2026版《金版教程》高考一轮复习数学第六章 考点测试36　椭圆

高考总复习首选用卷数学考点测试36椭圆基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910111213难度★★★★★★★★★★★★★★对点椭圆的标准方程利用几何性质求椭圆的方程椭圆的离心率椭圆的定义及辨析椭圆的离心率椭圆中的焦点三角形问题与椭圆有关的轨迹问题椭圆中的焦点三角形问题椭圆的几何性质椭圆中的焦点三角形问题椭圆的离心率椭圆的标准方程椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合问题题号141516171819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点与椭圆有关的轨迹问题；椭圆中的求值问题椭圆的中点弦问题椭圆的离心率椭圆中的焦点三角形问题椭圆的几何性质；椭圆中的最值问题椭圆中的焦点三角形问题椭圆的离心率椭圆的标准方程；椭圆中的证明问题椭圆的标准方程；椭圆中的证明问题；直线与椭圆的综合问题椭圆的离心率椭圆的标准方程；椭圆中的证明问题椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合问题高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，中、高等难度考点研读1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．了解椭圆的简单应用3．理解数形结合的思想1．以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1答案：B解析：因为焦点在x轴上，故排除C；又因为c＝1，故排除D；将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))代入eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1得eq\f(1,3)＋eq\f(\f(9,4),2)＝eq\f(35,24)≠1，故排除A.故选B.2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝()A.eq\f(1,2) B．2C．4 D.eq\f(1,4)答案：D解析：由x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1及题意知，2eq\r(\f(1,m))＝2×2×1，得m＝eq\f(1,4).故选D.3．(2024·广东佛山S7高质量发展联盟高三联考)已知椭圆C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m＋6)＝1的离心率为eq\f(\r(3),2)，则C的长轴长为()A．8eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4答案：B解析：依题意，因为椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(\r(m＋6－m),\r(m＋6))＝eq\f(\r(3),2)，得m＝2，故长轴长为2eq\r(m＋6)＝4eq\r(2).故选B.4．若动点P(x，y)满足方程eq\r(（x＋2）2＋y2)＋eq\r(（x－2）2＋y2)＝8，则动点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,12)＝1答案：A解析：由题意得P(x，y)到A(－2，0)与B(2，0)的距离之和为8，且8>4＝|AB|，故动点P的轨迹方程是以A(－2，0)与B(2，0)为焦点的椭圆方程，且2a＝8，c＝2，所以a＝4，b2＝a2－c2＝16－4＝12，所以动点P的轨迹方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.故选A.5．(2025·贵州遵义桐梓县共同体高三联考)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝10，|AB|＝12，则C的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(3),3)答案：A解析：由题意可知|AF2|＝eq\f(1,2)|AB|＝6，所以由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10＋6＝16⇒a＝8，又由椭圆通径定义可知|AB|＝eq\f(2b2,a)＝12，所以b2＝6a＝48，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(\f(64－48,64))＝eq\f(1,2).故选A.6．已知点P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1上的任意点，F是椭圆的左焦点，Q是PF的中点，O是坐标原点，则△OFQ的周长为()A．5 B．6C．10 D.12答案：A解析：在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1中，a＝3，b＝eq\r(5)，c＝eq\r(a2－b2)＝2，如图，设椭圆的另一个焦点为F′，连接PF′，因为O，Q分别为FF′，PF的中点，所以|OQ|＝eq\f(1,2)|PF′|，则△OFQ的周长为|OF|＋|OQ|＋|QF|＝|OF|＋eq\f(1,2)(|PF′|＋|PF|)＝c＋a＝5.故选A.7．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案：B解析：因为点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆．故选B.8．(2024·河南驻马店二模)已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1(0<m<9，m∈Z)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上但不在坐标轴上，且△PF1F2是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为eq\f(7,8)，则m＝()A．4 B．5C．6 D．8答案：B解析：依题意得|PF1|＋|PF2|＝6，设|F1F2|＝n，不妨设点P在第一象限．若|PF1|＝|F1F2|＝n，则|PF2|＝6－n(0<n<6)，故cos∠PF1F2＝eq\f(n2＋n2－（6－n）2,2n2)＝eq\f(7,8)或cos∠PF2F1＝eq\f(n2＋（6－n）2－n2,2n（6－n）)＝eq\f(7,8)，解得n＝4或n＝eq\f(24,11)，又m∈Z，m＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))eq\s\up12(2)＝9，所以n＝4，m＝5；若|PF2|＝|F1F2|＝n，有|PF1|＝6－n(0<n<6)，同理可得n＝4，m＝5，此时|PF2|＝4，|PF1|＝2，不符合点P在第一象限．由以上分析，可得m＝5.故选B.9．(多选)已知P是椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的动点，则()A．C的焦距为eq\r(5)B．C的离心率为eq\f(\r(30),6)C．圆D在C的内部D．