控制工程基础第四章

控制工程基础第四章文档ppt第一页，共55页。引言1.为什么要对系统进行频域分析？时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处：计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大；对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定主要因素；不能直观地表现出系统的主要特征。第二页，共55页。工程方法要求：计算量不应太大，且不因微分方程阶数的升高而增加过多；应容易分析系统各部分对总体动态性能的影响，易区分主要因素；最好还能用作图法直观地表现出系统性能的主要特征。频域分析法:是一种间接的研究控制系统性能的工程方法。它研究系统的依据是频率特性，频率特性是控制系统的又一种数学模型。第三页，共55页。2.频率响应、频率特性和频域分析法

频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成）频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。频域分析法:利用系统频率特性分析和综合控制系统的方法。第四页，共55页。3.频域分析法的优点

(1)

物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有明确的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。

(2)可以用试验方法求出系统的数学模型，易于研究机理复杂或不明的系统；也适用于某些非线性系统。

(3)可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能，无需求解高次代数方程。

(4)能较方便地分析系统中的参量对系统动态响应的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。

(5)采用作图方法，计算量小，且非常直观。

第五页，共55页。引例——RC电路对于图4-1所示的RC电路，其传递函数为式中，T=RC

。图4-1RC电路4.1频率特性第六页，共55页。设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为所以有将其进行部分分式展开后再拉氏反变换第七页，共55页。uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。显然上述RC电路的稳态响应为结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于ω。第八页，共55页。若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并求其复数比，可以得到式中频率特性G(jω)：上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复数比，且G(jω)=G(s)|s=jω

。幅频特性A(ω)：输出信号幅值与输入信号幅值之比。相频特性

(ω)：输出信号相角与输入信号相角之差。第九页，共55页。设系统的传递函数为已知输入其拉氏变换则系统输出为

(4-1)G(s)

的极点

(4-2)对稳定系统

待定系数

2.控制系统在正弦信号作用下的稳态输出第十页，共55页。(4-2)趋向于零

是一个复数向量，因而可表示为

(4-7)(4-5)(4-6)(4-4)因此，系统的稳态响应为：第十一页，共55页。

式中，稳态输出的振幅和相位分别为由此可见，LTI系统在正弦输入下，输出的稳态值是和输入同频率的正弦信号。输出振幅是输入振幅的|G(jω)|倍，输出相位与输入相位相差∠G(jω)度。第十二页，共55页。3.频率特性的定义幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，用A(ω)表示。相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用

(ω)表示。幅频A(ω)和相频

(ω)统称幅相频率特性。第十三页，共55页。频率特性与传递函数具有十分相似的形式

比较第十四页，共55页。

几点说明

频率特性是传递函数的特例，是定义在复

平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与

系统的微分方程、传递函数一样反映了系

统的固有特性。

尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的

频率特性与传递函数一样包含了系统或元

部件的全部动态结构参数，因此，系统动

态过程的规律性也全寓于其中。第十五页，共55页。

应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。第十六页，共55页。

频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；

(

)大于零时称为相角超前，小于零时称

为相角滞后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)0

1(

)

2(

)第十七页，共55页。（1）幅相频率特性曲线（极坐标图或奈奎斯特图）对数频率特性曲线对数幅频特性相频特性(

)纵坐标均按线性分度横坐标是角速率按分度4.频率特性的表示法（2）对数频率特性曲线（伯德图）（3）对数幅相曲线（尼柯尔斯图）横坐标：对数相频特性的相角纵坐标：对数幅频特性的分贝数第十八页，共55页。可用幅值和相角的向量表示。变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为幅相频率特性曲线（简称幅相曲线或Nyquist曲线）。画有

Nyquist曲线的坐标图称为极坐标图或Nyquist图。当输入信号的频率在极坐标图上，以横轴为实轴，纵轴为虚轴，且正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的。

极坐标图(Polarplot)，又称幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。4.2极坐标图第十九页，共55页。将G(jω)分为实部和虚部(代数表示)，即U(ω)和V(ω)分别称为实频特性和虚频特性。取横坐标U(ω)，纵坐标表示V(ω)，也可得到系统的幅相曲线(实虚频图)。奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性。第二十页，共55页。例：-90°0∞………-63.5°0.452T-45°0.7071/T-26.6°0.891/2T010第二十一页，共55页。图5-25极坐标图但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响

