《高等数学（第三版）》教案 第4章 导数应用

第四章导数的应用§4.1微分中值定理教学目的：1.了解罗尔定理2.了解拉格朗日中值定理3.掌握微分中值定理的应用教学重点：1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理教学难点：微分中值定理的应用教学内容：4.1中值定理定理4.1（罗尔定理）：若函数y=fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则在开区间a,b内至少存在一点ξ罗尔定理的几何意义是：在满足条件的曲线弧上至少能找到一点M，使其在该点的切线平行于x轴.定理4.2（拉格朗日定理）：若函数y=fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得拉格朗日定理的几何意义：在满足条件的光滑曲线弧AB上至少能找到一点C，使其在该点的切线平行于弦AB.例1：已知函数，说明方程有几个实根，并说出它们各自所在的区间.解：显然在上连续且可导，，故在区间与上都满足罗尔定理的条件，从而方程在及内至少各有一个根.又为二次多项式，所以方程只能有两个根.例2：证明当时，.证明：设，显然，在上满足拉格朗日定理的条件，有，.由于，所以，即.练习：下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的所以条件？（1）【是】（2）【是】第四章导数的应用§4.2洛必达法则教学目的：1.理解洛必达法则2.熟练使用洛必达法则判断“00”或“∞3.会求其他型未定式的极限教学重点：1.洛必达法则2.其他型未定式教学难点：其他型未定式极值的判断教学内容：4.2洛必达法则定理4.3：设函数满足：（1）；（2）在附近都可导，且；（3）.则.例1：求极限.解:.例2：求极限.解：.例3：求极限.解：原式不是分式，要化为分式，使之符合洛必达法则模型.注意：在使用洛必达法则时，如果遇到既不是有限数也不是无穷大，不能断定原极限也不存在，只是这时不能用洛必达法则，而需要用其他的方法来求.例4：求极限.解：此题为“”型未定式，由于，极限不是有限数，也不是无穷大，因而不能用洛必达法则.由于时，为无穷小，是有界函数，故.练习：求下列极限：（1）【1】（2）【】（3）【1】（4）【】三、对于“0∙∞”，∞-∞（同时为+∞或同时为-∞型），“00”，“1∞”，“∞解决方法：取倒数，通分，取对数例5：求limx→0+解：lim注：对0∙∞型未定式，可以化为00或∞∞型未定式，但为计算简便，一般把它变化成分子分母易求导的类型（即颠倒那个易求导的，此类题要活，颠倒极限为0的不易求，就颠倒极限为对上式或化为型，则例6：求例7：求limx→0+注：计算“00”，“1∞”，“∞0”型的未定式，一般对y=fxgx两边同时取对数，则右边为gx∙ln⁡解：设y=xx，则limx→又y=elny例8：解：令，则，故=，故.注：求未定式极限时，最好将洛必达法则与其它求极限方法结合使用，能化简时尽可能化简，能应用等价无穷小或重要极限时，尽可能应用.例9：求解：例10：求lim解：原式==lim原式＝例11：因.故原式注：①当求到某一步时，极限是未定式，才能应用洛必达法则，否则会导致错误结果.②当定理条件满足时，所求极限一定存在（或为）当定理条件不满足时，所求极限不一定不存在例12：求解：因分子极限不存在，故不满足洛必达法则条件.但.例13：求.解：.课堂练习：1、求型2、3、求.型4、求第四章导数的应用§4.3函数的单调性与极值教学目的：1.掌握函数的单调性2.理解极值的概念3.掌握函数极值的必要条件和充分条件教学重点：1.函数的单调性的判断2.函数极值的判断教学难点：函数极值的判断教学内容：4.3函数的单调性与极值4.3.1函数单调性的判定定理4.4：设函数fx在a,b上连续，在a,b（1）若在a,b内f'x>0，则函数fx（2）若在a,b内f'x<0，则函数fx例：讨论fx解：该函数的定义域为.令，解得，列表讨论如下：x-∞,1(1,3)3,+∞f+-+f↗↘↗x0,1f-+f↘↗x-∞,-2-2(-2,0)00,+∞f+0-0+f↗极大值4↘极小值0↗由表可知，函数在-∞,1和3,+∞上单调增加，在[1,3]上单调减少.上单调递增，练习：1.判断函数在区间内的单调性.【单调增加】2.判断函数的单调性.【单调减少】4.3.2函数的极值及其求法定义4.1：设函数fx在区间a,b内有定义，x0是a,b内一点.