|PQ|的最小值为eq\f(2\r(5),5)答案：BC解析：∵eq\f(x2,6)＋y2＝1，∴a＝eq\r(6)，b＝1，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，则C的焦距为2eq\r(5)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).设P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)＞eq\f(1,5)，∴圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5).故选BC.10．(多选)(2025·江苏南通如皋部分学校高三诊断性考试)已知椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，上、下焦点分别为F1(0，1)，F2(0，－1)，M为椭圆上一点(不与椭圆的上、下顶点重合)，下列说法正确的是()A．a＝2B．b＝2C．若△F1F2M为直角三角形，则sin∠F1MF2＝eq\f(4,5)D．若|MF1|·|MF2|＝4，则△MF1F2的面积为2eq\r(3)答案：AC解析：对于A，B，由椭圆半焦距c＝1，离心率为eq\f(1,2)，得a＝2，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，A正确，B错误；对于C，由c<b知，以线段F1F2为直径的圆在椭圆内，即∠F1MF2不可能是直角，由△F1F2M为直角三角形，得∠F1F2M＝90°或∠F2F1M＝90°，由椭圆的对称性，不妨令∠F2F1M＝90°，则直线MF1：y＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,3y2＋4x2＝12，))得|x|＝eq\f(3,2)，即|MF1|＝eq\f(3,2)，则|MF2|＝2a－|MF1|＝eq\f(5,2)，所以sin∠F1MF2＝eq\f(|F1F2|,|MF2|)＝eq\f(4,5)，C正确；对于D，由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，而|MF1|·|MF2|＝4，解得|MF1|＝|MF2|＝2，而|F1F2|＝2，则△MF1F2是边长为2的正三角形，其面积为eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，D错误．故选AC.11．F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足∠F1MN＝∠F2MN＝45°，3|NF1|＝4|NF2|，则椭圆E的离心率为________．答案：eq\f(5,7)解析：因为∠F1MN＝∠F2MN＝45°，所以F1M⊥F2M，则MN是∠F1MF2的角平分线，所以eq\f(|F1M|,|F2M|)＝eq\f(|NF1|,|NF2|)，又因为3|NF1|＝4|NF2|，所以eq\f(|F1M|,|F2M|)＝eq\f(4,3)，设|F1M|＝4x，|F2M|＝3x，由椭圆定义得|F1M|＋|F2M|＝2a，即4x＋3x＝2a，解得x＝eq\f(2,7)a，则|F1M|＝eq\f(8,7)a，|F2M|＝eq\f(6,7)a，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)a))eq\s\up12(2)＝4c2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(25,49)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,7).12．(2024·江西新余模拟预测)已知焦点在x轴上的椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线l与C交于A，B两点，若eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝16，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝9，eq\o(BF1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，则C的标准方程为______________．答案：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1解析：因为eq\o(BF1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，可知BA⊥BF1，则eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝eq\o(F1B,\s\up6(→))2＝16，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝9，可得|eq\o(F1B,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，即|F1B|＝4，|AB|＝3，则|AF1|＝eq\r(|F1B|2＋|AB|2)＝5，由椭圆定义可得4a＝|AF1|＋|F1B|＋|AB|＝12，即a＝3，且|F2B|＝2a－|F1B|＝2，则|F1F2|＝eq\r(|F1B|2＋|F2B|2)＝2eq\r(5)，即2c＝2eq\r(5)，可得c＝eq\r(5)，b＝eq\r(a2－c2)＝2，所以C的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.13．(2025·安徽亳州高三摸底大联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(2\r(2),3)，点P为椭圆C上任意一点，且△PF1F2的周长为6＋4eq\r(2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l1：y＝x＋eq\r(3)与直线l2：y＝x－eq\r(3)分别交椭圆C于A，B和C，D两点，求四边形ABCD的面积．解：(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋2c＝6＋4\r(2)，,a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(2\r(2),3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，,c＝2\r(2)，))则椭圆C的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)易知四边形ABCD为平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线l1与椭圆C，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(3)，,\f(x2,9)＋y2＝1，))消去y并整理，得5x2＋9eq\r(3)x＋9＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq\f(9\r(3),5)，x1x2＝eq\f(9,5)，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(3\r(14),5)，因为AB与CD平行，所以这两条直线间的距离d＝eq\f(|\r(3)－（－\r(3)）|,\r(2))＝eq\r(6)，则平行四边形ABCD的面积S＝|AB|·d＝eq\f(3\r(14),5)×eq\r(6)＝eq\f(6\r(21),5).14．