函数性质（一）解析版2027届高考数学一轮精准复习

7.函数性质（一）【常见考点梳理】TOC\o"1-3"\h\u一、单调性 ③，得到定理4：当一个函数时，一定有，是周期为的周期函数．定理2若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．角度3．函数对称性和迭代构造周期函数定理1若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．推论若偶函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期．定理2函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数．推论若奇函数的图象关于对称，则为周期函数，且是它的一个周期．定理3函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．推论1若奇函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期．推论2周期为的奇函数一定关于点对称，周期为的偶函数关于直线对称．定理4若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．证明由函数满足得，则函数是以为周期的周期函数．定理5若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．证明由，又，则．考点1.函数性质的推导【典例1-1】已知函数为定义在上的奇函数，对，都有，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A． B．的一个周期为4C． D．在区间上单调递增【答案】ABC【难度】0.65【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用、定义法判断或证明函数的单调性【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可.【详解】A：因为函数为定义在上的奇函数，所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确；B：因为函数为定义在上的奇函数，所以有，而，所以有，即有，则有，所以函数的周期为，因此本选项说法正确；C：因为奇函数的周期为，所以，因此本选项说法正确；D：当时，，，由，所以该函数的一条对称轴为，又因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，在区间上单调递减，因此本选项说法不正确，故选：ABC【过关检测】已知函数是定义域为的偶函数，满足，则下列选项一定正确的是（

）A． B．C． D．是偶函数【答案】C【难度】0.65【知识点】函数周期性的应用、函数奇偶性的应用【分析】利用赋值法结合题目所给条件即可判断.【详解】对于A：代入得，若，则无意义，由题干知是定义域为的函数，与无意义矛盾，故A错误；对于B：代入，得，与A选项相同，故B错误；对于C：由（①）可得（②），联立①②可得，用代换得（③）；是定义域为的偶函数，所以，用代换得（④），联立③④得（⑤），用代换得，故C正确；对于D：若是偶函数，则易得关于对称，进而有，而由题干知，可得，此条件不一定成立，故D不一定正确.故选：C.【典例1-2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则A． B． C．（2） D．（4）【答案】B【过关检测】1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．的最小正周期为4 D．在上单调递增【答案】B【难度】0.66【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用【分析】通过对和的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出自身的对称轴和对称中心，进而推导出其奇偶性与周期性.【详解】因为为偶函数，所以，将替换为，则有①，因为为奇函数，所以，将替换为，则有，再将替换为，则有②，将替换为，则有③，结合①③得④，结合②④得，因此为偶函数，选项A错误，B正确；因为，结合偶函数，将替换为得，则，即2为的周期，选项C错误，对于D选项，如满足偶函数且周期为2，但不满足在上单调递增.2.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则A．（4） B．（2） C． D．【答案】D考点2.利用函数性质求值【典例2】已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则________．【答案】【难度】0.4【知识点】函数周期性的应用、函数奇偶性的应用【分析】根据题目条件求出函数是周期为4的函数，再根据函数周期性和奇偶性求出的值.【详解】已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，由为偶函数可得：，令，则，即，函数关于直线对称，由为奇函数可得：，结合，可得，由，则，故的周期为4，求，利用周期性，由，令，得，已知，则，解得，即，求，利用周期性，由为偶函数，令，得，故，即，故.故答案为：【过关检测】1.已知的定义域为，满足，若，则__________.【答案】2028【难度】0.65【知识点】由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用【分析】推导函数的奇偶性、对称性与周期性，利用进行转换求解即可.【详解】由，得是奇函数，即，且，由，令，则，所以的图象关于直线对称，，，因此的周期为8，因为，所以，，，，综上故答案为：20282.（多选）已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则A．为奇函数B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D．（1）【答案】BCD3.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当，时，．若，则A． B． C． D．【答案】D考点3.类周期函数（1）类周期函数若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象（2）倍增函数若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．注意当时，构成一系列平行的分段函数，．【典例3】定义在R内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【过关检测】1.设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B2.设函数，若对任意的，，都有f（x）≥﹣4，则的最小值是A． B． C． D．【答案】D考点4.导数与函数性质【典例4】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则（）B．C．D．【答案】BC【过关检测】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为．记，若为偶函数，为奇函数，则A． B．（3） C． D．（5）【答案】CD考点5.双函数的性质【典例5】已知函数，的定义域均为，且，，若的图像关于直线对称，，则A． B． C． D．【答案】D【过关检测】1.（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（

）A． B．C．是周期为的周期函数 D．【答案】CD【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、判断证明抽象函数的周期性【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可.【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且，因为，代入得，整理得，即知，故是周期为的周期函数，C正确；选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，，同理，故A，B都错误；选项D，因为，，，，所以一个周期内，所以，故D正确.故选：CD.2.（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．是以4为周期的周期函数C．D．【答案】ACD【难度】0.65【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用【分析】对于A，由，可得,，结合为偶函数以及对称轴的定义即可判断；对于B，首先求出的周期，由可得的周期，对于C，令可得，根据以及可类推出即可求解.【详解】对于A：由于为奇函数，所以，由可得：，即，所以,，由于为偶函数，，所