高考尖子生培优专题02：函数的性质综合（单调性、奇偶性、对称性、周期性）（2027年高考一轮复习终极冲刺讲练测）(全国适用)解析版

尖子生培优专题02：函数的性质综合（单调性、奇偶性、对称性、周期性）解题技巧一函数的奇偶性及其应用 3解题技巧二函数的单调性及其应用 7解题技巧三利用函数的单调性与奇偶性比较大小 9解题技巧四利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 12解题技巧五函数的对称性与周期性综合 15思维导图思维导图与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数奇函数+常函数在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式优先策略：1.若函数在定义域上单调递增，且，则.2.若函数在定义域上单调递减，且，则.3.已知函数为定义域在上的偶函数.（1）若在上单调递增，且，则.（2）若在上单调递减，且，则.4.已知函数为定义域在上的奇函数，（1）在上单调递增，且，则.（2）在上单调递减，且，则.5.注意讨论、.函数对称性的重要结论（1）若函数满足，则函数关于对称.（2）若函数满足，则函数关于对称.（3）若函数满足，则函数关于对称.（4）若函数满足，则函数关于对称.（5）若函数满足，则函数关于对称.函数周期性的重要结论一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期.=1\*GB3①若函数满足，则函数的周期.=2\*GB3②若函数满足，则函数的周期.=3\*GB3③若函数满足，则函数的周期.=4\*GB3④若函数满足，则函数的周期.=5\*GB3⑤若函数满足，则函数的周期.函数周期性、奇偶性、对称性的重要技巧（1）已知函数为偶函数，关于直线对称，则周期.（2）已知函数为奇函数，关于直线对称，则周期.（3）已知函数为偶函数，关于点对称，则周期.（4）已知函数为奇函数，关于点对称，则周期.经典重现+经典重现+解题技巧 解题技巧一函数的奇偶性及其应用函数奇偶性定义：（研究函数问题，一定要先确定好函数定义域）一般地，设函数的定义域为，如果，都有，(1)且，那么函数是偶函数，偶函数图像关于轴对称。【】(2)且，那么函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称。【】1.函数奇偶性应用：(1)是偶函数，常用于解与偶函数有关的不等式或方程；(2)是奇函数，且在处有定义，则2.与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数3.与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数【例1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用函数奇偶性定义可得函数为奇函数，结合其单调性可得，再利用基本不等式计算即可得解.【详解】由恒成立，故定义域为，，由在上单调递增，且在上单调递增，则在上单调递减，有，则，故函数为奇函数，则在上单调递减，则由可得，即，则，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.【变式1-1】（25-26高三上·山西长治·月考）函数的大致图象是（

）

B．

C．

D．

【答案】C【分析】可证明为偶函数，又易得时，可得结论.【详解】由，解得，均能满足有意义，故函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故排除B；又，所以在上单调递增，当时，，所以时，，所以当时，，所以排除A，D；故选：C.【变式1-2】（25-26高三下·湖南长沙·期中）(多选题)已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（

）A． B．函数图象关于点对称C． D．当时，【答案】ACD【分析】先根据为奇函数推出的对称中心，再结合与的关系分析的对称性、周期性、进而判断各选项.【详解】A选项中，因为为奇函数，所以，则，故A正确，B选项中，由A选项可知，，，所以，即，所以关于点对称，又的图象关于对称，所以的对称中心为，，不是，故B错误，C选项中，由A项得关于对称，即，，，，因为的图象关于对称，所以，又，所以，所以，即，所以关于对称，即，因此，，所以，故C正确，D选项中，因为，所以，又，所以，则，所以，则的周期为4，所以，又因为，所以，所以，故D正确．【变式1-3】（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解.【详解】因为，故，而的定义域为，故为上的奇函数.而均为上的增函数，故为上的增函数.因，故即，故. 解题技巧二函数的单调性及其应用1.单调性的定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，(1)当时，都有，那么就说函数在区间上时增函数。变式：，(2)当时，都有，那么就说函数在区间上时减函数。变式：，2.复合函数单调性（同增异减）：若与的单调性相同（相反），则为增函数（减函数）【例2】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可.【详解】由，，，设，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，而，则，即.【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可.【详解】由题知函数在上单调递增，当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，即，此时无解.综上，不等式的解集为【变式2-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可.【详解】函数的定义域为R，且满足，故为偶函数；当时，，其中在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，因此在上单调递增；由偶函数性质，等价于，结合函数的单调性得两边均非负，平方后不等号方向不变，得，展开整理得，即，解得，即的解集为.【变式2-3】（2026·安徽安庆·三模）已知函数，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性确定函数的单调性，进而确定的大小关系.【详解】当时，函数在上都单调递增，而函数在上单调递增，因此函数是上的增函数，，所以. 解题技巧三利用函数的单调性与奇偶性比较大小1.核心考点：结合奇偶性将自变量转化到同一单调区间，再用单调性比较解题技巧（四步标准化）

