《高等数学（第三版）》课件 第五章 不定积分

高等数学第五章

不定积分

不定积分的概念

目录Contents原函数与不定积分的概念1不定积分的运算法则2直接积分法3原函数与不定积分的概念1定义

1

设函数

y=f(x)在某区间上有定义，如果存在函数

F(x)，对于该区间上任一点

x，使F

(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数

F(x)是已知函数

f

(x)在该区间上的一个原函数.一、原函数与不定积分(x3+C)

=3x2(C为任意常数)，所以x3

+1，

x3+

C都是3x2在区间(

,)内的原函数.例如，因为在区间(

,)内有(x3)

=3x2，所以x3

是3x2

在区间(

,)内一个原函数，又因为(x3+1)

=3x2，一般地，

若F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，

则函数族F(x)+

C

(C为任意常数)都是f(x)在该区间上的原函数.移项得

(x)=

F(x)+

C.因为

(x)是

f(x)的任一个原函数，由微分中值定理的推论得

(x)-F(x)=C

(C为常数)，设F(x)是f(x)在区间I上的一个确定的原函数，

(x)是f(x)在区间I上的任一个原函数，F

(x)=f(x)，

(x)=f(x).

所以

F(x)+

C是f(x)在区间I上的全体原函数的一般表达式.

即被积表达式任意常数积分号被积函数定义2（不定积分）积分变量

在区间I内，函数的带有任意常数项的原函数，称为在区间I内的不定积分,记为原函数例1

求解解例2

求例3

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为即是的一个原函数.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算“互逆”.微分运算与求不定积分的运算的关系当x<0时，所以当x>0时，所以综合以上两种情况，当x

0时，得例

3

求不定积分解例

4

求不定积分.

解

先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，(1)(2)得不定积分的运算法则2

法则

1两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即二、不定积分的基本运算法则

法则

2

被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号前面，(k为不等于零的常数)即例

5

求不定积分

但是由于任意常数之和还是任意常数，其中每一项虽然都应有一个积分常数，解

所以只需在最后写出一个积分常数C

即可.直接积分法3

求积分时，如果直接用求积分的两个运算法则和基本公式就能求出结果，三、直接积分法

或对被积函数进行简单的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)，

在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能求出结果，

这种求不定积分的方法成为直接积分法．例

6

求解例

7

求解5.基本积分表(1)4.不定积分的性质（线性性）1.原函数的概念：2.不定积分的概念：3.求微分与求积分的互逆关系小结6.利用积分公式求积分高等数学

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不定积分

第一类换元积分法目录Contents第一类换元积分法1常用公式2函数的概念1回顾：不定积分基本公式表与它们对应的是本节的基本积分法复合函数微分法和乘积的微分法.在积分运算中,(两种).微分运算中有两个重要法则:

换元积分法和下节的分部积分法第一类换元法.第一类换元法解决方法将积分变量换成令因为?一、第一类换元法

设

F是

f的一个原函数,u=j(x)可导,则有

定理1(换元积分公式)

例1

例2

从被积函数中找复合函数因子去确定u

例3

从被积函数中找复合函数因子去确定u

例4

例5

从被积函数中复合函数因子去确定u

例6

通过凑微分确定

u

例7

常用公式2解

例8

Thankyou高等数学

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第二类换元积分法目录Contents函数的概念1函数定义域的求法2相同函数3函数的表示方法4分段函数5函数的概念1回顾：不定积分基本公式表第二类换元积分法例1解例2解课堂小结常用积分公式；第二类换元积分法；Thankyou高等数学

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不定积分

分部积分法目录Contents分部积分法1循环法2分部积分法1讲授新知：称为不定积分的分部积分法.注意：

运用分部积分法的关键是恰当地选择和，一般选择和原则是例1

求积分解一显然，积分更难进行.解二例2

求例