小学五年级数学上册《用“四舍五入”法求商的近似数》精讲知识清单

小学五年级数学上册《用“四舍五入”法求商的近似数》精讲知识清单一、核心概念与数学思想——为什么要学“商的近似数”？【基础】在小学数学的学习旅程中，我们已经掌握了整数除法和小数除法的基本运算。然而，在现实生活和生产实践中，我们经常会遇到这样的情况：两个数相除，要么永远除不尽（如10÷3），要么商的小数位数太多，超出了实际需要的精确度。这时，我们就不需要、也不应该一味地除下去，而是要根据实际需要，取一个合理的“近似数”作为答案。（一）近似数的现实意义【非常重要】【热点】在生活中，并不是所有量都需要绝对精确。例如：购买商品：买一个羽毛球，总价19.4元，买了12个，每个的价钱是19.4÷12。人民币的最小单位是“分”（百分位），如果计算出千分位的数字，我们无法支付，因此必须保留两位小数，求出商的近似数。测量物体：用尺子测量一段绳子的长度，可能得到1.735米，但根据尺子的最小刻度，我们可能只需要精确到厘米（百分位）即可。比较速度：比较高铁和普通轿车的速度倍数，结果可能是一个无限小数，我们通常只需要保留一两位小数就能清晰地看出倍数关系。（二）精确度与近似数【重要】精确度：指近似数接近准确数的程度。保留的小数位数越多，近似数就越接近准确数，精确度就越高。例如，保留两位小数（精确到百分位）比保留一位小数（精确到十分位）更精确。近似数：一个数与准确数相接近（比准确数略大或略小），这个数就是准确数的近似数，用符号“≈”连接。（三）核心数学思想——逼近思想与优化思想求商的近似数，本质上是“逼近思想”的体现。当我们无法用有限小数精确表示结果时，我们用一个“无限接近”它的有限小数来替代。同时，这也是“优化思想”的体现，即在满足精度要求的前提下，通过简化计算过程，提高解决问题的效率。本节课正是基于“四舍五入”法这一数学规则，对除法运算的结果进行优化处理。二、“四舍五入”法求商的近似数——方法与步骤全解析【核心内容】（一）基本方法：一看、二除、三取【非常重要】【高频考点】这是求商的近似数必须严格遵守的三步法则，也是考试中最基本的考查点。第一步：看（明确目标）审清题目要求，明确需要保留几位小数。题目通常会表述为：“得数保留一位小数”、“精确到百分位”、“商保留两位小数”等。保留几位小数精确到哪一位含义保留一位小数十分位要看小数点后第二位（百分位）保留两位小数百分位要看小数点后第三位（千分位）保留三位小数千分位要看小数点后第四位（万分位）第二步：除（列竖式计算）在竖式计算除法时，必须除到比需要保留的小数位数多一位。例如：要求保留两位小数，我们就要除到小数点后第三位（千分位）。例如：要求保留一位小数，我们就要除到小数点后第二位（百分位）。绝不能在算出要求的位数后就停止，那样我们就没有依据来判断下一位是“舍”还是“入”。第三步：取（四舍五入）用“四舍五入”法取近似值。观察多除出来的那一位数字（即保留位数的下一位）。如果该数字小于5（即0、1、2、3、4），则直接舍去它及其后面的所有尾数。如果该数字大于或等于5（即5、6、7、8、9），则在需要保留的末位数字上加“1”（即“五入”）。最后，必须用“≈”（约等号）连接算式和结果。（二）经典案例剖析案例1：计算19.4÷12（得数保留两位小数）【难点解析】列式计算：1.看：要求保留两位小数。2.除：我们除到小数点后第三位（千分位）。计算过程为：12)19.4127472201280728此时，商为1.616……，我们除到了千分位，得到了数字“6”。3.取：观察千分位上的数字是“6”。6≥5，需要向它的前一位（百分位）进“1”。百分位原来是“1”，加上进的“1”变成“2”。所以，1.616……保留两位小数约等于1.62。最终结果：19.4÷12≈1.62特别注意：这里的商是1.62，虽然它比准确值（1.61666……）略大，但它是在指定精度下最合理的近似数。