第02讲最简二次根式与同类二次根式(原卷版+解析)

第02讲最简二次根式与同类二次根式进一步研究二次根式运算的的知识基础重点是最简二次根式、同类二次根式的判断难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简模块一：最简二次根式1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）； （2）； （3）．．将下列二次根式化成最简二次根式：； （2）； （3）（，，）．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）； （2）； （3）（） （4）（，，）．将下列式子化成最简二次根式：（1）； （2）； （3）．模块二：同类二次根式1、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？，，； （2），，．合并下列各式中的同类二次根式：（1）； （2）；（3）； （4）．（1）；（2）；（3）；（4）．计算：若与是同类二次根式，求的最小正整数？一、单选题（2022秋·上海宝山·八年级校联考期末）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（

）A．与； B．与； C．与； D．与．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法正确的是（

）．A．与是同类二次根式 B．的平方根是C． D．一定是负数（2023春·上海宝山·八年级校考阶段练习）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．二、填空题（2022秋·上海松江·八年级校考期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则________．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）把中根号外因式适当变形后移至根号内得______．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是______．三、解答题（2021秋·上海·八年级期中）已知正数满足不等式：，化简：.（2021秋·上海·八年级期中）计算：（2021秋·上海·八年级期中）化简：(其中x<0)下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．下列根式中，是最简二次根式的是(

)A． B． C． D．若与最简二次根式是同类二次根式，则____________．若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是______．解不等式：观察下列各式及其化简过程：=;（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简；（2）化简：（3）化简；第02讲最简二次根式与同类二次根式进一步研究二次根式运算的的知识基础重点是最简二次根式、同类二次根式的判断难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简模块一：最简二次根式1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 所以这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．将下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）（，，）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）； （2）； （3）（） （4）（，，）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．将下列式子化成最简二次根式：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）； （2）； （3）．【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．模块二：同类二次根式1、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？（1），，； （2），，．【答案】（1）不是；（2）不是．【解析】（1）；；． （2）；；．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．合并下列各式中的同类二次根式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）（2）；（3）；（4）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．计算： （1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）；（2），，．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式和方程．若与是同类二次根式，求的最小正整数？【答案】．【解析】由题意得：（为正整数），解得：当时，．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，因此要从多个角度考虑．一、单选题（2022秋·上海宝山·八年级校联考期末）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可．【详解】A：，故和不是同类二次根式，故A选项不符合题意；B：，故和，故B选项不符合题意；C：，故和是同类二次根式，故C选项符合题意；D：和不是同类二次根式，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（

）A．与； B．与； C．与； D．与．【答案】D【分析】把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断．【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式；B、与被开方数不同，不是同类二次根式；C、与被开方数不同，不是同类二次根式；D、与，被开方数相同，是同类二次根式．故选：D．【点睛】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、是最简二次根式，故本选项符合题意；C、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：∵，A、，与不是同类二次根式．B、，与不是同类二次根式．C、，与是同类二次根式．D、，与不是同类二次根式．故选：C．【点睛】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法正确的是（

）．A．与是同类二次根式 B．的平方根是C． D．一定是负数【答案】B【分析】根据同类二次根式的定义判断A，根据平方根的定义判断B，根据二次根式的性质判断C，根据实数的性质判断D．【详解】解：A．∵，，∴与不是同类二次根式，故不正确；B．∵，∴的平方根是，正确；C．当时，，故不正确；D．当时，，不是负数，故不正确；故选B．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，二次根式的性质，以及实数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．（2023春·上海宝山·八年级校考阶段练习）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．【详解】解：A、a与被开方数不同，故不是同类二次根式；B、=|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；C、=|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；D、=a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行选择即可．【详解】A．，与是同类二次根式，故正确；B．，与不是同类二次根式，故错误；C．，与不是同类二次根式，故错误；D．，与不是同类二次根式，故错误；故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：A.，故不符合题意；B.，故不符合题意；C.，故不符合题意；D.，最简二次根式，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解题的关键．二、填空题（2022秋·上海松江·八年级校考期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则________．【答案】/0.75【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解方程即可得到答案．【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同是解题的关键．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）把中根号外因式适当变形后移至根号内得______．【答案】【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解．【详解】解：∵，有意义，∴，则，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是______．【答案】【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：是最简二次根式，∵，，，∴、、不是最简二次根式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题（2021秋·上海·八年级期中）已知正数满足不等式：，化简：.【答案】【分析】先解出不等式求出x取值范围，再利用二次根式的性质化简即可.【详解】解：(注意：)解得：.∵x为正数，∴x＋1＞0，x－2＜0，原式===【点睛】此题考查的是解不等式和化简二次根式，需要特别注意的是解不等式时两边同时乘或除以负数时不等号改变方向.（2021秋·上海·八年级期中）计算：【答案】【分析】分别化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：原式【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．（2021秋·上海·八年级期中）化简：(其中x<0)【答案】【分析】根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可．【详解】解：由题意知，∴====【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵有意义，∴∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．下列根式中，是最简二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．，不是最简二次根式；B．=2，不是最简二次根式；C．是最简二次根式；D．，不是最简二次根式；故选C．【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．若与最简二次根式是同类二次根式，则____________．【答案】/0.5【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，得出关于的方程，解出即可得出答案．【