2026年江西省中考数学考试真题及参考答案

第1页（共8页）2026年江西省中考数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。1．（3分）下列图书馆标志不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）2025年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年．我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局．经初步核算，2025年国民总收入为1393700亿元．1393700亿用科学记数法表示为（）A．0.13937×1015 B．1.3937×106 C．1.3937×1014 D．1.3937×10163．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．40° B．100° C．120° D．140°4．（3分）下列运算正确的是（）A．m+2m＝3m B．3m2﹣m2＝3 C．m3•m2＝m6 D．m2÷m2＝m5．（3分）如图是2020﹣2024年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是（）A．2024年夜间达标率较2020年提高了1.2% B．夜间达标率逐年上升 C．2022年昼间达标率最高 D．昼间达标率逐年上升6．（3分）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（）A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）有理数-12的倒数为8．（3分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为．9．（3分）我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工x个零件，可列分式方程为．10．（3分）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刃、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刃所在直线与指圈所在半圆相切．已知AC与BD相交于点O，CE为半圆的直径，OC＝9，CE＝6，则此时张角∠AOB的大小为°．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F．当△BFC面积最大时，DE的长为．12．（3分）如图，点P在直线y＝﹣x+b（b＞0）上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为1（O为坐标原点）．若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：2﹣1+（﹣1）2﹣|-12（2）解不等式：3x-14．（6分）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长．15．（6分）先化简：(1x-1+1)÷xx2-16．（6分）如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上，∠A＝90°，∠C＝30°，MN为△ABC的中位线．（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN于点P；（保留作图痕迹）（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP的长为．17．（6分）如图，AD为⊙O的直径，AD＝4，B，C是⊙O上的点，四边形OABC为菱形．（1）求AC的长；（2）延长AD到点P，使得DP＝2，求证：PC是⊙O的切线．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn）、坎、离、艮（gèn）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yáo）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻．（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是；（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率．19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），点D在x轴上，反比例函数y=kx（1）求反比例函数的表达式；（2）P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q，当△ABP的面积等于▱ABCD的面积的14时，求点Q20．（8分）“以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共20场比赛，南区共30场比赛．赛制规定：每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分．以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据．积分表北区胜/平/负积分南区胜/平/负积分九江队4/3/115宜春队*/*/**上饶队*/*/**赣州队6/2/220南昌队3/*/2m抚州队*/*/**景德镇队*/*/**新余队*/*/**鹰潭队*/*/**萍乡队*/*/**///吉安队*/*/**根据以上信息解答下列问题：（1）x＝，y＝，m＝；（2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；（3）现收集了7名球员每个人的进球个数（最多的进7个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4．试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点P在BC的延长线上，将AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，连接CQ，PQ．（1）求证：BP＝CQ；（2）若∠CAP＝15°，PQ＝22，求BP的长．22．（9分）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表：具体问题利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度主要工具无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺截面示意图操作步骤1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上；2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；3．