给出函数y=f(x)在x0处连续的概念.

x

yOx0x+

xxyy=f

(x)定义3如果连续,则称函数f(x)在x0处称x0为函数f(x)的连续点.定义4则称函数f(x)在x0处连续.设

f(x)在U(x0)内有定义,若函数

f(x)在点

x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在

x0处有定义；

例2：讨论函数处连续.由连续性的定义知，解：

左连续：

右连续：左连续；右连续.左连续右连续注：此定理判定分段函数在分段点处的连续性.定理1函数在点x0

连续的充要条件是它在点x0

处既左连续又右连续.

例3：解：不右连续.所以左连续,

例4：解：定义5设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.(1)若

x0

(a,b),f(x)在点x0

处连续,则称

f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)

C(a,b).(2)若

f(x)

C(a,b),

在右端点

x=b处左连续,且

f(x)在左端点

x=a处右连续,

则称f(x)在闭区间[a,b]上连续,记为f(x)

C[a,b].函数的间断点2定义6函数的不连续点叫做函数的间断点.f(x)在点x0

处出现如下三种情形之一:无定义;不存在;则称函数f(x)在点

x0

处间断.下面举例函数间断的例子.因此x=0是此函数的间断点.由于

x=0是此函数的间断点.从上面的例子看出，函数在x0处虽然都是间断，但产生间断的原因各不相同.根据这一特点，下面对间断点进行分类:函数间断点的分类第二类间断点：第一类间断点:及均存在,若称为可去间断点.若其中有一个为称为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称为振荡间断点.称为跳跃间断点.若与至少有一个不存在,可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点为其无穷间断点

.为其振荡间断点

.为可去间断点

.例如:显然为其可去间断点

.(4)(5)为其跳跃间断点

.初等函数的连续性3

应用连续函数的概念可以验证,所有的基本初等函数在其定义域内是连续的.根据连续函数的上述性质,还可以得到一个很有用的结论:一切初等函数在其定义区间内是连续的。初等函数的连续性例4：解：例5：解：闭区间上连续函数性质4定理5（最值定理）闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.此定理说明，如果函数注：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，如果缺少一个，定理5不一定成立.例如,在(0,1)无最大值和最小值；

[0,2]有间断点，无最大值和最小值

又如,

推论：闭区间上连续函数在该区间上有界.定理6（介值定理）函数f(x)在[a,b]上连续，M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则至少存在一点定理7(零点定理)至少有一点且使例6：

证明方程内至少有一个根.证明

故据零点定理,至少存在一点使在区间即例7：例8：证明由零点定理,注：在应用零点定理时，一定要注意检验函数是否满足定理使用的条件.课堂小结函数连续的概念(