《高等数学（第三版）》教案 第1章 函数

第一章函数§1.1函数的概念教学目的：1.理解函数的概念2.会计算函数的定义域3.会判断两个函数是否相同4.了解函数的表示方法5.了解分段函数的概念并会求其定义域、值域教学重点：1.函数的概念2.计算函数的定义域3.分段函数教学难点：对函数概念的理解对分段函数的理解教学内容：一、函数的概念：1、函数的概念设x,y是两个变量，D是一个实数集.如果对于D内的每一个数x，按照某个对应法则f，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x叫作自变量，y叫作因变量，或者函数值，实数集D叫作这个函数的定义域.函数的三要素：定义域、对应关系、值域.函数的特性非空性：函数的定义域实数集D必须是一个非空的集合.任意性：定义域中的每一个元素都必须有对应的函数值.唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.3、例题例1．结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.练习：一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义描述这个函数.解:二、函数定义域的求法1、定义域：使表达式或实际问题有意义的自变量集合.（1）如果f(x)是分式，要求分母不等于零；（2）如果f(x)是二次根式，要求根号内的式子大于或等于零；（3）如果f(x)是对数形式，要求真数位置大于零；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）；（5）使实际问题有意义.2、例题例2．解:.例3．解：例4．已知函数的定义域是,求的定义域.解：三、相同函数1、由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.2、例题例5.解:例6．求函数f(x)=log_3x^2与g(x)=2log_3x的定义域，并判断它们是否是同一函数.解：f(x)的定义域为D(f)=(−∞,0)∪(0,+∞).g(x)的定义域为D(g)=(0,+∞).由于f(x)与g(x)的定义域不同，所以它们不是同一函数.四、函数的表示方法【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.注意：【1】解析法必须标明函数的定义域.【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”.分段函数1、概念在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.2、常见的分段函数设3、例题设例7.求：解：第一章函数§1.1函数的性质教学目的：1.理解函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性的定义2.会判断函数的奇偶性、单调性教学重点：1.函数奇偶性的判断2.函数单调区间的判断教学难点：对函数奇偶性概念的理解对函数有界性概念的理解教学内容：一、函数的奇偶性：1、概念设函数的定义域关于原点对称.偶函数：奇函数：2、图像特征3、例题例1．判断下列函数的奇偶性解：注意：定义域关于原点对称是研究函数奇偶性的前提.4、奇偶函数运算性质（1）奇函数代数和是奇函数，偶函数代数和是偶函数；（2）奇数个奇函数相乘是奇函数，偶数个奇函数相乘是偶函数；（3）偶函数的乘积是偶函数；（4）奇函数与偶函数乘积是奇函数.5、总结：利用定义判断函数的奇偶性步骤：二、函数的周期性1、定义：2、例题例2．求下列函数的周期解：三、函数的单调性1、定义设函数的定义域,区间增函数：减函数：注意：单调性是与“区间”紧密相关的概念,反映的是函数的局部性质.任意取x1,x2，“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换.等价形式：即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积异号，函数为减函数.2、例题例3.例4．判断函数在区间内的单调性.解：例5.总结利用定义判断函数单调性的步骤：四、函数的有界性1、概念注意：函数是否有界与所给区间有关.2、例题例6.在实数范围内，下列函数中为有界函数的是()答案：A第一章函数§1.3反函数教学目的：1.理解反函数的定义2.会求反函数3.了解直接函数与反函数的关系4.理解反三角函数的概念5.掌握反三角函数的图像及性质教学重点：1.求反函数2.反三角函数的图像及性质教学难点：对反函数、反三角函数概念的理解反三角函数的图像及性质教学内容：一、反函数：1、引入华氏温度(℉)与摄氏温度(℃),是两大国际主流的计量温度的标准.假设用x表示摄氏温度,用y表示华氏温度,则y=32+1.8x.显然0℃=32℉.那么当温度为50℉，用摄氏温度表示应该是多少呢？当y=50时，得x=10.所以50℉为10℃.称新函数为原函数的反函数，记为为方便改写为.2、概念设函数的定义域是，值域是，如果对于任意一个，都有唯一的，使得成立，这时也是的函数，称它为的反函数，记作，而称为直接函数.注意：习惯上常用x表示自变量,用y表示因变量,因此,经常把反函数写成直接函数与反函数的关系（1）直接函数与反函数的定义域、值域相互交换.（2）直接函数与其反函数的图像关于直线y=x对称.4、例题例1．求函数的反函数.解：由解得交换x和y，得即的反函数为解：求的反函数.解：总结：求反函数的步骤：（1）将看成方程,解出（2）将x，y互换得（3）写出反函数的定义域.5、思考：是否所有函数都存在反函数?讨论的反函数.函数的定义域为R，值域因为,任取有两个x值与之对应，所以x不是y的函数，即函数在区间R上不存在反函数.二、反三角函数1、引入：正弦函数在定义域内存在反函数吗？正弦函数在整个定义域R上不存在反函数.概念反正弦函数正弦函数在区间上的反函数，称为反正弦函数，记作反余弦函数余弦函数在区间上的反函数，称为反余弦函数，记作反正切函数正切函数在区间上的反函数，称为反正切函数，记作反余切函数余切函数在区间上的反函数，称为反余切函数，记作3、例题例4．求下列反三角函数的值.解：例5.求函数的定义域.解：设求：解：第一章函数§1.1复合函数与初等函数教学目的：1.掌握六类基本初等函数2.掌握复合函数的分解及简单函数的复合3.理解初等函数的概念教学重点：1.基本初等函数的图像及性质2.复合函数的分解3.初等函数的概念教学难点：复合函数的分解教学内容：一、基本初等函数：1、常数函数幂函数常见幂函数的性质：指数函数：对数函数：三角函数：正切函数余切函数正割函数余割函数反三角函数：这六种函数统称为基本初等函数.3、例题例1．下列函数是基本初等函数的是().答案：B例2.下列函数哪个是基本初等函数().答案：C二、复合函数1、引入：在实际问题中常见的函数并非都是基本初等函数.在工程技术和经济活动中，有些函数关系比较复杂.例如,某商店经营一种商品，若不考虑其他因素，那么利润L是营业额Q的函数,而营业额Q又是价格P的函数,因此对于在确定范围内的每一个价格P,通过Q都有唯一确定的L与之对应，这样,就可以把L看成P的函数.概念复合函数分解：从外向里，分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算.3、例题例3．指出下列函数由哪几个简单函数复合而成.解：试求函数复合而成的复合函数.分析：将中间变量的表达式来代换中间变量，消去中间变量，就得到了关于自变量的函数，很容易得到复合函数.解：注：并不是任意几个函数都可以构成复合函数的，例如