调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F处；4．在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G处．（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）测量数据AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．参考数据sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，3≈1.732根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m）任务一：计算点C离水平地面的高度；任务二：计算∠GCF＝°，∠BCG＝°；任务三：计算土坑的深度．六、解答题（本大题共12分）23．（12分）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”．（1）试判断y＝x2﹣4x+4与y＝﹣x2+2x是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；（2）如图1，若C1：y＝a1（x﹣h1）2+k1与C2：y＝a2（x﹣h2）2+k2互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C．①试猜想a1与a2的数量关系，并证明；②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；（直接写出结果）③如图2，若C1：y＝x2，h2＞0，B1，B2分别为C1，C2上的点，且四边形A1B1A2B2为正方形，求（h2﹣2）（h2﹣1）（h2+1）的值．

2026年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。1．（3分）下列图书馆标志不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．【解答】解：A，C，D是轴对称图形，B不是轴对称图形，故选：B．【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）2025年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年．我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局．经初步核算，2025年国民总收入为1393700亿元．1393700亿用科学记数法表示为（）A．0.13937×1015 B．1.3937×106 C．1.3937×1014 D．1.3937×1016【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1393700亿＝139370000000000＝1.3937×1014．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．40° B．100° C．120° D．140°【分析】根据平行线的性质进行计算即可．【解答】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3＝180°．∵∠1＝40°，∴∠3＝140°，∴∠2＝∠3＝140°．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．4．（3分）下列运算正确的是（）A．m+2m＝3m B．3m2﹣m2＝3 C．m3•m2＝m6 D．m2÷m2＝m【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项法则逐项判断即可．【解答】解：m+2m＝3m，则A符合题意，3m2﹣m2＝2m2，则B不符合题意，m3•m2＝m5，则C不符合题意，m2÷m2＝1，则D不符合题意，故选：A．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．（3分）如图是2020﹣2024年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是（）A．2024年夜间达标率较2020年提高了1.2% B．夜间达标率逐年上升 C．2022年昼间达标率最高 D．昼间达标率逐年上升【分析】根据条形统计图的数据逐项判断．【解答】解：A，2024年夜间达标率较2020年提高了88.2%﹣80.1%＝8.1%，故A选项错误，不符合题意；B，夜间达标率逐年上升，故B正确，符合题意；C，由图可知，2023年昼间达标率最高，故C错误，不符合题意；D，2020﹣2023昼间达标率逐年上升，2024年下降，故D错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了条形统计图，正确读懂统计图是解题的关键．6．（3分）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（）A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3【分析】求出函数y＝x2+3x﹣3的图象的对称轴，再结合已知的根的范围可得答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x=-b2a=-32=-1.5，已知根0.5＜x1＜1，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣1＜x2＜﹣1.5×2﹣∴另一根更接近的是﹣4．故选：B．【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）有理数-12的倒数为﹣2【分析】利用倒数的定义求解即可．【解答】解：-12的倒数是﹣故答案为：﹣2．【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．8．（3分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（﹣1，1）．【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．【解答】解：由题知，将点（2，1）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．9．（3分）我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工x个零件，可列分式方程为1640x+50=【分析】由A，B工作效率间的关系，可得出A每小时加工（x+50）个零件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵A每小时比B多加工50个零件，且设B每小时加工x个零件，∴A每小时加工（x+50）个零件．