《专题九 指对幂函数》课件

指对幂函数专题九高中数学考情分析考点攻关考点一、幂函数（1）幂函数的概念：一般地,形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数．（2）五种常见幂函数的图象与性质：

考点攻关（3）幂函数的图象特征与性质常用结论：

考点攻关考点攻关（4）幂函数的图象及其应用：（5）比较幂值大小：考点攻关（6）幂函数的性质及其应用：考点攻关幂、指函数判断大小考点攻关幂函数的图象考点攻关幂函数的图象考点攻关幂函数的图象考点攻关幂函数的图象考点攻关幂函数的图象可以当做结论：下凸小于，上凸大于考点攻关幂函数的图象考点攻关幂函数的图象考点攻关考点攻关考点二、指数式与对数式运算（1）指数式的运算：

考点攻关考点攻关（3）对数式的运算：

考点攻关考点攻关对数式运算考点攻关对数式运算考点攻关指数式、对数式互化考点攻关指数式、对数式互化考点攻关指数式、对数式互化考点三、对数函数考点攻关（1）对数函数的概念：

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义

域是(0，＋∞)．（2）对数函数的图象：

考点攻关（3）指数函数与对数函数的关系：

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，

它们的图象关于直线y＝x对称.

（4）常用结论：

考点攻关考点攻关

比较对数式的大小考点攻关

对数函数图象问题复合函数考点攻关

对数函数图象问题考点攻关

对数函数图象问题复合函数考点攻关

对数函数图象问题考点攻关

对数函数图象问题考点攻关

对数函数图象问题

考点攻关

对数函数大小问题考点四、指数函数考点攻关（1）指数函数的定义：

函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定

义域是R，a是底数.（2）指数函数的图象：考点攻关考点攻关

指数型复合函数单调性考点攻关

指数型函数考点攻关

指数型函数考点攻关

指数型函数考点攻关

指数型函数考点攻关

指数型函数考点攻关

指数型函数知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一指数、对数的运算解(方法1)原式=lg(2×7)-2(lg

7-lg

3)+lg

7-lg(32×2)=lg

2+lg

7-2lg

7+2lg

3+lg

7-2lg

3-lg

2=0.规律方法

指数式的运算首先注意化简顺序,一般先将负指数转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.变式训练1专题二指数函数、对数函数的图象问题【例2】

在同一平面直角坐标系中,一次函数y=x+a与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象可能是(

)C解析

对于A,由对数函数图象知0<a<1,此时直线的纵截距满足a>1,矛盾;对于B,由对数函数图象知a>1,此时直线的纵截距满足0<a<1,矛盾;对于C,由对数函数图象知0<a<1,此时直线的纵截距满足0<a<1,保持一致;对于D,由对数函数图象知a>1,此时直线的纵截距满足a<0,矛盾.故选C.【例3】

若不等式4x2-logax<0在(0,)内恒成立,则a的取值范围是

.

规律方法

与指数、对数有关的方程解、函数零点、不等式、图象位置等问题,常需画出图象,数形结合求解.变式训练2已知

g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,则m的取值范围是(

)A.[-1,+∞) B.[-1,0)C.[0,+∞) D.[1,+∞)A解析

g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,可得g(x)=0,即f(x)=-x-m有两个不等实根,即有函数y=f(x)和直线y=-x-m有两个交点,作出y=f(x)的图象和直线y=-x-m,当-m≤1,即m≥-1时,y=f(x)和y=-x-m有两个交点,故选A.专题三函数的零点与方程的根【例4】

(1)函数

的零点个数是

.

2解析①当x≤0时,由f(x)=0,即x2-2=0,解得x=或x=-.因为x≤0,所以x=-.②(方法1)函数单调性法

当x>0时,f(x)=2x-6+ln

x.而f(1)=2×1-6+ln

1=-4<0,f(3)=2×3-6+ln

3=ln

3>0,所以f(1)f(3)<0,又函数f(x)的图象是连续的,故由零点存在定理,可得函数f(x)在(1,3)内至少有一个零点.而函数y=2x-6在(0,+∞)上单调递增,y=ln

x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=2x-6+ln

x在(0,+∞)上单调递增.故函数f(x)=2x-6+ln

x在(0,+∞)内有且只有1个零点,综上,函数f(x)共有2个零点.(方法2)数形结合法

当x>0时,由f(x)=0,得2x-6+ln

x=0,即ln

x=6-2x.如图,分别作出函数y=ln

x和y=6-2x的图象.显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在y轴的右侧,故当x>0时,f(x)=0只有一个解.综上,函数f(x)共有2个零点.(2)已知函数

其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是

.

(3,+∞)解析

如图,当x≤m时,f(x)=|x|.当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+∞)单调递增,若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,则m2-2m·m+4m<|m|.∵m>0,∴m2-3m>0,解得m>3.规律方法

函数的零点与方程的根的关系及应用(1)函数的零点与方程的根的关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.专题四指数函数、对数函数的应用【例5】

基本再生数R0与世代间隔T是某种疾病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该疾病疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=er

t描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6