三角形与全等三角形综合测试题一

三角形与全等三角形综合测试题一亲爱的同学们，三角形是我们平面几何世界中最基本也最重要的图形之一，而全等三角形的判定与性质更是解决诸多几何问题的基石。这份综合测试题旨在帮助大家系统检验对三角形基本概念、性质以及全等三角形相关知识的掌握程度，巩固所学，提升解题技能与逻辑推理能力。请大家在独立思考的基础上完成，认真审题，仔细作答，相信你们一定能出色完成！一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.2，3，5D.2，4，72.在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）（示意图说明：△ABC与△DEF放置，点A、D、C、F共线，AB对应DE，BC对应EF）A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.AD=CF4.下列说法中，正确的是（）A.三个角对应相等的两个三角形全等B.周长相等的两个三角形全等C.全等三角形的面积相等D.面积相等的两个三角形全等5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，下列结论中不一定成立的是（）（示意图说明：点P在∠AOB的平分线上，PA、PB分别垂直于两边）A.PA=PBB.OA=OBC.∠OAP=∠OBPD.OP平分∠APB二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.三角形具有_________性，这一性质在生活中有广泛的应用，例如_________（举一个简单例子）。7.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠C=_________度，这个三角形是_________三角形。8.如图，已知△ABC≌△DEF，且点A与点D对应，点B与点E对应。若∠A=60°，∠B=70°，则∠F=_________度；若BC=5cm，则EF=_________cm。9.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=3cm，则DF=_________cm，理由是_________。10.已知一个三角形的两边长分别为4和6，则第三边的取值范围是_________。若此三角形的周长为偶数，则第三边的长为_________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11.(本题满分10分)如图，已知线段a和∠α，利用尺规作图法作一个三角形ABC，使AB=a，AC=a，∠A=∠α。（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）（示意图说明：题目会给出一个线段a和一个角α的图示）12.(本题满分12分)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF。求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AC∥DF。（示意图说明：AB平行且等于DE，B、E、C、F依次在同一直线上，且BE=CF）13.(本题满分12分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上。求证：BE=CE。（示意图说明：等腰三角形ABC，AB=AC，AD为底边BC的中线，E为AD上任意一点，连接BE、CE）14.(本题满分12分)如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF=AC，FD=CD。求证：（1）△BFD≌△ACD；（2）BE⊥AC。（示意图说明：AD⊥BC于D，BE线段交AD于F，形成直角三角形BDF和直角三角形ADC，BF=AC，FD=CD）15.(本题满分12分)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点O是AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F。求证：OE=OF。（示意图说明：四边形ABCD对边AB=CD，AD=BC，O为对角线AC中点，过O的直线交AD于E，交BC于F）16.(本题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。（1）求证：CD=DE；（2）若AB=10cm，求△DBE的周长。（示意图说明：等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE垂直AB于E）---（以下为解答区域，同学们完成作答后，可对照参考答案进行自我检查与学习）---四、答案与解析一、选择题（每小题3分，共15分）1.B解析：根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断。A选项：1+2=3，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。B选项：2+3>4，3+4>2，2+4>3，且4-3<2，4-2<3，3-2<4，满足条件，可以组成三角形。C选项：2+3=5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。D选项：2+4<7，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。2.B解析：设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，根据题意有∠A=∠B+∠C。又因为三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°。将∠A=∠B+∠C代入，得2∠A=180°，所以∠A=90°。因此，这个三角形是直角三角形。3.D解析：已知AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，根据全等三角形的判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。A选项∠BCA=∠F，是SSA的情况，不能判定全等。B选项∠B=∠E，结合AB=DE，BC=EF，是SAS，可以判定全等。但需看题目图形对应关系，若AB与DE对应，∠B与∠E对应，BC与EF对应，则SAS成立。但选项D也是一个可能的条件。C选项BC∥EF，可以推出∠BCA=∠F，同样是SSA，不能判定。D选项AD=CF，因为点A、D、C、F在同一直线上，所以AD+DC=CF+DC，即AC=DF。