2026版《金版教程》高考一轮复习数学第八章 考点测试44 两个计数原理与排列组合

高考总复习首选用卷数学第八章概率与统计考点测试44两个计数原理与排列组合基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567891011难度★★★★★★★★★★★对点排列数公式分步乘法计数原理分步乘法计数原理组合与组合数问题特殊元素问题相邻、特殊元素问题特殊元素问题不相邻问题定序问题两个计数原理的综合应用相邻、不相邻及特殊元素问题题号12131415161718192021难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点组合与组合数问题排列组合的综合应用不相邻问题分组、分配问题组合与组合数问题相邻、不相邻、定序及特殊元素问题涂色问题部分均分问题排列组合的综合应用组合与组合数问题高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，中等难度考点研读1.理解排列、组合的概念2.理解排列数公式、组合数公式3.能利用排列数、组合数公式及分类、分步计数原理解决一些简单的实际问题1．4×5×6×…×(n－1)×n＝()A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－1,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n－3,n)答案：D解析：原式可写成n×(n－1)×…×6×5×4，故选D.2．某校科技大楼电子阅览室在第8层，每层均有2个楼梯，则由一楼上到电子阅览室的不同走法共有()A．512种 B．256种C．128种 D．64种答案：C解析：因为从一楼到二楼有2种走法，从二楼到三楼有2种走法，…，从一楼到八楼分7步进行，每步都有2种不同的走法，所以根据分步乘法计数原理可得，由一楼上到电子阅览室的不同走法共有27＝128种．故选C.3．(2025·广东深圳高三模拟)某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语、韩语、越南语、柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语、德语、俄语、西班牙语、意大利语中任选一个，则学生可选取的语言组合数为()A．20 B．25C．30 D．35答案：A解析：第三语言可从4个A类语言中任选一个，有4种方法，第四语言可从5个E类语言中任选一个，有5种方法，所以可选取的语言组合共有4×5＝20种．故选A.4．(2025·重庆南开中学高三上期末)已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有()A．(Ceq\o\al(1,14))4·Ceq\o\al(1,52)种 B．(Ceq\o\al(1,14))3·Ceq\o\al(2,14)种C．4(Ceq\o\al(1,14))3·Ceq\o\al(2,14)种 D．2(Ceq\o\al(1,14))4·Ceq\o\al(1,52)种答案：C解析：先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有Ceq\o\al(1,4)种，然后从该组中抽取2名同学，有Ceq\o\al(2,14)种，最后从另外三个大组中分别各抽取1名同学，有(Ceq\o\al(1,14))3种．由分步乘法计数原理，可知不同的抽取结果共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,14)·(Ceq\o\al(1,14))3＝4(Ceq\o\al(1,14))3·Ceq\o\al(2,14)种．故选C.5．(2025·四川内江高三模拟)有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同的排列方式共有()A．72种 B．144种C．288种 D．576种答案：C解析：首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，故不同的排列方式共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(4,4)＝288种．故选C.6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A．34种 B．48种C．96种 D．144种答案：C解析：程序A有Ceq\o\al(1,2)＝2种排法，将程序B和C看作一个整体与除A外的元素排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48种排法，所以由分步乘法计数原理知，实验顺序的编排方法共有2×48＝96种．7．(2025·湖北武汉高三期末)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列有________种不同的情况．()A．24 B．36C．54 D．60答案：C解析：由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他3人全排列有Aeq\o\al(3,3)种方法，所以5人的名次排列有3×3×Aeq\o\al(3,3)＝54种不同的情况．故选C.8．(2025·湖南邵阳高三模拟)“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为()A．Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,5) B．Aeq\o\al(6,9)Aeq\o\al(3,7)C．Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(2,7)Aeq\o\al(2,2) D．Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,7)答案：D解析：先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，共有Aeq\o\al(6,6)种排法；再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有Aeq\o\al(3,7)种排法，故共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,7)种排法．故选D.9．(2024·新疆乌鲁木齐高三一模)在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有()A．72种 B．36种C．12种 D．6种答案：C解析：将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡脯肉顺序一定，所以不同的排序方法有eq\f(Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(2,2))＝12种．故选C.10．(2025·广东中山高三期末)用数字0，1，2，3，4，5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为()A．76 B．38C．36 D．30答案：B解析：分类讨论：①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，与百位数一样，只有一种选择，与个位数一样，也只有一种选择；②当个位数为2时，如果百位数为2，则十位数有6种选择，如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择；③当个位数为4时，如果百位数为4，则十位数有6种选择，如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择．综上所述，符合条件的三位数有5×1＋5×1＋1×6＋4×2＋1×6＋4×2＝38个．故选B.11．(多选)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则()A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法答案：CD解析：6门中选3门共有Ceq\o\al(3,6)＝20种选法，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504种排法，故D正确．故选CD.12．(2024·福建泉州高三模拟)围棋在中国古时称“弈”，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成，则围棋棋盘上的矩形个数为________．答案：29241解析：矩形是在同一平面内，由两组平行线段组成，且每两相交线段均垂直的闭合图形，则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可，即矩形有Ceq\o\al(2,19)Ceq\o\al(2,19)＝29241个．13．(2025·陕西西安高三模拟)F公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将A，B，C，D四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案的种数为________．答案：1104解析：因为从甲、乙两部门各任选2名职工，且所选的4名职工是2男2女，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,2)＝46种选法，又将A，B，C，D四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，有Aeq\o\al(4,4)＝24种分法，所以不同的分配方案的种数为(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,2))Aeq\o\al(4,4)＝46×24＝1104.14．