《高等数学（第三版）》教案 第3章 导数与微分

第三章导数与微分§3.1导数概念教学目的：1.理解导数的定义2.了解左、右导数3.会用定义计算导数4.了解导数的几何意义5.知道函数可导性与连续性的关系教学重点：1.导数的定义2.利用导数定义计算导数教学难点：1.对导数概念的理解教学内容：一、导数的定义：1、导数的定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即.若极限不存在，则称在点处不可导.若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为.2、求导数举例例1．求函数f(x)C（C为常数）的导数.解:.即(C)¢0.例2．按定义求y=10在x=-1处的导数。例3．求函数f(x)sinx的导数.解:f¢(x).即(sinx)¢cosx.用类似的方法,可求得(cosx)¢sinx.例4．求函数f(x)ax(a>0,a¹1)的导数.解:f¢(x).特别地有(ex)ex.例5．求函数f(x)logax(a>0,a¹1)的导数.解:.解:.即.:二、左导数与右导数1、函数在点处的左导数＝.函数在点处的右导数＝.2、函数在点处可导的充分必要条件是：存在；存在；且=。3、举例例6．求函数f(x)x|在x0处的导数.解:,,因为f¢(0)¹f¢(0),所以函数f(x)|x|在x0处不可导.三、导数的几何意义1、导数的几何意义函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率，即可知曲线在点M(x0,y0)处的切线方程为：过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f¢(x0)¹0,法线的斜率为,从而法线方程为：2、举例例7.求双曲线在点处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.解:,所求切线及法线的斜率分别为,.所求切线方程为,即4xy40.所求法线方程为,即2x8y150.四、可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导.第三章导数与微分§3.1导数概念教学目的：1.了解导数的几何意义2.知道函数可导性与连续性的关系教学重点：1.会求曲线的切线方程和法线方程教学难点：1.函数可导性与连续性的关系教学内容：一、导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数f¢(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率,即f¢(x0)tan,其中是切线的倾角.如果yf(x)在点x0处的导数为无穷大,这时曲线yf(x)的割线以垂直于x轴的直线xx0为极限位置,即曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x轴的切线xx0.:由直线的点斜式方程,可知曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为yy0f¢(x0)(xx0).过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f¢(x0)¹0,法线的斜率为,从而法线方程为.例1.求等边双曲线在点处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.解:,所求切线及法线的斜率分别为,.所求切线方程为,即4xy40.所求法线方程为,即2x8y150.例2求曲线的通过点(0,-4)的切线方程.解设切点的横坐标为x0则切线的斜率为.于是所求切线的方程可设为.根据题目要求,点(0,-4)在切线上,因此,解之得x0=4.于是所求切线的方程为即3xy40二、函数的可导性与连续性的关系设函数yf(x)在点x0处可导,即存在.则.这就是说,函数yf(x)在点x0处是连续的.所以,如果函数yf(x)在点x处可导,则函数在该点必连续.另一方面,一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.x例3．函数在区间(,)内连续,但在点x0处不可导.这是因为函数在点x0处导数为无穷大x.第三章导数与微分§3.2求导法则教学目的：1.熟练掌握导数的四则运算法则教学重点：1.会求四则运算法则求初等函数的导数教学难点：1.利用四则运算法则推导导数公式教学内容：一、四则运算求导：定理1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且。证明：==所以。注1：本定理可推广到有限个可导函数上去。2：本定理的结论也常简记为。定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。证明：====即。注1：若取为常数，则有：；2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：等。定理3：若都在点可导，且，则在点也可导，且。证明：===即注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；2：本公式简化为；3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。设，求。解：。设，求。解：。【例3】第三章导数与微分§3.2求导法则教学目的：1.熟练掌握复合函数的分解2.熟练掌握复合函数的求导思想（链式法则）3.了解反函数的导数求法教学重点：1.复合函数求导法则教学难点：1.反函数的导数教学内容：一、反函数的导数法则：定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。证明：以故。注1：，因为在点附近连续，严格单调；2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义；3：和的“′”均表示求导，但意义不同；4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。