案例2：计算32÷42（得数保留一位小数）列式计算：1.看：要求保留一位小数。2.除：我们除到小数点后第二位（百分位）。42)32.02942602528我们不必继续除了。商为0.76……，我们除到了百分位，得到了数字“6”。3.取：观察百分位上的数字是“6”。6≥5，需要向它的前一位（十分位）进“1”。十分位原来是“7”，加上进的“1”变成“8”。所以，0.76……保留一位小数约等于0.8。最终结果：32÷42≈0.8（三）余数比较法——简便算法【拓展】在熟练掌握基本方法后，可以采用一种更简便的“余数比较法”来快速判断，减少计算量。当我们除到需要保留的位数时，可以不必继续除下去，而是观察余数。判断规则：求下一位商时，是用余数添0后除以除数。我们只需要比较“余数”与“除数的一半”的大小。如果余数×10小于除数的一半？或者更直接地：将余数与除数的一半（0.5×除数）进行比较。原理：下一位是否满5，取决于余数除以除数是否大于等于0.5，即余数是否大于等于除数的一半。具体操作：若余数×2<除数，则说明下一位商小于5，直接舍去。若余数×2≥除数，则说明下一位商大于等于5，在已除得的商的末一位上加1。案例：计算19.4÷12，保留两位小数。除到百分位：19.4÷12，商1.61，此时余数为0.08。计算：余数0.08×2=0.16，除数12的一半是6。显然0.16<6？这个比较不直观，因为量级不同。我们应理解为：要判断下一位（千分位）是否满5，要看余数80（因为添0后变成80个千分之一）除以12。比较80与12的一半（6）？不，应该是比较余数0.08与0.06？我们回到规则的精髓：判断是否需要进位，就是看“余数是否大于或等于除数的一半”。在这里，除数的一半是12÷2=6。但余数0.08是基于“分”的概念。我们需要将余数与除数放在同一个数位级别上考量。严谨的做法是：我们除到了百分位，余数0.08表示8个百分之一。要判断下一位（千分位），我们将余数0.08看作0.080，现在问：0.080里面有多少个0.012？看0.080是否大于或等于0.012的一半（0.006）？0.080远大于0.006，所以肯定进一。但初学者用基本方法最稳妥。三、求积的近似数与求商的近似数的区别与联系【难点】【辨析】这是考试中常见的对比类问题，理解其异同有助于构建完整的知识体系。（一）相同点终极目标一致：都是为了得到符合实际需要的近似数。使用法则一致：都是依据“四舍五入”法进行取舍。（二）不同点【高频考点】计算过程不同：积的近似数：必须先计算出准确的积，然后再根据要求对积的末位进行“四舍五入”。也就是说，我们要先得到一个精确的结果，再把它变成近似数。商的近似数：不需要（也无法）求出商的准确值。只要除到比要求保留的小数位数多一位，就可以停止计算，并据此取近似数。这是一种“边计算边取近似”的过程，更加高效。精确度来源不同：积的近似数：精确度完全取决于最终乘积的数值。商的近似数：精确度取决于计算过程中止的位置。易错点提醒：学生最容易犯的错误就是，在求商的近似数时，只除到要求保留的位数就停止，然后“四舍五入”，导致没有下一位作为依据，或者误以为除尽了。四、实际应用中的“三法”辨析——四舍五入法、进一法、去尾法【非常重要】【热点】这是本知识点最难、也是最贴近生活的一部分。题目往往不会直接告诉你用“四舍五入”，而是需要你根据生活情境，自己判断如何取近似值。许多考试的应用题失分点就在这里。（一）四舍五入法（标准方法）适用范围：一般的计算题，没有特殊要求的题目，或者像求速度、倍数、平均值等问题。核心是让近似数尽可能接近准确值。案例：一台拖拉机3小时耕地2.4公顷，平均每小时耕地多少公顷？（得数保留两位小数）2.4÷3=0.8，本身就是一位小数，但题目要求保留两位，直接写成0.80吗？不，0.8就是0.80。但如果遇到除不尽，如2.5÷3≈0.8333……，保留两位就是0.83（因为千分位是3，小于5）。这里就是用四舍五入。