(2024·新疆喀什高三三模)小明设置六位数字的手机密码时，计划将π＝3.14159…的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码的个数为________．答案：96解析：从3，4，5，9中选择一个数字放入两个1之间，将其与两个1看作一个整体，与剩下的元素全排列，故不同密码的个数为Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝96.15．现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩．在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案的种数为()A．52 B．72C．76 D．100答案：D解析：若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，则不同的选择方案有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4))＝28种；若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数分别为1，2，则不同的选择方案有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝48种；若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数均为1，则不同的选择方案有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝24种．所以共有28＋48＋24＝100种不同的选择方案．故选D.16．随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高．目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类．某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至多选2张，则不同的选择方案的种数为()A．252 B．162C．357 D．324答案：C解析：从7类场景中选8张照片，且每类场景至多选2张，也可以不选，分4种情况：①选4类场景，每类场景选2张照片，有Ceq\o\al(4,7)＝35种方案；②选5类场景，其中3类场景选2张照片，2类场景选1张照片，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,4)＝210种方案；③选6类场景，其中2类场景选2张照片，4类场景选1张照片，有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(4,5)＝105种方案；④选7类场景，其中1类场景选2张照片，6类场景选1张照片，有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(6,6)＝7种方案．所以不同的选择方案的种数为35＋210＋105＋7＝357.故选C.17．(多选)(2024·山东聊城高三模拟)现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是()A．两份汤相邻的摆法共有Aeq\o\al(10,10)Ceq\o\al(1,2)种B．每道素菜不相邻的摆法共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,9)种C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有Aeq\o\al(4,16)种不同摆法D．两份汤不摆在首尾的摆法共有Aeq\o\al(2,10)Aeq\o\al(10,10)种答案：BCD解析：对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有Aeq\o\al(2,2)种摆法，再与其余十道菜品排列在一起，有Aeq\o\al(11,11)种摆法，所以两份汤相邻的摆法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(11,11)种，故A错误；对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，有Aeq\o\al(8,8)种摆法，再利用插空法将4道素菜插到上述八道菜品共9个空中，有Aeq\o\al(4,9)种摆法，所以每道素菜不相邻的摆法共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,9)种，故B正确；对于C，先将十六道菜品进行排列，有Aeq\o\al(16,16)种摆法，其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有eq\f(Aeq\o\al(16,16),Aeq\o\al(12,12))＝Aeq\o\al(4,16)种不同摆法，故C正确；对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选2个空将两份汤放进去，共有Aeq\o\al(2,10)种方法，再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有Aeq\o\al(10,10)种方法，所以两份汤不摆在首尾的摆法共有Aeq\o\al(2,10)Aeq\o\al(10,10)种，故D正确．故选BCD.18.给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案的种数为________．答案：96解析：要完成给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有Ceq\o\al(3,4)＝4种取法，三种颜色染三个区域有Aeq\o\al(3,3)＝6种染法，共有4×6＝24种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案(AF不同色或BD不同色或CE不同色)，先从四种颜色中取两种染同色区域有Aeq\o\al(2,4)＝12种染法，剩余两种染不同色区域有2种染法，共有3×12×2＝72种染法．所以由分类加法计数原理，得不同的染色方案的种数为24＋72＝96.19．(2024·河南周口高三模拟)十四届全国人大二次会议于2024年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有________种．答案：114解析：将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1，1，3和1，2，2，当人数组合是1，1，3时，共有eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝60种情况，其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况有eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝18种，从而甲、乙两人不分配到同一个会议厅的安排方法有60－18＝42种；当人数组合是1，2，2时，共有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝90种情况，其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(3,3)＝18种，从而甲、乙两人不分配到同一个会议厅的安排方法有90－18＝72种，所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42＋72＝114种．20．(多选)将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i＝1，2，…，7)，则下列说法正确的是()A．若a4＝7，a1＋a2＋a3<a5＋a6＋a7，则这样的数列共有360个B．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有64个C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个D．若a1>a2>a3，a3<a4<a5，a5>a6>a7，则这样的数列共有71个答案：ACD解析：对于A，由于1＋2＋3＋4＋5＋6＝21为奇数，所以a1＋a2＋a3≠a5＋a6＋a7，根据对称性可知，这样的数列共有eq\f(Ceq\o\al(3,6),2)×Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360个，A正确；对于B，从2，3，4，5，6，7中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有Ceq\o\al(1,6)个；从2，3，4，5，6，7中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有Ceq\o\al(2,6)个；从2，3，4，5，6，7中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有Ceq\o\al(3,6)个；从2，3，4，5，6，7中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有Ceq\o\al(4,6)个；从2，3，4，5，6，7中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有Ceq\o\al(5,6)个．故满足条件的数列共有Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)＝62个，B错误；对于C，若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇偶奇偶奇偶奇”，共