根据题意得：1640x故答案为：1640x【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．（3分）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刃、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刃所在直线与指圈所在半圆相切．已知AC与BD相交于点O，CE为半圆的直径，OC＝9，CE＝6，则此时张角∠AOB的大小为150°．【分析】设右半圆的圆心为M，BD与⊙M相切于点N，连接MN，分别求得MN，OM，根据sin∠MON=12【解答】解：如图，设右半圆的圆心为M，BD与⊙M相切于点N，连接MN，∴∠MNO＝90°，∵OC＝9，CE＝6，∴MN=MC=12EC=3，OM＝OC﹣MC∴sin∠∴∠MON＝30°，∵∠AOB＝180°﹣∠MON＝180°﹣30°＝150°，故答案为：150．【点评】本题考查了切线的性质，掌握切线的性质是解题的关键．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F．当△BFC面积最大时，DE的长为1．【分析】根据题意得出点F在以BC为直径的⊙O上运动，进而可得当OF⊥BC时，点F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大，得出∠FBC＝45°，结合题意得出△ABE是等腰直角三角形，求得AE＝AB＝3，根据线段的和差关系，即可求解．【解答】解：如图，设BC的中点为O，∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°，∴点F在以BC为直径的⊙O上运动，∴当OF⊥BC时，点F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大，∴BF＝FC，∴∠FBC＝45°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，∴∠ABE＝90°﹣∠FBC＝90°﹣45°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键．12．（3分）如图，点P在直线y＝﹣x+b（b＞0）上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为1（O为坐标原点）．若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为1-2或1或1+2【分析】设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m+b，根据矩形OAPB的面积为1，可列出关于m的一元二次方程，由满足条件的点P有且仅有三个，可得出Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，解之可得出b的值，再将b＝2代入原方程，解之即可得出结论．【解答】解：设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m+b，根据题意得：|m|•|﹣m+b|＝1，即m2﹣bm﹣1＝0或m2﹣bm+1＝0，∵满足条件的点P有且仅有三个，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∴b＝2．将b＝2代入m2﹣bm﹣1＝0得：m2﹣2m﹣1＝0，解得：m1=2-(-2)2-4×1×(-1)2=1将b＝2代入m2﹣bm+1＝0得：m2﹣2m+1＝0，解得：m3＝m4＝1．综上所述，点P的横坐标为1-2或1或1+故答案为：1-2或1或1+【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、根的判别式以及解一元二次方程，根据满足条件的点P有且仅有三个，求出b值是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：2﹣1+（﹣1）2﹣|-12（2）解不等式：3x-【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；（2）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．【解答】解：（1）原式=＝1．（2）3x3x﹣1＜2x，3x﹣2x＜1，x＜1．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、实数的运算及负整数指数幂，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式的步骤是解题的关键．14．（6分）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长．【分析】根据DE∥BC，证明△ABC∽△ADE，进而得出ABAD【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE，∴ABAD根据题意AD＝3，AB＝5，DE＝5，代入得53∴BC=【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．15．（6分）先化简：(1x-1+1)÷xx2-【分析】将括号内的式子通分并计算，然后把除法化为乘法并约分，最后将符合题意的x的值代入计算即可．【解答】解：(=(1=x＝x+1；∵x≠0且x≠±1，∴将x＝2代入上式得原式＝2+1＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．16．（6分）如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上，∠A＝90°，∠C＝30°，MN为△ABC的中位线．（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN于点P；（保留作图痕迹）（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP的长为23．【分析】（1）线段BC的垂直平分线交AC于点J，作射线BJ，BH交MN于点P，射线BJ即为所求；（2）过点M作MH⊥PB于点H．证明BM＝MP，解直角三角形求出BH即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）过点M作MH⊥PB于点H．