（二）进一法（结合实际）【非常重要】【易错点】特点：无论小数部分是多少，都要向前一位进一。取整后，近似数比准确值大。核心标志：问题中通常出现“至少需要多少个瓶子/箱子/车辆？”、“需要准备多少材料？”等，强调要“装完”、“运完”、“做完”。案例1：装油问题李阿姨把2.5kg香油分装到玻璃瓶里，每个玻璃瓶最多能装0.4kg。李阿姨至少要准备多少个这样的玻璃瓶？列式：2.5÷0.4=6.25（个）思考：6个瓶子只能装6×0.4=2.4kg，剩下的0.1kg还需要一个瓶子。所以，即使0.25不满一个，也必须再拿一个瓶子来装。结论：需要准备6+1=7个瓶子。这就是“进一法”。案例2：乘车问题某小学有378人去秋游，每辆客车限乘40人，需要几辆客车？列式：378÷40=9.45（辆）思考：9辆车只能坐9×40=360人，剩下18人必须再坐一辆车。所以需要9+1=10辆车。（三）去尾法（结合实际）【非常重要】【易错点】特点：无论小数部分是多少，都要直接舍去。取整后，近似数比准确值小。核心标志：问题中通常出现“最多可以做几个？”、“可以买几瓶？”、“能买几个？”等，强调材料的有限性，不足一份的部分只能舍去。案例1：做蛋糕问题美心蛋糕房特制一种生日蛋糕，每个需要0.64千克面粉。李师傅领了12千克面粉做蛋糕，他最多可以做几个这样的生日蛋糕？列式：12÷0.64=18.75（个）思考：18个蛋糕用面粉18×0.64=11.52千克，剩下0.48千克。剩下的面粉不够再做1个完整的蛋糕（0.64千克）。所以，无论剩下多少，都不能再做一个。结论：最多可以做18个蛋糕。这就是“去尾法”。案例2：购物问题妈妈带了100元去超市，买了一箱牛奶用去65元，剩下的钱买5.5元一瓶的乳酸菌饮料，可以买几瓶？列式：(10065)÷5.5=35÷5.5≈6.3636……思考：6瓶需要6×5.5=33元，剩下2元，不够再买一瓶。所以只能买6瓶。（四）方法辨析核心口诀记忆：四舍五入一般用，保留位数看下位。材料充足求近似，四舍五入最标准。装箱运货要用进，再多一个才能行。裁布做衣要用去，不够一个要舍弃。五、考点、考向与解题步骤全归纳【备考指南】（一）常见题型与考查方式基础计算题：直接给出除法算式，要求保留指定小数位数。这是对“一看、二除、三取”基本步骤的直接考查。通常以填空题或竖式计算题的形式出现。【基础】【高频考点】应用题（无情境限制）：题目中只有数字和“得数保留几位小数”的要求，没有生活情境。例如：“一台机器每小时加工零件2.5个，加工10.3个零件需要几小时？（得数保留一位小数）”。这里仍然用“四舍五入”法。【基础】应用题（生活情境题）：【非常重要】【热点】需要学生先理解题意，列出正确算式。计算后，根据问题中的关键词（如“至少”、“最多”、“可以”等）和实际生活逻辑，自主选择是“四舍五入”、“进一法”还是“去尾法”来取近似值。对比判断题：给出几个关于求近似数方法的说法，让学生判断对错，或者辨析“进一法”和“去尾法”的适用情况。【重要】填空题：考查基本概念，如“求商的近似数，要除到比需要保留的小数位数（）”。或者给出一个近似数，反推原数可能的取值范围。【难点】（二）标准解题步骤（针对应用题）审题（找情境）：仔细阅读题目，找出题目中的生活情境是什么（装油？做衣服？分东西？）。列式（定关系）：根据数量关系正确列出算式。计算（求商）：用竖式计算除法。根据你对实际情境的初步判断，或者根据题目要求，决定暂时除到哪一位。判断（定方法）：【核心步骤】是否有“≈”要求？如果题目明确说“得数保留整数/一位小数”，通常用“四舍五入”，但必须结合生活情境再确认。看问题关键词：如果出现“至少需要……”，首先想到“进一法”。如果出现“最多能做……”、“可以买……”、“能装满……”，首先想到“去尾法”。如果没有特殊词汇，就是一般的近似计算，用“四舍五入”法。取近似（得答案）：根据判断出的方法，对计算出的商进行取舍，得到最终答案。