(2024·广东广州三模)将x2＋y2＝2上各点的纵坐标变为原来的eq\f(\r(2),2)倍(横坐标不变)，所得曲线为E.记P(－2，0)，Q(1，0)，过点P的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D.(1)求曲线E的方程；(2)设直线AB，CD的倾斜角分别为α，β(α，β>0)，求eq\f(tanα,tanβ)的值．解：(1)设所求轨迹E上的任意点为(x，y)，与x2＋y2＝2对应的点为(x1，y1)，根据题意，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝\f(\r(2),2)y1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x，,y1＝\r(2)y，))代入方程x2＋y2＝2，可得x2＋(eq\r(2)y)2＝2，整理得eq\f(x2,2)＋y2＝1，所以曲线E的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由题意知tanβ≠0，所以直线AC的斜率不可能为0，设直线AC的方程为x＝ty＋1，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))整理得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ＝(2t)2－4(t2＋2)×(－1)＝8t2＋8>0，由根与系数的关系，得y1＋y3＝eq\f(－2t,t2＋2)，y1y3＝eq\f(－1,t2＋2)，又因为t＝eq\f(x1－1,y1)，点A(x1，y1)在椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1上，所以y3＝eq\f(－1,t2＋2)×eq\f(1,y1)＝eq\f(－y1,2yeq\o\al(2,1)＋（x1－1）2)＝eq\f(y1,2x1－3)，x3＝ty3＋1＝eq\f(x1－1,y1)×eq\f(y1,2x1－3)＋1＝eq\f(3x1－4,2x1－3)，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x1－4,2x1－3)，\f(y1,2x1－3)))，同理可得，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x2－4,2x2－3)，\f(y2,2x2－3)))，又因为P，A，B三点共线，可得eq\f(y1,x1＋2)＝eq\f(y2,x2＋2)，即x2y1－x1y2＝2(y2－y1)，所以kCD＝eq\f(\f(y2,2x2－3)－\f(y1,2x1－3),\f(3x2－4,2x2－3)－\f(3x1－4,2x1－3))＝eq\f(2（x2y1－x1y2）＋3（y2－y1）,x2－x1)＝eq\f(7（y2－y1）,x2－x1)＝7kAB，所以eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(kAB,kCD)＝eq\f(1,7).15．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的四个顶点构成的四边形的面积为16eq\r(2)，直线l：x－2y＋6＝0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为(－2，2)，则椭圆C的方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,2)＝1答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，两式作差并化简整理，得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，因为线段AB的中点为(－2，2)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝4，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2,a2)，由kl＝eq\f(1,2)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，又因为eq\f(1,2)×2a×2b＝2ab＝16eq\r(2)，解得b2＝8，a2＝16，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.故选A.16．(2025·云南师范大学附属中学高三月考)设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，则E的离心率为()A.eq\f(\r(5),9) B.eq\f(\r(5),7)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(5),3)答案：D解析：设A(m，n)，则B(－m，－n)，F(c，0)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(c－m，－n)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(c＋m，n)，因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)（c－m），－\f(5n,2)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m，n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)（c－m），－\f(5n,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5c,2)－\f(3,2)m，－\f(3n,2)))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＝m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5c,2)－\f(3,2)m))－\f(3,2)n2＝0，,\o(AF,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→))＝c2－m2－n2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)c，,n＝\f(4,5)c，))又A(m，n)在椭圆上，所以eq\f(\f(9,25)c2,a2)＋eq\f(\f(16,25)c2,b2)＝1，即eq\f(9,25)c2(a2－c2)＋eq\f(16,25)a2c2＝a2(a2－c2)，整理得25a4－50a2c2＋9c4＝0，即9e4－50e2＋25＝0，解得e2＝eq\f(5,9)或e2＝5(舍去)，所以e＝eq\f(\r(5),3).故选D.17．(多选)(2025·浙江杭州第十四中学高三模拟)已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a，2b和2c的椭圆Ω，点A是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点F1和F2为其焦点，AB⊥BF1.