第02讲整式的基本概念(原卷版+解析)

第02讲整式的基本概念模块一：整式的基本概念1、单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式，它的指数为，是四次单项式．单独的一个数（零除外），它们的次数规定为零，叫做零次单项式；（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：是多项式．（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项． 多项式中的各项包括它前面的符号． 多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，，，．多项式是几次几项式？下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：，，，，……如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？模块二：合并同类项1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．下列各组单项式中属于同类项的是： ①和； ②和； ③和； ④和； ⑤和； ⑥和．合并下列同类项： （1）； （2）； （3）．多项式中不含项，求的值．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）下列代数式中是单项式的是（

）A． B．2 C． D．（2022秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列各式中，不是整式的是（

）A． B． C．0 D．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）代数式，，，，中，多项式有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）下列各代数式中是五次单项式的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海普陀·七年级校联考期末）下列说法中，正确的是（）A．的系数是 B．的系数是C．的常数项为 D．是四次三项式（2022秋·上海·七年级校联考期末）代数式，，，，中是整式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（2022秋·上海奉贤·七年级校联考期末）下列说法正确的是（

）A．是单项式 B．是单项式C．是一次单项式 D．的次数是1次（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）下列说法正确的是（

）A．的系数是； B．是单项式；C．多项式的一次项系数是3； D．的次数为2．（2022秋·上海静安·七年级校考阶段练习）单项式的系数是__________．（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）单项式的系数是____________．（2022秋·上海·七年级校联考期末）将多项式按字母升幂排列，结果是_________．（2022秋·上海·七年级校联考期末）单项式的次数为_________．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）将多项式按字母x的降幂排列为___________．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知多项式：，其中，二次项系数是___________．（2022秋·上海静安·七年级校考阶段练习）当__________时，是一个二次多项式．（2022秋·上海·七年级专题练习）是关于与的五次三项式，则_____．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知多项式（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列各图形中的“”的个数和“”的个数是按照一定规律摆放的：(1)观察图形，填写下表：第n个图形12345…n的个数369____________…______的个数136____________…______(2)当n=_____时，“”的个数是“”的个数的2倍23．（2022秋·上海·七年级专题练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.下列说法中错误的是（

）A．是四次单项式 B．是三次三项式C．的系数是3 D．0是单项式下列代数式中，次数为3的单项式是（）单项式的次数是___________观察下列算式：用你所发现的规律，化简：___________（为正整数）．已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同．（1）求m、n的值；（2）求多项式各项的系数和．已知，且有，，求的值．第02讲整式的基本概念模块一：整式的基本概念1、单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式，它的指数为，是四次单项式．单独的一个数（零除外），它们的次数规定为零，叫做零次单项式；（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：是多项式．（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项． 多项式中的各项包括它前面的符号． 多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？【答案】单项式：，，0；多项式：，； 整式：，，，0，．【解析】分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都 是整式．【总结】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，，，．【答案】以上代数式是单项式的有：，，，，，． 的系数为，次数为3； 的系数为-1，次数为1； ，系数为，次数为7； ，系数为-3，次数为6； 2，系数为2，次数为0； ，系数，次数为1．【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．多项式是几次几项式？【答案】五次五项式．【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是，是五次单项式，故此多项式 的次数为五次，共五项，所以是五次五项式．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个：，，，，……如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？【答案】．【解析】根据观察，可以发现规律为，根据规律可得答案．【总结】这是一道找规律的题目，做题时要注意每一项的特征．模块二：合并同类项1、同类项的概念：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．下列各组单项式中属于同类项的是： ①和； ②和； ③和； ④和； ⑤和； ⑥和．【答案】②⑤⑥．【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．合并下列同类项： （1）； （2）； （3）．【答案】（1）； （2）； （3）．【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式．【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．多项式中不含项，求的值．【答案】．【解析】因为多项式中不含项，所以，解得：． 所以．【总结】本题一方面考查合并同类项的概念，另一方面考查对多项式中不含某一项的理解．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）下列代数式中是单项式的是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据单项式的定义进行判断即可．【详解】解：A．是多项式不是单项式，故A错误；B．2是单项式，故B正确；C．是多项式不是单项式，故C错误；D．是多项式不是单项式，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单个的字或数字也是单项式．（2022秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列各式中，不是整式的是（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案．【详解】解：A、是整式，故此选项不合题意；B、是方程，故此选项符合题意；C、0是整式，故此选项不合题意；D、是整式，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）代数式，，，，中，多项式有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据多项式的定义判断即可．【详解】不是多项式，是多项式，不是多项式，是多项式，不是多项式，∴多项式有2个．故选C．【点睛】本题考查多项式的定义．掌握几个单项式的和，叫做多项式是解题关键．（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）下列各代数式中是五次单项式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据单项式的次数及定义逐个判断即可得到答案．【详解】解：是4次单项式，故A不符合题意；是3次单项式，故B不符合题意；是5次单项式，故C符合题意；是多项式，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查单项式的定义及次数：数与字母的积叫单项式，所有字母指数和为单项式的次数．（2022秋·上海普陀·七年级校联考期末）下列说法中，正确的是（）A．的系数是 B．的系数是C．的常数项为 D．是四次三项式【答案】C【分析】根据单项式的系数和次数，多项式的项和次数的概念进行分析判断．【详解】解：A．的系数是，故此选项不符合题意；B．的系数是，故此选项不符合题；C．的常数项为，故此选项符合题意；D．是三次三项式，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了单项式和多项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项．（2022秋·上海·七年级校联考期末）代数式，，，，中是整式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案．【详解】解：的分母含有字母，不是整式；是整式；是整式；是整式；是整式；综上，整式的个数是4个．故选：D．【点睛】本题考查了整式的定义．解题的关键是熟练掌握整式的定义．要注意虽然有分数线，但是分母中不含有表示未知数的字母，所以它仍是整式．在整式中除式不能含有字母．（2022秋·上海奉贤·七年级校联考期末）下列说法正确的是（