在Rt△ABC中，BC＝8，∠C＝30°，∴AB=12BC＝4，∠ABC＝∵MN是△ABC的中位线，∴BM＝AM=12AB＝2，MN∥∴∠MPB＝∠PBC=12∠ABC＝∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，∴∠MBP＝∠MPB，∴BM＝PM，∵MH⊥BP，∴BH＝PH＝BM•cos30°=3∴PB＝2BH＝23．故答案为：23【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的定义，含30度的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．17．（6分）如图，AD为⊙O的直径，AD＝4，B，C是⊙O上的点，四边形OABC为菱形．（1）求AC的长；（2）延长AD到点P，使得DP＝2，求证：PC是⊙O的切线．【分析】（1）连接OB，由菱形的性质推出OA＝AB，AB∥OC，判定△AOB是等边三角形，得到∠A＝60°，由平行线的性质求出∠AOC＝120°，由弧长公式即可求出AC的长；（2）连接CD，由平行线的性质推出∠COD＝∠A＝60°，判定△COD是等边三角形，得到CD＝OD＝2，∠OCD＝∠ODC＝60°，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质求出∠DCP=12∠ODC＝30°，得到∠OCP＝90°，即可证明PC是⊙【解答】（1）解：连接OB，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，AB∥OC，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB∥OC，∴∠A+∠ACO＝180°，∴∠AOC＝120°，∵OA=12AD=12∴AC的长=120×（2）证明：连接CD，∵AB∥OC，∴∠COD＝∠A＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OD＝2，∠OCD＝∠ODC＝60°，∵DP＝2，∴DP＝CD，∴∠DCP＝∠P，∵∠DCP+∠P＝∠ODC＝60°，∴∠DCP=12∠ODC＝∴∠OCP＝∠OCD+∠DCP＝90°，∴半径OC⊥CP，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，切线的判定方法．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn）、坎、离、艮（gèn）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yáo）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻．（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是38（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率．【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳义的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解；（2）记“乾、坤、震、巽”分别为a，b，c，d，根据列表法或画树状图法求解即可．【解答】解：（1）共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是：38故答案为：38（2）记“乾、坤、震、巽”分别为a，b，c，d．列表法：第二卦象\第一卦象abcda—（b，a）（c，a）（d，a）b（a，b）—（c，b）（d，b）c（a，c）（b，c）—（d，c）d（a，d）（b，d）（c，d）—第一卦象：abcd，第二卦象：b，c，da，c，da，b，da，b，c，由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中满足条件的结果有：（a，c），（a，d），（c，a），（c，d），（d，a），（d，c）共6种，所以所求概率为P=【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），点D在x轴上，反比例函数y=kx（1）求反比例函数的表达式；（2）P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q，当△ABP的面积等于▱ABCD的面积的14时，求点Q【分析】（1）构造出△ADM≌△CBO，得出AM＝CO＝1，进而得出A（﹣2，1），即可求出答案；（2）先判断出S△ABC=12S▱ABCD，进而判断出S△ABP=12S△ABC，得出P为BC的中点，进而求出P的坐标为【解答】解：（1）∵C（0，﹣1），∴OC＝1，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，∴∠AMD＝∠COB＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADM＝∠CBO，∴△ADM≌△CBO（AAS），∴AM＝CO＝1，∴A（﹣2，1），∴k＝（﹣2）×1＝﹣2，∴反比例函数的表达式为y=（2）如图2，连接AC，∵AC为平行四边形ABCD的对角线，∴S△ABC=12S▱∵△ABP的面积等于▱ABCD的面积的14∴S△ABP=12S△∴P为BC的中点，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴P的坐标为(1，-设直线AP的表达式为y＝ax+b，则-2解得，a=∴直线AP的表达式为y=即直线AP经过坐标原点，∵点A（﹣2，1），Q是过原点的直线与双曲线的交点，∴点A，Q关于原点对称，∴Q（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，对称性，判断出点P是BC的中点是解本题的关键．20．（8分）“以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共20场比赛，南区共30场比赛．赛制规定：每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分．以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据．积分表北区胜/平/负积分南区胜/平/负积分九江队4/3/115宜春队*/*/**上饶队*/*/**赣州队6/2/220南昌队3/*/2m抚州队*/*/**景德镇队*/*/**新余队*/*/**鹰潭队*/*/**萍乡队*/*/**///吉安队*/*/**根据以上信息解答下列问题：（1）x＝3，y＝1，m＝12；（2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；（3）现收集了7名球员每个人的进球个数（最多的进7个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4．试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由．