①去负号：利用奇偶性，将所有自变量的负号消去（如f(−3)=偶函数f(3)/奇函数−f(3)）；

②定区间：判断转化后所有自变量是否在同一单调区间内；

③比大小：比较单调区间内自变量的大小；

④推函数值【例3】（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可.【详解】因为，所以为定义在上的偶函数，因为，当时，即时，解得，所以在上递增，，由，，故.【变式3-1】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解.【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增.因为，，，所以.又，所以.【变式3-2】（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，则.当时，则，可得，所以在上单调递减.因为，且，所以，即．【变式3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）(多选题)设函数，则（

）A．是奇函数 B．是增函数C． D．曲线与曲线有且仅有个交点【答案】ABD【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶性及单调性可判断C；对D构造函数，用导数判断函数的零点可得.【详解】由函数的定义域：由，，得，即函数的定义域为.对于A：，满足奇函数定义，A正确；对于B：化简，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确；对于C，由奇函数性质，，所以不等式可化为：，，，所以,又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误；对于D，设，因为均为奇函数，所以是奇函数，只需分析：当时，，即是一个交点；当时，求导得，因为，所以，，所以，所以在上单调递减，，因此在无零点；因为是奇函数，所以在无零点，因此函数在有且仅有零点，故D正确. 解题技巧四利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式1.利用单调性、奇偶性解不等式原理（1）解型不等式①利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；②若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解.（1）为奇函数，形如的不等式的解法：第一步：将移到不等式的右边，得到；第二步：根据为奇函数，得到；第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解.2.奇偶性辅助解抽象函数不等式的转化法则①定义表述：若fx是偶函数，则fx=f|x|，可将不等式fgx>f②数学符号/表达式：-偶函数：fgx>f-奇函数：f③关键特征：偶函数转化可规避正负区间讨论，奇函数转化需注意符号变化，转化后均需结合单调性解题。【例4】（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得.【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减，又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增，故，两边取平方得，即，解得或，故不等式的解集为.【变式4-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得.【详解】，，故，单调递增.又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立.令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，取得最大值，故【变式4-2】（2026·广西桂林·模拟预测）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求导得到的单调性，再利用单调性结合定义域可得结果.【详解】因为，所以在上为增函数，由，得，即，则不等式的解集为．【变式4-3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式.【详解】由已知得，当时，，所以，当时，同理有，可知是奇函数．又当时，，所以在上单调递增，从而可得在上单调递增．不等式即，所以有，解得． 解题技巧五函数的对称性与周期性综合一、判定对称性（抓特征式，直接定对称中心/对称轴）

①轴对称：f(a+x)=f(a−x)→对称轴为x=a；特殊：f(x)=f(2a−x)/f(−x)=f(2a+二、对称性→周期性（两个关键结论，直接用）

①若f(x)有两条对称轴x=a和x=b（a≠b），则f(x)周期为2|a−b|；

②若f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)（a≠b），则f(x)周期为2【例5】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值.【详解】因为．所以，又因为，所以，即，所以的图象关于点对称，且．又因为的图象关于直线对称，所以，且所以，则，所以，所以是函数的一个周期．所以．又因为，所以．所以，所以.【变式5-1】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（