如果对x0附近任一有定义的点x，都有fx<fx0（或fx>fx0），就称f函数的极值与极值点如下图所示.定理4.5（极值的必要条件）：若函数fx在点x0处取得极值，则f'x将函数的一阶导数为零的点称为驻点.因此，驻点和不可导点都有可能是函数的极值点.定理4.6（极值存在的第一充分条件）：设函数fx在点x0及其附近连续且可导（在x0处可以不可导），且在x0两边的导数值异号，则（1）若f'x由正变负，则fx0（2）若f'x由负变正，则fx0（3）如果在x0的左、右两侧f'x符号相同，则求y=f（1）求出函数fx（2）求出函数fx的导数f'（3）求出函数fx（4）用上述驻点和不可导点将函数fx的定义域分成若干区间，列表讨论在每个区间上f'例：求函数的极值.解：（1）的定义域为.（2）.（3）令，得驻点，无不可导点.（4）用驻点划分的定义域，列表如下：所以函数的极大值为f-2=4e练习：求出函数的极值.【极大值为10，极小值为-22】定理4.7（极值存在的第二充分条件）：设函数fx在点x0处具有二阶导数，且f'x（1）若f''x<0，则fx（2）若f''x>0，则fx注意：以下三种情况不能使用第二充分条件，必须使用第一充分条件进行判别：（1）f'x不存在；（2）f''x=0例：求函数fx解：函数的定义域为，，.令，得驻点，又，所以由定理4.7得，是函数的极小值，的极小值为.练习：求函数fx第四章导数的应用§4.3.3函数的最值教学目的：1.理解最值的概念2.掌握闭区间函数最值的计算3.掌握函数最值的应用教学重点：1.闭区间函数最值的计算2.函数最值的应用教学难点：函数最值的应用教学内容：4.3.3函数的最值求函数fx在闭区间a,b求出函数在a,b内所有可能的极值点（即驻点和不可导点）求出这些驻点和不可导点以及闭区间端点处的函数值比较的大小，其中最大者就是fx在闭区间a,b上的最大值，最小者就是fx在闭区间a,b例：求函数fx=2x解：，令，得.由于，比较，得最大值f4=142，最小值f例：某工厂A与铁路的垂直距离为AD=21km，D到B城的距离为100km，欲将工厂A的产品运到B城，已知公路运费为10元/km，铁路运费为8元/km，想在铁路解令DC=x(km)，则AC=x2+再设总运费是y元.依题意，得y=10x2+问题就归结为求函数y=fx在[0可算出，y'=10xx2在[0，100]内，y只有一个驻点x=28y练习：求函数在上的最值。【最大值11，最小值-1】第四章导数的应用§4.4函数图形的描绘教学目的：1.了解罗尔定理2.了解拉格朗日中值定理3.掌握微分中值定理的应用教学重点：1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理教学难点：微分中值定理的应用教学内容：4.4函数图像的描绘4.4.1曲线的凹凸性与拐点定义4.2：设函数在区间上连续，如果在区间上，曲线总位于其任意一点的切线上方，则称曲线在区间上是凹的；如果在区间上，曲线总位于其任意一点的切线下方，则称曲线在区间上是凸的.定理4.8（凹凸性判定定理）：设函数在上连续，且在内具有二阶导数.（1）若在内，则曲线在上是凹的.（2）若在内，则曲线在上是凸的.例1：判断曲线的凹凸性.解：函数的定义域为.，.在定义域内，恒有，故曲线是凸的.练习：判断曲线的凹凸性.【在内是凸的，在内是凹的】定义4.3：曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点.确定曲线y=fx（1）确定函数y=f（2）求出函数的二阶导数f''x（3）求出f''x为零的点和f''（4）用上述f''x为零的点和f''x不存在的点将函数fx例2：求曲线y=x解：（1）函数的定义域为.（2），.（3）解方程，得.（4）列表分析如下：曲线在区间-∞,0和2,+∞内是凹的，在区间0,2内是凸的.点0,3和2,-13是曲线的拐点.练习：求曲线y=3x【-∞,1凹，1,+∞凸，1,2拐点】4.4.2曲线的渐近线：如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一条定直线的距离趋于0，称此直线为该曲线的一条渐近线.水平渐近线：若limx→∞fx=a（limx→+∞fx=a垂直渐近线：若limx→x0fx=∞（limx→x斜渐近线：（常数）（常数）则直线是斜渐近线例3:求曲线y=1x-1解：为水平渐近线;为铅直渐近线.例4：求曲线y=x解：所以有铅直渐近线及又为曲线的斜渐近线.[利用符号可判定在哪个区间上上升或下降及极值点，利用符号可以确定凹凸性及拐点，利