）A．是单项式 B．是单项式C．是一次单项式 D．的次数是1次【答案】C【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．【详解】解：A．不是单项式，故该选项不符合题意；B．不是单项式，故该选项不符合题意；C．是一次单项式，故该选项符合题意；D．的次数是2次，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的概念，单项式的次数的概念．（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）下列说法正确的是（

）A．的系数是； B．是单项式；C．多项式的一次项系数是3； D．的次数为2．【答案】D【分析】利用多项式次数与项数定义以及单项式的次数与系数定义分别判断即可．【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；B、不是整式，原说法错误，故此选项不符合题意；C、多项式的一次项系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；D、的次数为2，原说法正确，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了多项式，单项式，熟练掌握多项式和单项式的相关定义是解本题的关键．（2022秋·上海静安·七年级校考阶段练习）单项式的系数是__________．【答案】/【分析】根据单项式系数的定义求解即可．【详解】解：单项式的系数是．故答案为：．【点睛】本题考查了单项式系数定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）单项式的系数是____________．【答案】【分析】根据单项式系数的定义进行求解即可．【详解】解：单项式的系数是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了单项式系数的定义，熟知定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．（2022秋·上海·七年级校联考期末）将多项式按字母升幂排列，结果是_________．【答案】【分析】根据多项式的定义解决此题．【详解】解：∵多项式含、、、这四项，y的次数分别是3、0、2、1，∴多项式按字母y升幂排列的结果是．故答案为：．【点睛】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的定义是解决本题的关键．（2022秋·上海·七年级校联考期末）单项式的次数为_________．【答案】【分析】单项式中的数字因数为单项式的系数，据此即可求解．【详解】解：由定义可知：单项式中的数字因数为：．故答案为：．【点睛】此题考查的知识点有：单项式的定义、单项式系数的定义；准确掌握单项式系数的定义是解题关键．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）将多项式按字母x的降幂排列为___________．【答案】【分析】先分清各项，然后按降幂排列的定义解答．【详解】解：多项式的各项是，，，，按x降幂排列为，故答案为：．【点睛】此题考查的多项式的次数排列，掌握降幂排即从x的最高次幂排到最低次幂是解题的关键．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知多项式：，其中，二次项系数是___________．【答案】【分析】由多项式的项的概念即可解答．【详解】解∶，其中，二次项是，∴它的二次项系数是，故答案为∶．【点睛】本题考查多项式的有关概念，关键是掌握多项式的项的概念，（2022秋·上海静安·七年级校考阶段练习）当__________时，是一个二次多项式．【答案】【分析】根据多项式的定义可得二次项系数不为0，据此即可求解．【详解】解：∵是一个二次多项式∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）是关于与的五次三项式，则_____．【答案】1【分析】先根据原多项式是一个五次三项式得出的值，代入原式后，根据原式为三项式，得出的值，最后把代入求解即可．【详解】解：原多项式是一个五次三项式，最高项是原式，，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式的项数和次数，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知多项式（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．【答案】（1）；（2）5，xy，【分析】（1）按的降幂排列：即按照的指数由高到低进行排列即可得到答案；（2）由多项式中的最高次项的次数是多项式的次数，结合二次项及常数项的概念可得答案．【详解】解：（1）按x的降幂排列是：（2）由最高次项为：，所以多项式的次数是5，它的二次项是xy，常数项是.【点睛】本题考查的是多项式的降幂排列，多项式的二次项，常数项，掌握以上知识是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列各图形中的“”的个数和“”的个数是按照一定规律摆放的：(1)观察图形，填写下表：第n个图形12345…n的个数369____________…______的个数136____________…______(2)当n=_____时，“”的个数是“”的个数的2倍【答案】(1)12、15、3n、10、15、．(2)11．【分析】（1）由图形知，“●”的个数是序数的3倍，“△”的个数是从1开始到序数为止连续整数的和，据此可得；（2）根据（1）中所得结果列出关于n的方程，解之可得答案．【详解】（1）完成表格如下：（2）根据题意知2×3n，解得：n=0（舍）或n=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．23．（2022秋·上海·七年级专题练习）⑴若是一个二次多项式，求a的值；⑵若上述多项式是一次二项式，求、b的值.【答案】（1）a≠3；（2）a=3且b≠1【分析】（1）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用二次多项式的定义即可求解；（2）运用合并同类项的法则可将3x2-x-ax2+bx+1化为(3-a)x2+(b-1)x+1；再运用一次二项式的定义即可求解.【详解】解：（1）=(3-a)x2+(b-1)x+1是一个二次多项式∴3-a≠0即a≠3；（2）=(3-a)x2+(b-1)x+1是一次二项式∴3-a=0，且b-1≠0∴a=3且b≠1故答案为（1）a≠3；（2）a=3且b≠1【点睛】本题主要考查了多项式的定义，熟练多项式的定义是解题的关键.下列说法中错误的是（

）A．是四次单项式 B．是三次三项式C．的系数是3 D．0是单项式【答案】C【分析】根据多项式的次数与项数，单项式以及单项式的系数的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A．是四次单项式，故该选项正确，不符合题意；

B．是三次三项式，故该选项正确，不符合题意；C．的系数是，故该选项不正确，符合题意；

D．0是单项式，故该选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了多项式的次数与项数，单项式以及单项式的系数的定义，掌握以上知识是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）．其中单项式中的数字因数称这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中