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高等数学

第十章

概率条件概率与事件的独立性

目录Contents条件概率1概率的运算公式2加法公式乘法公式伯努利概型3条件概率1条件概率条件概率是在随机试验基础上附加限制条件的一类概率.对于A、B两个事件,

如果P(B)>0,

在事件B已经发生的条件下,

事件A发生的概率,

叫作事件A对事件B的条件概率,

记作P(A│B).根据条件概率的定义,

其计算公式如下特别地,

如果事件A、B互相不影响另一事件发生的概率,则称事件A、B互相独立,

简称A与B独立.

此时,条件概率的计算公式可简化为在实际应用中,对事件的独立性常常根据事件的实际意义来判断.例1解：

掷一枚骰子2次,问:在第一次出现点数6的条件下,“两次掷得点数之和大于8”的概率有多大?设x，y分别为第一次和第二次掷得的点数,

于是，在已知x=6的条件下,可能的结果为(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)这6个样本点.中元素具有6×6=36(个)，而使两次掷得点数之和大于8的样本点为(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)这4个.

也可以用条件概率公式求解:

记A表示“第一次掷得点数6”,B表示“两次掷得点数之和大于8”，所以概率的运算公式2加法公式对于任意两个事件A、B,有特别地,

若事件A与事件B为互不相容事件,则若B为A的对立事件,即

，则

这表明,如果P(A)计算比较困难,可以考虑求其对立事件A的概率.加法公式可以推广到有限多个事件相加的情形，如若事件A、B、C两两互不相容,

则乘法公式特别地,

若A与B为相互独立事件,

则

可以作为A与B相互独立的充要条件.注意：若事件A与事件B独立,则

中的每一对事件都相互独立.例2解：

某商店出售来自甲、乙两个工厂的产品,

其中,甲厂的产品占70%，乙厂的产品占30%，它们的合格率分别为0.9和0.85.

某顾客从该商店购买一件产品,求他买到合格品的概率.

由乘法公式,

有所以上述解题方法推广到一般情况称为全概率公式.伯努利概型3定义10.4如果将一个试验重复做n次,

并满足:（1）每次试验条件都一样,且可能的结果为有限个.（2）各次试验的结果互不影响(即相互独立).则称此n次重复试验为n次独立试验.定义10.4

则称此n次重复试验为n次伯努利试验.伯努利试验的概率模型称为伯努利概型.

例3解：

一批产品中有20%的次品,进行重复抽样检查,

共取5件样品.

(1)计算这5件样品中恰好有3件次品的概率;(2)计算这5件样品中至多有3件次品的概率.设Ai是5件样品中恰好有i件次品的事件(i=0，1，2,3),n=5,p=0.2.（1）5件样品中恰好有3件次品的事件是A3，（2）至多有3件次品的概率是练习1.10个螺钉中有3个是坏的,从中随机抽取4个,求:(1)恰好有2个是坏的的概率;

(2)4个全是好的的概率.2.某射手的命中率为0.95,他独自重复向目标射击

5次,求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.

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