【分析】（1）根据九江队和赣州队的比赛胜负情况和积分情况列出二元一次方程组，求得x，y的值，进而根据北区每队比赛的场次为8场，以及积分规则求得m的值，即可求解；（2）根据各赛区总进球数与失球数相等，得出总进球数，进而根据平均数的定义，即可求解；（3）根据平均数，极差，众数的定义分析，即可求解．【解答】解：（1）由题意得4解得：x∵常规赛中，北区每队比赛的场次为8场，∴南昌队3胜3平2负，∴m＝3×3+3×1+2×0＝12．故x＝3，y＝1，m＝12，故答案为：3，1，12；（2）∵各赛区总进球数与失球数相等，∴北区总进球数为7+4+7+10+15＝43，∴北区平均每场比赛进球个数为x―∵南区总进球数为16+17+8+8+15+11＝75，∴南区平均每场比赛进球个数为x―（3）甲的数据分析不可信，理由如下：∵至少有1个7，极差为4，∴最小数为3，则平均数大于3，与平均数为3相矛盾．乙的数据分析有一定的可信度，如①2，2，2，3，5，7，7；②2，2，2，3，6，6，7；③2，2，2，4，5，6，7；④2，2，2，2，6，7，7；⑤2，2，2，4，4，7，7．（只要列举其中一组数据说明即可）【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，算术平均数，众数，极差，掌握其相关知识点是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点P在BC的延长线上，将AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，连接CQ，PQ．（1）求证：BP＝CQ；（2）若∠CAP＝15°，PQ＝22，求BP的长．【分析】（1）先根据旋转的性质得到∠PAQ＝30°，AP＝AQ，然后证明△ABP≌△ACQ得到BP＝CQ；（2）过点Q作QH⊥BC于H点，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠B＝∠ACB＝∠APQ＝∠AQP＝75°，再根据全等三角形的性质得∠ACQ＝∠B＝75°，则利用平角的定义可计算出∠QCH＝30°，接着利用三角形外角性质计算出∠APB＝60°，则利用平角的定义可得到∠QPH＝45°，于是利用等腰直角三角形的性质得到PH＝QH＝2，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到CQ＝4，从而得到BP的长．【解答】（1）证明：∵AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ，∴∠PAQ＝30°，AP＝AQ，∵∠BAC＝30°，∴∠BAC+∠CAP＝∠CAP+∠PAQ，即∠BAP＝∠CAQ，在△ABP和△ACQ中，AB=∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ；（2）解：过点Q作QH⊥BC于H点，如图，∵AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°，∠APQ＝∠AQP＝75°，∵△ABP≌△ACQ，∴∠ACQ＝∠B＝75°，∴∠QCH＝180°﹣∠ACB﹣∠ACQ＝30°，∵∠ACB＝∠CAP+∠APB，∴∠APB＝75°﹣15°＝60°，∵∠QPH＝180°﹣∠APB﹣∠APQ＝180°﹣60°﹣75°＝45°．∴PH＝QH=22PQ=22在Rt△CQH中，∵∠QCH＝30°，∴CQ＝2QH＝4，∴BP＝CQ＝4．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形三边的关系．22．（9分）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表：具体问题利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度主要工具无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺截面示意图操作步骤1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上；2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；3．调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最右端F处；4．在线段AD上确定一点B，使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达坑底最左端G处．（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）测量数据AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．参考数据sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，3≈1.732根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m）任务一：计算点C离水平地面的高度；任务二：计算∠GCF＝30°，∠BCG＝15°；任务三：计算土坑的深度．【分析】任务一：连接DE，过点C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，则CH⊥DE，根据三角形的外角的性质得出∠ACB＝30°，根据等角对等边可得BC＝AB＝18，解Rt△CBH，即可求得CH的长；任务二：根据光的反射原理得出∠NCF＝∠MCA，得出∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝75°，∠BCG＝180°﹣2（θ+60°）＝15°，进而根据∠GCF＝∠ACF﹣∠ACB﹣∠BCG，即可求解；任务三：证明△CGK≌△CFK（ASA），得出GK＝FK＝6，解Rt△CGK，求得CK，进而求得HK的长，即可求解．【解答】解：任务一：如图，连接DE，过点C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，则CH⊥DE．∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝18m．在Rt△CBH中，CH=即点C离水平地面的高度约为15.59m；任务二：如图，∵AB∥PC，∠CAB＝30°，∴∠PCA＝∠CAB＝30°，又∵θ＝22.5°，∴∠NCF＝∠MCA＝∠MCP+∠PCA＝θ+30°＝22.5°+30°＝52.5°，∴∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝120°﹣2θ＝120﹣2×22.5°＝75°，同理可得∠BCG＝180°﹣2（θ+60°）＝60°﹣2θ＝60°﹣2×22.5°＝15°，∴∠GC