2026年江苏连云港市高二第二学期期末考试数学试卷（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025～2026学年第二学期期末考试高二数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（

）A．， B． C． D．2．若复数，则的共轭复数（

）A． B． C． D．3．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种4．已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，若经验回归方程为，则表格中的数据的值为（

）01342.24.36.7A．2.4 B．4.2 C．4.8 D．9.65．被5除所得的余数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（

）主动预习不太主动预习合计学习兴趣高361450学习兴趣一般123850合计4852100参考公式：，其中．A．240 B．280 C．300 D．3207．已知，则的值为（

）A．220 B．450 C．455 D．7158．五一期间，4名女生5名男生到花果山景区游玩．在景区门口，9人排成一队进入景区，则在男生中，男生甲最先进入景区的概率为（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．设，，表示三个不同的平面，表示一条直线，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．若口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同．下列说法正确的是（

）A．采取放回抽样方式，先后两次各摸出一球，则两个球颜色不同的概率为B．先后两次从中不放回地各摸出一球，则两次摸到的均为黑球的概率为C．先后两次从中不放回地各摸出一球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为D．从中不放回地摸球，每次各摸一球，则第三次才摸到黑球的概率为11．设正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，，分别是线段，上的动点．下列说法正确的是（

）A．平面截正方体所得截面为四边形B．存在，使得异面直线与所成的角为C．点到平面的距离为D．平面三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．设随机事件，，，则_______．13．如果随机变量，且，则________．14．已知球为棱长为2的正方体的内切球，若在正方体内作一个小球，使它与球外切，同时与正方体的三个面都相切，则小球的半径为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在1，2，3，…，9这9个自然数中，(1)若任取2个不同的数，求这2个数中恰有1个奇数的概率；(2)若任取3个不同的数，设为所取的3个数中奇数的个数，求的分布列．16．已知正项等比数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若随机变量满足，，…，求．17．已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若对恒成立，求的取值范围．18．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点的坐标为，求直线的方程；(3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值．19．如图，在四棱台中，平面，，，，，．(1)证明：平面；(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由；(3)设为平面内一点，为的中点，，且．若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【详解】联立解得，所以.2．B【详解】因为，所以.3．B【分析】直接根据乘法原理计算得到答案.【详解】每个学生有3种选择，根据乘法原理共有种不同方法.故选：.【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题.4．C【分析】根据样本中心点计算求解参数.【详解】计算得，经验回归直线过样本中心点，因此，由，解得.5．A【分析】由利用二项式定理展开，分析得出结果.【详解】因为故，因是正整数，所以被除所得的余数是.6．C【分析】根据列联表确定卡方公式中各参数的取值，代入公式计算后对比已知的即可求得.【详解】由表格可知，，，，，总样本量，则，解得.7．D【分析】先根据等式两边的常数10确定，再根据二项式系数的性质，即可求得.【详解】由题可知，等式左边每一个二项式展开之后常数项均为1，等式右边常数项为10，则左边展开共有10个1，则由可得，因为为的系数，所以结合等式左边，可得，则.8．D【详解】因为题目求男生甲最先进入景区的概率，与女生顺序无关，只需考虑男生，所有男生的相对顺序共有种，男生甲最先进入景区，则剩下男生的相对顺序共有种，所以男生甲最先进入景区的概率为.9．BC【分析】根据面面平行和面面垂直的判定定理和相关结论逐一分析判断即可.【详解】选项A：若，，与可能平行，也可能相交（例如平行于和的交线时，两平面相交），故A错误；选项B：根据面面平行的判定结论，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故B正确；选项C：根据面面平行的传递性，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故C正确；选项D：若，，与可能平行，可能相交，且相交时夹角不一定为（例如正方体中两个相对的侧面都垂直于底面，二者平行），故D错误.10．ABD【分析】由古典概型公式，结合摸球实验中放回和不放回的情况，即可分别求出四个选项中对应事件的概率，进而判断正误.【详解】解：选项A，由采取放回抽样方式，先后两次各摸出一球，则两个球颜色不同，则有两种情况，第一次白球第二次黑球和第一次黑球第二次白球，所以概率，A正确；选项，不放回地摸球两次，两次摸到的均为黑球的概率为，B正确；选项C，由第一次摸到黑球且不放回，则第二次摸球时有2个黑球和7个白球，所以第二次摸到黑球的概率，C错误；选项D，由不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球，则说明前两次摸到的均是白球，所以概率，D正确.11．ACD【分析】由可判断A，由异面直线夹角的计算方法可判断B，由等体积法计算点到平面的距离可判断C，由线面垂直的判定定理和性质定理可判断D.【详解】如图，连接，，由，可知平面截正方体所得截面为梯形，故A正确；如图，中点记为点，连接，由，则异面直线与所成的角为或其补角，当点位于点时，有，，，则，当点位于点时，有，，，则，故，而，所以不存在，使得异面直线与所成的角为，故B错误；如图，连接，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，由，可得，，又，则，，同理可得，则，，，代入可得，故C正确；如图，由，，平面，平面，，可得平面，又平面，所以，同理，，平面，平面，，所以平面，故D正确.12．【分析】由条件概率的计算公式，可得，根据题意，代入数据计算可得答案．【详解】由条件概率的计算公式，可得,故答案为.【点睛】本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式．13．

