1.2一元二次方程的解法(原卷版+解析)

1.2一元二次方程的解法教材知识总结教材知识总结直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

【点拨】用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【点拨】（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【点拨】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．

公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

【点拨】（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.【点拨】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.看例题，涨知识看例题，涨知识【例题1】解方程：．【例题2】解方程：．【例题3】用你喜欢的方法解方程：．【例题4】解方程：课后习题巩固一下课后习题巩固一下一、单选题1．一元二次方程根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（）．A． B． C．且 D．且3．一元二次方程，配方后可变形为（

）A． B． C． D．4．下列一元二次方程中，无实数根的是（

）A． B．C． D．5．关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有没有实数根取决于a的值6．方程的解为（

）A． B． C．或 D．或二、填空题7．一元二次方程的解是________．8．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是____________．9．关于x的方程的解是___．10．已知、是一元二次方程的两个根，则代数式的值为______．三、解答题11．解方程．(1)；(2)．12．解方程(1)(2)13．关于的一元二次方程．(1)当时，解方程；(2)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围．14．已知：关于x的一元二次方程．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)选择一个你喜欢的整数m的值代入原方程，并求出这个方程的解．15．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；(1)若3与是关于的关联数，则__________．(2)若与是关于-2的关联数，求的值．(3)若与是关于的关联数，，的值与无关，求的值．1.2一元二次方程的解法教材知识总结教材知识总结直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

【点拨】用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【点拨】（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【点拨】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．

公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

【点拨】（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.【点拨】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.看例题，涨知识看例题，涨知识【例题1】解方程：．【答案】【分析】将方程整理，再直接开平方即可．【解析】解：整理得：∴．【例题2】解方程：．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【解析】解：方程可化为，解得：，∴．【例题3】用你喜欢的方法解方程：．【答案】，【分析】利用公式法解一元二次方程即可得．【解析】解：方程中的，则方程根的判别式为，所以方程的解为，即．【例题4】解方程：【答案】，【分析】方程利用因式分解法求解即可．【解析】解：∴，∴，课后习题巩固一下课后习题巩固一下一、单选题1．一元二次方程根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解析】解：方程化为一般式为：＝0，∵Δ=，∴方程没有实数根，故选：C．2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（）．A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根据根的判别式是非负数，且二次项系数不等于0，列不等式求解即可．【解析】解：由题意得，且解得且．故选：C．3．一元二次方程，配方后可变形为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方可得．【解析】解：移项得：x2-8x=1，配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，故选：A．4．下列一元二次方程中，无实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别计算各选项方程的根的判别式然后根据计算的结果分别判断根的情况．【解析】解：A，方程没有实数根，故符合题意．B，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意．C，方程有两个相等的实数根，故不符合题意．D，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意．故选：A．5．关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有没有实数根取决于a的值【答案】C【分析】求出，结合a≠1得出，确定出结果．【解析】解：∵a≠1，∴＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选择C．6．方程的解为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．【解析】解：，解得：故选D二、填空题7．一元二次方程的解是________．【答案】【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程，即可求出答案．【解析】解：，∴，∴，∴；故答案为：8．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是____________．【答案】【分析】因为无实数根，即无实数根，根据根的判别式，求出c的取值范围即可．【解析】∵无实数根，∴无实数根，∴，解得，∴当时，方程无实数根，故答案为：．9．关于x的方程的解是___．【答案】3或-1【分析】根据因式分解法解一元二次方程．【解析】解：根据因式分解可直接得x-3=0，x+1=0解得x1=3，x2=-1．故答案为：3或-110．已知、是一元二次方程的两个根，则代数式的值为______．【答案】10【分析】先解一元二次方程求出a、b的值，然后代值计算即可．【解析】解：∵，∴，解得，∵、是一元二次方程的两个根，∴或，∴，故答案为：10．三、解答题11．解方程．(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】(1)移项后，利用直接开平方法解方程即可；(2)利用一元二次方程的求根公式直接求解即可．【解析】(1)解：，，，∴，解得，(2)解：这里，，，∴，∴，解得，12．解方程(1)(2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）利用配方法解方程；（2）先移项得到（2x-1）2-（3-x）2=0，然后利用因式分解法解方程．【解析】(1)解：x2-6x-1=0，移项得：x2-6x=1，配方得：x2-6x+9=1+9，即（x-3）2=10，∴x-3=±，∴x1=3+，x2=3-；(2)解：移项得：（2x-1）2-（3-x）2=0，因式分解得：（2x-1+3-x）（2x-1-3+x）=0，∴2x-1+3-x=0或2x-1-3+x=0，∴x1=-2，x2=．13．关于的一元二次方程．(1)当时，解方程；(2)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围．【答案】(1)，，(2)m<．【分析】（1）当m=5时，方程为，得到一个一元二次方程