求的导数，解：由于，是的反函数，由定理1得：。注1：同理可证：；2：。二、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或证明：==所以。注1：若视为任意，并用代替，便得导函数：，或或。2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：等。求的导数。解：可看成与复合而成，，，。【例3】，求。解：【例4】，求。解：。第三章导数与微分§3.2求导法则教学目的：1.掌握隐函数求导2.掌握对数求导法教学重点：1.隐函数求导法则。教学难点：1.隐函数求导法则。教学内容：一、隐函数求导法则：如果变量x，y之间的对应规律，是把y直接表示成x的解析式，即熟知的y=f(x)的形式的显函数．如果能从方程F(x，y)=0确定y为x的函数y=f(x)，则称y=f(x)为由方程F(x，y)=0所确定的隐函数．例1求由方程x2+y2=4所确定的隐函数的导数．解在等式的两边同时对x求导．注意现在方程中的y是x的函数，所以y2是x的复合函数．于是得2x+2yy=0，解出y=－．例2求x2－y3－siny=0,(0y,x0)所确定的隐函数的导数．解在方程两边同时对x求导，得2x-3y2y-cosyy=0，解得y=．二、对数求导法为了求y=f(x)的导数y，两边先取对数，然后用隐函数求导的方法得到y．常称这种求导方法为对数求导法．根据对数能把积商化为对数之和差、幂化为指数与底的对数之积的特点，对幂指函数或多项乘积函数求导时，用对数求导法必定比较简便．例3利用对数求导法求函数y=(sinx)x的导数．解两边取对数，得lny=xlnsinx；两边对x求导，得y=lnsinx+xcosx，故y=y(lnsinx+xcotx)，即y=(sinx)x(lnsinx+xcotx)．注意例7也能用下面的方法求导：把y=(sinx)x改变为y=exlnsinx，则y=(exlnsinx)=exlnsinx(xlnsinx)=exlnsinx(lnsinx+xcotx)=(sinx)x(lnsinx+xcotx)．例4设y=，求y．解两边取对数，得lny=ln(3x－1)+ln(x－1)－ln(x－2)，两边对x求导，得y=+－，所以y=[+－]．第三章导数与微分§3.3高阶导数教学目的：1.了解高阶导数的定义并会求简单的高阶导数2.会求参数方程确定函数的导数教学重点：1.熟练求解高阶导数教学难点：1.参数方程求二阶导数教学内容：一、参数方程求导：曲线的参数方程(t为参数，atb)．当(t),(t)都存在，且(t)0时，可以证明由参数方程所确定的函数y=f(x)的导数为y==．例1求由方程(0<t<)所确定的函数y=f(x)的导数y．解y==－cott,(0<t<)．例2求摆线(a为常数)上对应于t=的点M0处的切线方程．解：摆线上对应于t=的点M0的坐标为(,a)，又==cot，=1，即摆线在M0处的切线斜率为1，故所求的切线方程为y-a=1(x-)，即x-y+(2-)a=0．二、高阶导数定义设函数y=f(x)存在导函数f(x)，若导函数f(x)的导数[f(x)]存在，则称[f(x)]为f(x)的二阶导数，记作y或f(x)或,，即y=(y)==．若二阶导函数f(x)的导数存在，则称f(x)的导数[f(x)]为y=f(x)的三阶导数，记作y或f(x)．一般地，若y=f(x)的n-1阶导函数存在导数，则称n-1阶导函数的导数为y=f(x)的n阶导数，记作y(n)或f(n)(x)或,，即y(n)=[y(n-1)]或f(n)(x)=[f(n-1)(x)]或=．因此，函数f(x)的n阶导数是由f(x)连续依次地对x求n次导数得到的．函数的二阶和二阶以上的导数称为函数的高阶导数．函数f(x)的n阶导数在x0处的导数值记作记作y(n)(x0)或f(n)(x0)或等．例2求函数y=3x3+2x2+x+1的四阶导数y(4)．解y=(3x3+2x2+x+1)=9x2+4x+1；y=(y)=(9x2+4x+1)=18x+4；y=(y)=(18x+4)=18；y(4)=(y)=(18)=0．例3求函数y=ax的n阶导数．解y=(ax)=axlna；y=(y)=(axlna)=lna(ax)=ax(lna)2；y=(y)=[ax(lna)2]=[lna]2(ax)=ax(lna)3；……y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n．例4若f(x)存在二阶导数，求函数y=f(lnx)的二阶导数．解：y=f(lnx)(lnx)=；y=[]=．例4设函数y(x)的参数式为,(t2n,nZ)，求y的二阶导数．解=cot,(t2n,nZ)，因为=，所以=,(t2n,nZ)．第三章导数与微分§3.4微分教学目的：1.了解微分的概念2.掌握微分的计算3.微分的近似计算教学重点：1.准确计算函数的微分2.导数和微分的关系教学难点：1.理解微分的概念2.微分的几何意义教学内容：一、微分的概念：1、微分的定义如果函数在点处的改变量，可以表示成，其中是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，称为的线性主部，又称为函数在点处的微分，记为或，即.注：（1）A是与x无关（2）如果函数y=f(x)在点x0处可微，按定义有y=Ax+o(x)，上式两端同除以x，取x0的极限，得[A+]=A，这表明若y=f(x)在点x0处可微，则在x0处必定可导，且A=f(x0)．二、微分的计算Th：函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是在点x0处可导，且dy=f(x0)x．注：由于自变量x的微分dx=(x)x=x，所以y=f(x)在点x0处的微分常记作dy=f(x0)dx．例1求函数y=x2在x=1处，对应于自变量的改变量x分别为0.1和0.01时的改变量y及微分dy．解y=(x+x)2-x2=2xx+(x)2，dy=(x2)x=2xx．在x=1处，当x=0.1，y=210.1+0.12=0.21，dy=210.1=0.2；当x=0.01，y=210.01+0.012=0.0201，dy=210.01=0.02