点P在椭圆Ω上，若PF1⊥PF2，则()A．a，b，c成等差数列B．a，b，c成等比数列C．椭圆Ω的离心率e＝eq\f(\r(5)－1,2)D．△ABF1的面积不小于△PF1F2的面积答案：BCD解析：对于A，B，不妨设A(a，0)，B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，eq\o(F1B,\s\up6(→))＝(c，b)，因为AB⊥BF1，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝(－a，b)·(c，b)＝－ac＋b2＝0，故ac＝b2，即a，b，c成等比数列，A错误，B正确；对于C，因为b2＝a2－c2，ac＝b2，所以c2＋ac－a2＝0，方程两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)－1,2)(负值舍去)，C正确；对于D，由于S△ABF1＝eq\f(1,2)|AF1|·|BO|＝eq\f(1,2)(a＋c)b，S△BF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|BO|＝eq\f(1,2)×2c×b＝bc，由于a>c，故eq\f(1,2)(a＋c)b>bc，即S△ABF1>S△BF1F2，而S△BF1F2≥S△PF1F2，故S△ABF1>S△PF1F2，D正确．故选BCD.18．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2eq\r(5)－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是()A．椭圆C的焦距为1B．椭圆C的短轴长为2eq\r(3)C．|PQ|＋|PF|的最小值为2eq\r(3)D．过点F的圆E的切线斜率为eq\f(－4±\r(7),3)答案：BD解析：对于A，因为椭圆C的长轴长与圆E的直径长相等，所以2a＝4，即a＝2，设椭圆C的左焦点F′(－c，0)，由椭圆的定义可知|PF′|＋|PF|＝2a＝4，所以|PQ|－|PF|＝|PQ|－(4－|PF′|)＝|PQ|＋|PF′|－4≥|QF′|－4≥|EF′|－2－4＝2eq\r(5)－6，所以|EF′|＝2eq\r(5)＝eq\r(（c－3）2＋（4－0）2)，解得c＝1或5，因为c<a＝2，所以c＝1，即椭圆C的焦距为2c＝2，故A错误；对于B，由b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，得椭圆C的短轴长为2eq\r(3)，故B正确；对于C，|PQ|＋|PF|≥|QF|≥|EF|－|EQ|＝eq\r(（1＋3）2＋（0－4）2)－2＝4eq\r(2)－2，故C错误；对于D，若过点F的直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，圆心(－3，4)到直线x＝1的距离为4，不符合题意；设过点F的切线方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则eq\f(|－3k－k－4|,\r(k2＋1))＝eq\f(4|k＋1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(－4±\r(7),3)，故D正确．故选BD.19．已知点F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，点M在椭圆C上，且满足|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，则△MF1F2的面积为________．答案：1解析：由题意可得a＝2，b＝1，c＝eq\r(3)，则F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，设M(x0，y0)，则eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)＋(eq\r(3)－x0，－y0)＝(－2x0，－2y0)，因为|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以4xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)＝12，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝3，因为点M(x0，y0)在椭圆上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，解得|y0|＝eq\f(\r(3),3)，所以△MF1F2的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝1.20．(2025·江苏南京高三第一次调研)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A.当cos∠F1AB最小时，椭圆C的离心率为________．答案：eq\f(\r(3),3)解析：设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其焦距为2c，由题意可知|BF1|＝|BF2|＝a.设|AF2|＝m，则|AF1|＝2a－m，|AB|＝a＋m，故cos∠F1AB＝eq\f(|AF1|2＋|AB|2－|BF1|2,2|AF1|·|AB|)＝eq\f(（2a－m）2＋（m＋a）2－a2,2（2a－m）（m＋a）)＝eq\f(m2－am＋2a2,－m2＋am＋2a2)＝－1－eq\f(4a2,m2－am－2a2)＝－1－eq\f(4a2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(a,2)))\s\up12(2)－\f(9,4)a2)，当m＝eq\f(a,2)时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,4)a2取得最小值－eq\f(9,4)a2，此时cos∠F1AB取得最小值eq\f(7,9)，则此时在△AF1F2中，|AF1|＝eq\f(3a,2)，|AF2|＝eq\f(a,2)，则cos∠F1AF2＝cos∠F1AB＝eq\f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2|AF1|·|AF2|)＝eq\f(7,9)，即eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)－4c2,2×\f(3a,2)×\f(a,2))＝eq\f(7,9)，整理得a2＝3c2，故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).21．(2025·北京清华大学附属中学高三调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，且△A1B1B2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P是椭圆C上一点(不与顶点重合)，直线B1P与x轴交于点M，直线A1P，B1P分别与直线A2B2交于点N，D，求证：△A1DN与△B2DM的面积相等．