此时有AB=DE，BC=EF，AC=DF，符合SSS判定定理，能判定全等。（注：若B选项条件成立，SAS也可。此处需根据图形严格对应。原题干指出“点A与点D对应，点B与点E对应”在填空题中，但选择题题干未明确，但通常按顺序对应。若AB=DE，BC=EF，若∠B与∠E是夹角，则B选项正确；若AC=DF，则D选项正确。在没有图形的情况下，D选项AD=CF能直接推出AC=DF，从而SSS，是更直接的添加条件。因此选D更为稳妥。）4.C解析：A选项，三个角对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故A错误。B选项，周长相等的两个三角形，形状和大小不一定相同，故不一定全等，B错误。C选项，全等三角形能够完全重合，因此面积相等，C正确。D选项，面积相等的两个三角形，形状不一定相同，故不一定全等，D错误。5.B解析：因为OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，所以根据角平分线的性质定理，PA=PB，故A成立。在Rt△OAP和Rt△OBP中，OP=OP，PA=PB，所以Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），因此∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO，即OP平分∠APB，故C、D成立。OA=OB只有当OP是∠AOB的平分线且∠AOB为特定角度或其他条件时才成立，题目中未给出更多条件，因此OA=OB不一定成立，故选B。二、填空题（每小题3分，共15分）6.稳定；例如：照相机的三脚架（或屋顶的三角形结构等，合理即可）解析：三角形的稳定性是其重要特性。7.90；直角解析：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。x+2x+3x=180°，解得x=30°，所以∠C=3x=90°，此三角形为直角三角形。8.50；5解析：因为△ABC≌△DEF，所以∠F=∠C。在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-70°=50°，故∠F=50°。BC与EF是对应边，所以EF=BC=5cm。9.3；角平分线上的点到角的两边的距离相等解析：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质定理，DE=DF=3cm。10.2<第三边<10；4或6或8解析：设第三边长为x，根据三角形三边关系，6-4<x<6+4，即2<x<10。三角形周长为4+6+x=10+x，周长为偶数，10是偶数，所以x必须是偶数。在2<x<10范围内的偶数有4、6、8。三、解答题（本大题共6小题，共70分）11.(本题满分10分)结论：△ABC即为所求作的三角形。（解析：作图步骤大致为：1.作射线AM；2.在射线AM上截取AB=a；3.以A为顶点，AB为一边，作∠NAB=∠α；4.在射线AN上截取AC=a；5.连接BC。则△ABC即为所求。评分标准：作射线、截取AB、作角、截取AC、连接BC，每一步的作图痕迹清晰，结论正确。）12.(本题满分12分)证明：（1）∵AB∥DE（已知）∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE（已知）∠B=∠DEF（已证）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SAS）（2）∵△ABC≌△DEF（已证）∴∠ACB=∠F（全等三角形的对应角相等）∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）13.(本题满分12分)证明：∵AB=AC，D是BC的中点（已知）∴AD是△ABC的中线，同时也是△ABC顶角的平分线和底边BC上的高（等腰三角形“三线合一”）∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD在△BDE和△CDE中BD=CD（已证）∠BDE=∠CDE（已证，均为90°）DE=DE（公共边）∴△BDE≌△CDE（SAS）∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）（另证：可先证△ABD≌△ACD（SSS），得∠BAD=∠CAD，再证△ABE≌△ACE（SAS），从而BE=CE。）14.(本题满分12分)证明：（1）∵AD是△ABC的高（已知）∴∠ADB=∠ADC=90°（高的定义）在Rt△BFD和Rt△ACD中BF=AC（已知）FD=CD（已知）∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）（2）∵Rt△BFD≌Rt△ACD（已证）∴∠BFD=∠C（全等三角形的对应角相等）∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠AFE=∠C（等量代换）在Rt△ADC中，∠C+∠CAD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠AFE+∠CAD=90°（等量代换）在△AFE中，∠AEF=180°-（∠AFE+∠CAD）=180°-90°=90°（三角形内角和定理）∴BE⊥AC（垂直的定义）15.(本题满分12分)证明：∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（已知）∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）∴∠OAE=∠OCF（两直线平行，内错角相等）∵点O是AC的中点（已知）∴OA=OC（中点的定义）在△OAE和△OCF中∠OAE=∠OCF（已证）OA=OC（已证）∠AOE=∠COF（对顶角相等）∴△OAE≌△OCF（ASA）∴OE=OF（全等三角形的对应边相等）16.(本题满分12分)（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB（已知）∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）（2）解：∵∠C=90°，AC=BC（已知）∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°∵DE⊥AB（已知）∴△BDE是等腰直角三角形（有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形）∴DE=BE由（1）知CD=DE，∴CD=BE在Rt△ACD和Rt△AED中AD=AD