）A．0 B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解.【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且，又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称，可得函数的图象关于对称，即，因为，可得，即，所以函数是以为周期的周期函数，可得因为，可得，所以.【变式5-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用已知函数的奇偶性、周期性求出对应函数值，再结合已知关系式列方程求参数值.【详解】由题设，又，且，，所以，即，所以，可得（负值舍去）.【变式5-3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为______．【答案】【详解】由，得.所以，所以函数为周期函数，为函数的一个周期，又所以.1．（25-26高三上·青海·月考）已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题可得图函数定义域，即可对A判断，利用图象的对称性可对B判断；再利用特殊值可对D判断，从而可求解．【详解】A：由题可得图2函数定义域，对于中，，其定义域为，故A错误；B：由题可得当时，，当时，，则不关于轴对称，故B错误；C：函数中，定义域，即，符合图2的定义域，令，则，所以为偶函数，符合图2的对称性，故C正确.D：函数中，定义域，即，符合图2的定义域，令，得不符合图2，故D错误.故选：C.2．（25-26高三上·云南·阶段检测）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案.【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可得排除A、D项；当时，可得，所以，此时；当时，可得，所以，此时，所以选项B符合函数的图象的形状．故选：B．3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可．【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，所以A错误；因为，所以，所以B正确；，又在上单调递增，在上也单调递增，所以是增函数，又，所以，所以C错误；因为，所以，又因为，所以，所以D错误．4．（2026·河南·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案.【详解】令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，所以所以，即.令，则，令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以恒成立，即恒成立，所以是减函数，所以，即，即．综上所述，.5．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以.又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减.所以等价于，解得.6．（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用奇函数定义域含时及求出参数，再将函数变形判断单调性，最后结合奇偶性与单调性脱去函数符号，转化为一元二次不等式求解．【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以．因此，，，即，所以．因为，所以．又是减函数，所以，解得．7．（2026·福建莆田·模拟预测）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，则（

）A．是奇函数B．C．在上具有单调性D．若在上单调递增，且，则【答案】D【详解】A选项错误，由于定义域为，所以不是奇函数．B选项错误，存在反例，若，，则．C选项错误，存在反例；；．此时不具有单调性．D选项正确，由，得．由定义域得，，即．由单调递增得，即解得或（舍去）．综上，．8．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数，定义域为.易知函数只含项，因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大，所以在上单调递减，在上单调递增.等价于离的距离小于离的距离大小问题，即.两边平方得；整理得，解得.故的取值范围为.9．（2026·河北邢台·二模）已知函数则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解.【详解】的定义域为，，故为偶函数，当时，，由于为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数，结合为单调递增函数，故为上的单调递增函数，由可得，解得.10．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小.【详解】由得函数的图象关于对称，根据已知及单调性的定义，知在上为减函数，所以在上为增函数，，且，．11．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】B【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解.【详解】因为函数满足，所以，即是以4为周期的函数.由题意知奇函数的自变量可取0，所以.又因为当时，，所以，解得，所以当时，，所以.12．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值.【详解】由于，所以是以4为周期的周期函数，则.13．（2026·河北邯郸·二模）(多选题)已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（

）A． B．在上单调递减C．的值域为 D．的解集为【答案】ACD【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D.【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：，验证：当时，，，即，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得：，即，因为在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以B选项错误；C选项，令，则，，因为，所以，，，则：，的值域为，所以C选项正确；D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以，原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增，所以需满足，解得：，所以D选项正确.14．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选题)若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（

）.A．2是的一个周期B．一定为正数C．若，则D．若在上单调递增，则【答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性与对称性，推得函数的周期性，再利用周期性，赋值代入求值判断即可.【详解】对于A，因是定义在上的偶函数，则，又的图象关于直线对称，则，故有，即2是的一个周期，故A正确；对于B，因对任意，都有，若取，则得，若取函数，显然满足题设条件