解：(1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(1,2)a·2b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(3)，))故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)证明：由题意，得A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，－1)，因为点P不与椭圆的顶点重合，所以直线B1P的斜率存在且不为0，且不等于±eq\f(1,2)，所以设直线B1P：y＝kx＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠0，k≠±\f(1,2)))，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1))⇒(1＋4k2)x2＋8kx＝0，显然Δ＝64k2>0，由根与系数的关系，得xP＋0＝xP＝eq\f(－8k,1＋4k2)，从而yP＝kxP＋1＝eq\f(－8k2,1＋4k2)＋1＝eq\f(1－4k2,1＋4k2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k,1＋4k2)，\f(1－4k2,1＋4k2)))，在y＝kx＋1中，令y＝0，得x＝－eq\f(1,k)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，0)).易知直线A2B2：y＝eq\f(1,2)x－1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x－1，,y＝kx＋1))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,1－2k)，,y＝\f(1＋2k,1－2k)，))所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－2k)，\f(1＋2k,1－2k)))，注意到直线A1P的斜率为kA1P＝eq\f(\f(1－4k2,1＋4k2),\f(－8k,1＋4k2)＋2)＝eq\f(1－4k2,2（1－4k＋4k2）)＝eq\f(（1－2k）（1＋2k）,2（1－2k）2)＝eq\f(1＋2k,2（1－2k）)，所以直线A1P：y＝eq\f(1＋2k,2（1－2k）)(x＋2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x－1，,y＝\f(1＋2k,2（1－2k）)（x＋2）))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,k)，,y＝－\f(1,2k)－1，))所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，－\f(1,2k)－1)).记点A1到直线DN的距离、点B2到直线DM的距离分别为d1，d2，则S△A1DN＝eq\f(1,2)d1·|DN|＝eq\f(1,2)×eq\f(2,\r(1＋\f(1,4)))×eq\r(1＋\f(1,4))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－2k)＋\f(1,k)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k（1－2k）)))，同理，S△B2DM＝eq\f(1,2)d2·|DM|＝eq\f(1,2)×eq\f(2,\r(1＋k2))×eq\r(1＋k2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－2k)＋\f(1,k)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k（1－2k）))).综上所述，△A1DN与△B2DM的面积相等．22．(2025·江苏苏州高三期初阳光调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，A为椭圆的左顶点，已知点P(1，2)，且直线PA的斜率为eq\f(2,3).过点M(1，0)作直线l交椭圆于B，C两点(B在x轴上方，C在x轴下方)，设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E(B，E分别在线段PD，PC上)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l的斜率小于零，且△PBC的面积为eq\f(8,5)，求证：∠BMD＝∠BPC；(3)若存在实数λ，使得eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，求此时直线DC的斜率．解：(1)由题意A(－a，0)，kPA＝eq\f(2,1＋a)＝eq\f(2,3)，故a＝2，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－b2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以b＝1，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)证明：由题意可设直线l的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝16m2＋48>0，y1＋y2＝eq\f(－2m,m2＋4)，y1y2＝eq\f(－3,m2＋4)，因为M(1，0)，P(1，2)，所以PM⊥x轴，所以S△PBC＝eq\f(1,2)|PM||x1－x2|＝|m(y1－y2)|＝|m|eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝|m|·eq\f(4\r(m2＋3),m2＋4)＝eq\f(8,5)，解得m＝±1，又直线l的斜率小于零，所以m＝－1，即直线l：y＝－x＋1，则有5y2－2y－3＝0，解得y＝1或y＝－eq\f(3,5)，从而有B(0，1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3,5)))，又kPB＝1，kBC＝－1，所以PB⊥BC，由对称性知|BD|＝|BC|，|PB|＝|MB|＝eq\r(2)，所以Rt△BPC≌Rt△BMD，所以∠BMD＝∠BPC.(3)若存在实数λ，使得eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，则BE∥DC，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(PE,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))，由题意可知λ∈(0，1)，设C(x2，y2)，D(x3，y3)，由eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，得B(λx3＋1－λ，λy3＋2－2λ)，又B，D均在椭圆上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,3),4)＋yeq\o\al(2,3)＝1，,\f(（λx3＋1－λ）2,4)＋（λy3＋2－2λ）2＝1，))上式变形为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,3),4)＋yeq\o\al(2,3)＝1，,λ2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,3),4)＋yeq\o\al(2,3)))＋\f(λ（1－λ）x3,2)＋\f(（1－λ）2,4)＋4λ（1－λ）y3＋4（1－λ）2＝1，))所以eq\f(λ（1－λ）x3,2)＋eq\f(（1－λ）2,4)＋4λ(1－λ)y3＋4(1－λ)2＝1－λ2，整理得2λx3＋16λy3＋13－21λ＝0，同理可得，2λx2＋16λy2＋13－21λ＝0，所以直线DC的方程为2λx＋16λy＋13－21λ＝0，所以直线DC的斜率为－eq\f(1,8).23.