采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。第二十二页，共55页。典型环节的极坐标图用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的。本节介绍六种常用的典型环节。第二十三页，共55页。ReImK比例环节的极坐标图为实轴上的K点。1比例环节比例环节的奈氏图典型环节的极坐标图式中－实频特性；－相频特性；－幅频特性；－虚频特性；第二十四页，共55页。ReIm积分环节的极坐标图为负虚轴。频率ω从0→∞特性曲线由虚轴的－∞趋向原点。积分环节的奈氏图2积分环节第二十五页，共55页。

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性3微分环节第二十六页，共55页。①纯微分环节：纯微分环节的奈氏图ReIm纯微分环节的极坐标图为正虚轴。频率ω从0→∞特性曲线由原点趋向虚轴的+∞。第二十七页，共55页。一阶微分环节的奈氏图ReIm一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0→∞特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。②一阶微分：第二十八页，共55页。二阶微分环节的频率特性③二阶微分环节：幅频和相频特性为：实频和虚频特性为：0z21ImRe0=w¥=w第二十九页，共55页。惯性环节的奈氏图4惯性环节第三十页，共55页。极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。第三十一页，共55页。实频、虚频、幅频和相频特性分别为：振荡环节的频率特性讨论时的情况。频率特性为：5振荡环节第三十二页，共55页。振荡环节的奈氏图实际曲线还与阻尼系数有关。当时，，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。第三十三页，共55页。振荡环节的奈氏图由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。第三十四页，共55页。1极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。随着频率的变化，沿单位圆转无穷多圈。延迟环节的奈氏图传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：6延迟环节第三十五页，共55页。小结

比例环节的极坐标图积分环节的极坐标图微分环节的极坐标图—有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。惯性环节的极坐标图振荡环节的极坐标图延迟环节的极坐标图第三十六页，共55页。一、控制系统开环传递函数的典型环节分解设其开环传递函数由若干个典型环节相串联其开环频率特性：

绘制乃氏图的一般规律第三十七页，共55页。所以，系统的开环幅频和相频分别为：开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。结论：第三十八页，共55页。对于一般线性定常系统，传递函数为：其对应的频率特性为：当υ＝0时，称该系统为0型系统；当υ＝1时，称该系统为Ⅰ型系统；当υ＝2时，称该系统为Ⅱ型系统；第三十九页，共55页。绘制Nyquist图有时并不需要绘制得十分准确只需要绘出Nyquist图的大致形状和几个关键点的准确位置（如与坐标轴的交点）就可以了。开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制概略幅相特性曲线的基础。二、开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）第四十页，共55页。概略绘制乃氏图的步骤：确定开环乃氏图的终点G(j∞)确定开环乃氏图的起点G(j0+)写出系统开环传递函数的频率特性第四十一页，共55页。注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。确定开环幅相曲线与实轴的交点（若有）——虚频为零或相频为n×180°确定开环幅相曲线与虚轴的交点（若有）——实频为零或相频为n×90°勾画出开环幅相曲线（ω＝0→+∞）的大致曲线（越精确越好）第四十二页，共55页。K零型系统（ν=0）例1第四十三页，共55页。K零型系统（ν=0）例2第四十四页，共55页。零型系统（ν=0）例3第四十五页，共55页。0型系统的乃氏图始于正实轴上的点，在高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于－（n－m）×90。n－传递函数中分母的阶次m－传递函数中分子的阶次第四十六页，共55页。Ⅰ型系统（ν=1）例4第四十七页，共55页。Ⅰ型系统（ν=1）例5第四十八页，共55页。Ⅰ型系统的乃氏图的渐近线在低频段与负虚轴平行，在高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于－（n－m）×90。n－传递函数中分母的阶次m－传递函数中分子的阶次第四十九页，共55页。Ⅱ型系统（ν=2）例6例7第五十页，共55页。Ⅱ型系统（ν=2）例8第五十一页，共55页。Ⅱ型系统的乃氏图在低频段趋于负实轴，在高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于－（n－m