写答（验实际）：把答案放回生活情境中检验，看是否符合常理。例如，人不能是0.5个，瓶子不能是0.2个，答案必须是一个整数。（三）具体易错点与解答要点【易错点警示】易错点1：除的位数不够。错误做法：要求保留两位小数，只除到两位小数就停止，然后根据这两位小数就写了答案。正确做法：一定要除到小数点后第三位（千分位），才能判断第二位是保持不变还是进一。易错点2：近似数末尾的0处理不当。【特别提醒】案例：计算1.55÷3.9，得数保留两位小数。竖式计算：1.55÷3.9=0.3974……取近似：保留两位小数，要看第三位（千分位）是“7”，7≥5，所以向百分位进一。百分位原来是“9”，进一后变成10，向十分位进一，最终结果为0.40。易错点：很多学生根据“小数的性质”，认为0.40末尾的0可以去掉，写成0.4。纠正：在取近似数的题目中，如果题目要求保留几位小数，那么末尾的“0”必须保留，不能去掉。因为0.40表示精确到了百分位，而0.4只表示精确到了十分位，精确度不同。所以，1.55÷3.9≈0.40，这个0绝对不能省略。易错点3：混淆三种方法。【高频失分点】错误：只要看到有除不尽的，就用四舍五入。正确：必须审题，看题目是要求精确计算一个量（如平均速度），还是解决一个包含“够不够”的实际问题。易错点4：对“精确到哪一位”理解不清。错误：“精确到十分位”看成保留整数。正确：熟记数位顺序表，十分位是小数点后第一位，百分位是第二位。易错点5：约等号的使用。错误：在列式后直接写等号，如19.4÷12=1.62。正确：因为1.62不是准确值，必须用约等号：19.4÷12≈1.62。六、典型例题精讲与变式训练（一）【基础类】直接求近似题目：列竖式计算5.885÷2.4（得数保留一位小数）解题步骤：看：保留一位小数。除：除到小数点后第二位（百分位）。5.885÷2.4，先将除数转化为整数，即58.85÷24。24)58.8548108961251205我们算到了百分位，商为2.45。取：观察百分位上的数字是“5”，5≥5，需要向十分位进一。十分位原来是“4”，加上进的“1”变成“5”。所以2.45保留一位小数约等于2.5。答案：5.885÷2.4≈2.5（二）【情境辨析类】进一法与去尾法题目1（进一法）：果农们要将680千克香柚装袋运走，每个袋子最多可装15千克，需要多少个袋子？解析：审题：这是“装袋运走”问题，关键词“需要多少个袋子”，隐含了“必须全部运走”的意思。列式：680÷15=45.333……（个）判断：45个袋子只能装45×15=675千克，还剩下5千克。剩下的5千克无论多少，都必须再装一个袋子。所以要用“进一法”。取近似：45.333……≈46（个）答案：需要46个袋子。题目2（去尾法）：做一种奶油蛋糕，每个要用4.5克奶油，60克奶油最多可以做多少个这样的蛋糕？解析：审题：关键词“最多可以做多少个”，意思是材料是有限的，能做几个是几个。列式：60÷4.5=13.333……（个）判断：13个蛋糕用奶油13×4.5=58.5克，剩下1.5克。剩下的奶油不够再做1个蛋糕。所以要用“去尾法”，将小数部分直接舍去。取近似：13.333……≈13（个）答案：最多可以做13个蛋糕。（三）【综合应用类】题目：王老师买来一根22米长的绳子，准备为同学们做跳绳。一根跳绳长1.4米，如果不能有接头，最多能做几根跳绳？解析：审题：这是“裁布/做绳”问题，关键词“最多能做几根”，属于典型的“去尾法”情境。列式：22÷1.4≈15.714……（根）判断：15根跳绳用15×1.4=21米，剩下1米。1米不够再做一根1.4米的跳绳，所以不能做16根。取近似：用去尾法，15.714……≈15（根）答案：最多能做15根跳绳。七、思维拓展与跨学科视野（一）与估算思想的联系求商的近似数是一种精确的计算后处理，而“估算”是在计算前或计算中进行的大致判断。二者都是解决实际问题的有效策略。例如，在购物前，我们可以用估