(2024·江苏南通二模)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯的母线长为10cm，开口直径为6cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线的中点D时，椭圆的离心率等于________．答案：eq\f(5\r(43),43)解析：设∠BCD＝α，因为|AB|＝|AC|＝10，|BC|＝6，所以cosα＝eq\f(3,10)，又|CD|＝5，由余弦定理，得|BD|2＝|CD|2＋|BC|2－2|CD|·|BC|cosα＝25＋36－2×5×6×eq\f(3,10)＝43，即|BD|＝eq\r(43).设椭圆的中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于点E，与椭圆交于点P，Q，连接AE，交BD于点G.如图1，以O为原点，DB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．如图2，过点E作EH∥BD，则|EH|＝eq\f(1,2)|BD|＝eq\f(\r(43),2)，|CH|＝|DH|＝eq\f(1,2)|CD|＝eq\f(5,2)，则|AH|＝10－eq\f(5,2)＝eq\f(15,2)，△ADG∽△AHE，则eq\f(|AG|,|AE|)＝eq\f(|AD|,|AH|)＝eq\f(2,3)，又由△APQ∽△AMN，得|PQ|＝eq\f(2,3)|MN|＝4，|DG|＝eq\f(1,3)|DB|＝eq\f(\r(43),3)，从而|OG|＝eq\f(\r(43),2)－eq\f(\r(43),3)＝eq\f(\r(43),6)，则得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(43),6)，2))，不妨设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，把a＝eq\f(\r(43),2)和点P的坐标代入方程，得b2＝eq\f(9,2)，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(43,4)－\f(9,2))＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(5,2),\f(\r(43),2))＝eq\f(5\r(43),43).24．(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)．(1)求C的方程；(2)已知点M0(1，4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；(3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．解：(1)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以c＝1，又椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，所以a＝2，所以b2＝3，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明：由M0(1，4)，F1(－1，0)，得直线F1M0的斜率为k＝2，F1M0的中点坐标为(0，2)，所以线段F1M0的垂直平分线方程为y＝－eq\f(1,2)x＋2，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))得x2－2x＋1＝0，Δ＝4－4＝0，所以直线与椭圆C相切，即线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(3)解法一：设M(x0，y0)，当y0＝0时，F1M的垂直平分线方程为x＝eq\f(x0－1,2)，此时eq\f(x0－1,2)＝±2，x0＝5或－3；当y0≠0时，F1M的垂直平分线方程为y＝－eq\f(x0＋1,y0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0－1,2)))＋eq\f(y0,2)＝－eq\f(x0＋1,y0)x＋eq\f(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1,2y0)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(x0＋1,y0)x＋\f(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1,2y0)，,3x2＋4y2＝12，))得3x2＋4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（x0＋1）2,yeq\o\al(2,0))x2－\f(（x0＋1）（xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1）,yeq\o\al(2,0))x＋\f(（xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1）2,4yeq\o\al(2,0))))＝12，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋\f(4（x0＋1）2,yeq\o\al(2,0))))x2－eq\f(4（x0＋1）（xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1）,yeq\o\al(2,0))x＋eq\f(（xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1）2,yeq\o\al(2,0))－12＝0，因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，所以Δ＝eq\f(16（x0＋1）2（xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1）2,yeq\o\al(4,0))－4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋\f(4（x0＋1）2,yeq\o\al(2,0))))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1）2,yeq\o\al(2,0))－12))＝0，即eq\f(（xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1）2,yeq\o\al(2,0))－12－eq\f(16（x0＋1）2,yeq\o\al(2,0))＝0，则yeq\o\al(4,0)＋(2xeq\o\al(2,0)－14)yeq\