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文档简介

高等数学

第九章

线性代数§9.3矩阵的初等变换和秩

目录Contents矩阵的初等变换1行最简阶梯形矩阵2矩阵的秩3矩阵的初等变换1矩阵的初等变换定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换例1解：已知矩阵对其作初等行变换.行最简阶梯形矩阵2行阶梯形矩阵例如（1）零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方；（2）各非零行的首非零元（从左至右的第一个不为0的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或者说其列标一定不小于行标.定义：满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：行最简阶梯形矩阵注：（1）各非零行的首非零元都是1；（2）每个首非零元所在列的其余元素都是0.定义：满足以下条件的阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵：任一矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进而化为行最简阶梯形矩阵。定义：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零，这样的矩阵称为标准形矩阵.例2解：将矩阵化为行最简阶梯形矩阵.例3解：将矩阵先化为阶梯形矩阵，再化为行最简阶梯形矩阵。任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换矩阵的秩3矩阵的秩定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的

k阶子式．显然，m×n矩阵A的k

阶子式共有个．概念辨析：

k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式矩阵的秩定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．定义：对于n阶方阵，如果r(A)=n,那么称A为满秩矩阵。根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般

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