安徽省颍上第一中学2025-2026学年高一下学期六月份学情检测数学试题（解析版）

第1页/共1页高一年级六月份学情检测数学考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．本卷命题范围：人教版必修第二册第六章～第十章第一节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标运算求解.【详解】因为，，所以，解得.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【详解】因为为纯虚数，所以，且，解得．3.下列说法中，正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.一个多面体至少有4个面C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台【答案】B【解析】【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.故选：B.4.下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若，为两个事件，则；③若事件，，彼此互斥，则；④若事件，满足，则，是对立事件.其中错误命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝.所以错误命题有3个.故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（）A.若，，则与必异面 B.若点，点，则直线C.若，，则 D.若点，点，则直线与相交【答案】D【解析】【分析】应用线面位置关系，线线位置关系关系判断各个选项即可.【详解】对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题；对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题；对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题；对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题；故选：D.6.如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解.【详解】如图所示，过点作于点，连接，因为，，且，所以，所以，所以，所以即为二面角的平面角，设，在等腰直角和中，可得，又因为，所以为等边三角形，所以，所以，所以，所以二面角的大小为.7.已知有20个数，平均数为10，方差为，从中取出个数，若取出的数的平均数为10，方差为8，剩余的数的方差为12，则（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】首先计算剩余数据的平均数，根据数据与均值的差的平方和的等量关系列方程求解.【详解】已知原20个数，平均数为10，所以原20个数的和为，取出个数，平均数为10，所以这个数的和为，剩余个数，平均数为，根据方差公式，为数据个数，为数据平均数，则数据与均值的差的平方和为，原20个数的方差为，与均值的差的平方和为，取出个数的方差为8，与均值的差的平方和为，因剩余个数的方差为12，与均值的差的平方和为，所以，即，.8.在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定点轨迹，再利用等腰三角形性质求出最小值.【详解】在正四棱柱中，取中点，连接，由四边形是矩形，为棱的中点，得，平面即平面，取中点，连接，则，平面，平面，则平面，而，，于是四边形是平行四边形，，又平面，平面，则平面，而平面，因此平面平面，而平面，则平面，即平面，又点为侧面内一动点，则点的轨迹为线段，由，得，，，因此等腰的腰上的高等于，故线段的长度的最小值为.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则（）A.在复平面内对应的点位于第二象限 B.的共轭复数为C. D.若复数，则【答案】CD【解析】【分析】先对复数化简，再根据复数的性质一一验证.【详解】，在复平面内，对应的点为，位于第三象限，选项A错误；，选项B错误；，选项C正确；，，选项D正确.10.在中，，，，则（）A. B.C. D.外接圆半径是【答案】AC【解析】【分析】应用二倍角正弦公式结合同角三角函数关系计算判断A，应用余弦定理结合二倍角余弦公式计算判断B，应用平面数量积公式计算判断C，应用正弦定理判断D.【详解】对于A，在中，，则，则，故A正确；对于B，因为，，，由余弦定理，得，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误；11.已知正方体，点满足，则下列说法正确的是（）A.的最小值为1B.当时，平面截得正方体的截面面积为C.当时，平面D.当时，平面【答案】ABD【解析】【分析】首先确定点在四边形区域内（包括边界），由平面即可判断A；当时，确定点位置，从而确定截面的形状，通过相关计算即可判断B；取的中点，的中点，连接，从而确定点的位置，再证明平面∥平面，即可判断C；通过证明平面，即可判断D.【详解】由知，点在四边形区域内（包括边界）.对于A，因为平面，所以当点在点时，取最小值，故A正确；对于B，当时,所以是的中点.取的中点，的中点，连接，，，，，，又∥且，∥且，所以∥且，所以四边形为平行四边形，所以∥，同理可知，∥，所以∥，显然，所以平面截得正方体的截面为菱形，因为所以，故B正确；对于C，取的中点，的中点，连接，则，所以，因为，所以，则点在线段上，连接，，，，，，则∥，∥，平面，平面平面，所以∥平面，同理可得∥平面，又，平面，所以平面∥平面，显然平面与平面有公共点，且点平面，所以与平面相交，则与平面相交，故C错误；对于D，当时点在线段上（点除外），连接，则，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以平面，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是______.064743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179【答案】11【解析】【分析】由题意可知，由47，从左至右依次读取00-39的数，可求得结果【详解】利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11，故答案为：1113.司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．【答案】【解析】【分析】设，由仰角分别得到，根据求解.【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系：在处仰角，则，故，在处仰角，则，故，在处仰角，则，故，​如图可知，，即，解得：，因为高度为正，故.14.如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，以母线长为半径绕一圈可带动底面圆走三圈，推知母线长后即可求解.【详解】设圆锥母线长，底面半径为，依题意，，即，因此圆锥轴截面等腰三角形底角，，，此三角形外接圆半径即为圆锥的外接球半径，所以该圆锥的外接球表面积为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知向量，，，.（1）若，求的值；（2）若与垂直，求实数.【答案】（1）或.（2）.【解析】【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量的模长公式列出方程求解的值.（2）先求出的坐标，再根据垂直向量数量积等于0列出方程求解的值.【小问1详解】因为，.所以；所以，即；解得或.【小问2详解】因为；又与垂直，；所以，解得.16.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求图中的值；（2）求样本数据的第60百分位数；（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.【答案】（1）（2）55（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1可解；（2）由百分位的计算方法可得；（3）先由分层抽样比确各组人数，再列举出所有可能情况，然后找到符合条件的情况，最后由古典概率求解即可.【小问1详解】，解得.【小问2详解】样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为.【小问3详解】与两组的频率之比为，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为组抽取4人，记为.所有可能的情况为，，共15种.其中至少有1人的年龄在的情况有，共9种，故所求概率.17.由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设平面与底面ABCD的交线为l，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；（2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面；（3）由线面平行证线线平行即可．【小问1详解】取的中点，连接，，是四棱柱，平行且等于，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；【小问2详解】平行且等于，平行且等于，平行且等于，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，由（1）得平面且，、平面，平面平面；【小问3详解】由（2）得，平面，平面，则平面，又平面，平面平面，．18.在中，角，，的对边分别为，，，，.（1）求角；（2）若是线段的中点，且，求；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A；（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.【小问1详解】由正弦定理可知，∴，∴，又，，∴，∵，∴，∵，∴．【小问2详解】由（1）及余弦定理得，即，①又因为，则，则，即，所以，②由得，所以．【小问3详解】由（1）得，则，即，由正弦定理可知，，所以．因为△ABC为锐角三角形，所以，，即，，则，即，则，故△ABC的周长的取值范围为．19.三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.（1）证明以上三余弦定理；（2）如图2，在平行六面体中，，.①证明：平面平面；②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明：在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，则平面，，在平面内过点作于点，连接，因为平面，平面，则，因为，，平面，则平面，又平面，因此，，所以.（2）①证明：在平行六面体中，连