0.2##【详解】随机变量，且，则．14．##【分析】设球的半径为，由题意可得方程，解方程即可求解.【详解】如图，过作平面，过作平面，显然点均在线段上，因球为棱长为2的正方体的内切球，则球的半径为1，设球的半径为，则，，，，在线段上取，显然四边形是平行四边形，则，，，所以，即，解得.15．(1)(2)的分布列为：0123【分析】(1)古典概型题目，用“一奇一偶组合数除以总组合数”计算概率，分清奇偶是关键；(2)X服从超几何分布，先确定取值范围，再套用超几何概率公式分别算对应概率，最后列表.【详解】（1）1到9共包含5个奇数，4个偶数，任取2个不同的数的总基本事件数为，恰有一个奇数包含的基本事件数为，因此所求概率为：（2）任取3个不同的数时，的可能取值为0,1,2,3，总基本事件数为，分别计算各取值对应的概率：；；；；则分布列为：012316．(1)(2)【分析】（1）根据等比数列基本量的运算，得到，再求通项即可；（2）设，数列的前项和为，根据错位相减法求出，再结合题意即可得到．【详解】（1），则，解得（负值已舍），，解得，；（2）设，数列的前项和为，，，，时，，又随机变量满足，，所以．17．(1)(2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(3)【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得；（2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得；（3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得.【详解】（1）当时，，函数定义域为，所以，，切线斜率，则曲线在点处的切线方程为.（2）因为函数，函数定义域为，所以，因为，故，导数符号由决定，分情况讨论：若时，恒成立，，在上单调递减；若时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由不等式化简得：，因，变形得：.所以对，不等式恒成立.令，求导得，当时，，，故，在上单调递减，因此的最大值为，故，即的取值范围为.18．(1)(2)(3)由双曲线得，右焦点，①当直线的斜率存在时，设直线，，中点.联立​，整理得,由韦达定理得：，因此：，因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以，设，将代入圆方程，得，故，所以，因为，所以，且，代入上式，所以.②当直线斜率不存在时，，易得，所以，仍成立.综上，为定值.【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程；（2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得；（3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果.【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得，令，​，解得​，即.因此，双曲线的标准方程.（2）设，且两点均在双曲线上，故两式相减得点差公式：，即.又因为中点为，故，代入上式得，即.若，则，则重合，且中点，则三点重合，这与直线交的右支于，两点矛盾.所以，因此直线斜率.又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得.联立​，得，判别式，且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件.因此直线的方程为.（3）略19．(1)连接，在四棱台中，，又，，所以，又，则，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面；(2)直线与垂直，理由如下：因为平面，，以为原点建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，所以，，，所以；(3)【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定即可证明；（2）以为原点建立空间直角坐标系，得到，，再根据向量法可证垂直；（3）设的坐标为，根据椭圆的定义可得，设，再利用向量共面的基本定理可得，令，进而得到，然后利用空间向量法求点到平面的距离即可．【详解】（1）略