2025-2026学年广东惠州市博罗县高二下册阶段性教学质量检测数学试题 含解析

/数学本试卷共19小题，满分150分．考试时间120分钟．第一部分（选择题，共58分）一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分）1.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.32.在的展开式中，含的项的系数是（）A.6 B. C. D.163.函数的图像如图所示，则（）A. B.C. D.的正负不确定4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯、花灯等种类．现有3名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯、花灯中选购1种，则不同的选购方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种5.若，则（）A. B. C. D.6.已知函数在处取得极小值，则（）A. B. C.1 D.37.现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（）A.32 B.48 C.54 D.728.已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分．在每题四个选项中，有多项符合题目要求．部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（）A.该车速度在前分钟内的平均变化率为B.该车速度的瞬时变化率逐渐减小C.该车速度在第分钟的瞬时变化率为D.可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度10.已知，下列结论正确的是（）A.B.C.D.除以2的余数为111.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（）A. B.C. D.第二部分（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应横线上）12.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种．13.的展开式中的系数是____________．14.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于512．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项．16.已知函数在处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）当时，求函数的极值．17.有4名男生，5名女生．（1）从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？（2）从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？（3）分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？18.若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．（1）分别求和在交点处的切线方程；（2）若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．19.设函数.（1）当时，讨论的单调区间；（2）已知.（i）求的取值范围；（ii）证明.

数学本试卷共19小题，满分150分．考试时间120分钟．第一部分（选择题，共58分）一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分）1.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：求出导数，再求出导数值.解答过程：函数，求导得，所以.故选：B2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.6 B. C. D.16答案：A解析：解答过程：展开式的通项为Tr+1=令可得T3=所以含的项的系数为6.3.函数的图像如图所示，则（）A. B.C. D.的正负不确定答案：B解析：思路：由导数的几何意义求解即可.解答过程：由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故．故选：B4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯、花灯等种类．现有3名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯、花灯中选购1种，则不同的选购方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：每人均有4种不同的选法，由分步计数原理可求不同的选购方法数.解答过程：由题意可知每人从宫灯、纱灯、吊灯、花灯中选购1种均有4种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选选购方式有种.故选：B.5.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小．解答过程：因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故．故选：A.6.已知函数在处取得极小值，则（）A. B. C.1 D.3答案：B解析：思路：先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求出．解答过程：函数求导得，由题意知，则，解得或，当时，，由或；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值.当时，，由或；由.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值.满足条件的是．7.现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（）A.32 B.48 C.54 D.72答案：C解析：解答过程：最大数与最小数的组合有，以最大数为4，最小数为1为例，抽出的3个数字的组合可能为，对应的排列数分别为种，种，种，种，故此种情况共有种，总方法数为种.8.已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：画出函数图象，数形结合得到答案.解答过程：时，，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，又，时，，故，当时，单调递增，且，画出的图象如下：方程恰有2个实根，即与有2个交点，则，则实数的取值范围是.二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分．在每题四个选项中，有多项符合题目要求．部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（）A.该车速度在前分钟内的平均变化率为B.该车速度的瞬时变化率逐渐减小C.该车速度在第分钟的瞬时变化率为D.可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度答案：AD解析：思路：利用平均变化率的定义可判断A选项；求出瞬时变化率的表达式，结合一次函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断C选项；利用瞬时速度的概念可判断D选项.解答过程：函数在上的平均变化率为，故A正确；该车速度的瞬时变化率即，所以该车速度的瞬时变化率逐渐增大，故B错误；由，故当时，，故C错误；函数在时的瞬时速度为，在现实生活中，可以用很小的近似替代，而D中，符合条件，可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度，故D正确．故选：AD．10.已知，下列结论正确的是（）A.B.C.D.除以2的余数为1答案：ABD解析：思路：根据二项式定理直接计算判断A；令直接求解判断B；令，结合时的情况，求得，再根据求解判断C；直接计算判断D.解答过程：对于A选项，根据二项式定理可知，，故正确；对于B选项，令得，故正确；对于C选项，令得；令得，两式相加得：，即，令得，所以，故错误；对于D选项，，除以2的余数为1，故正确.故选：ABD11.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：由，再利用二项式展开式可得答案.解答过程：因为，所以被2024除所得的余数为，所以.故选：AC.第二部分（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应横线上）12.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种．答案：解析：解答过程：若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种，若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种，故不同的安排方法有种.13.的展开式中的系数是____________．答案：解析：解答过程：表示5个因式的乘积，的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1，此时的系数为，的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1，此时的系数为，所以展开式中的系数为.14.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是____________．答案：解析：思路：根据给定的函数，求出、，再利用“凸函数”的定义求解即得.解答过程：函数，求导得，，依题意，，恒成立，而函数在上单调递增，，则，所以实数m的取值范围是.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于512．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据二项式系数和求出，然后结合二项式系数的性质可得；（2）写出二项式的通项公式，由的次数为0求出的值，代入通项即得常数项.（1）因为所有项的二项式系数和等于512，所以，解得．所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，分别为：T5（2）展开式通项为Tr令，展开式中的常数项为第7项，故常数项为．16.已知函数在处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）当时，求函数的极值．答案：（1）（2）在处取得极小值，无极大值解析：思路：（1）根据条件得，列出等式求解即可；（2）通过研究，求得在的单调性，进而求出的极值．（1），因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得，所以的解析式为．（2）由（1）知，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点，因此函数在处取得极小值，无极大值，，所以函数在内的极小值为，无极大值．17.有4名男生，5名女生．（1）从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？（2）从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？（3）分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？答案：（1）36（2）105（3）1680解析：思路：（1）从4名男生中选两名，再从余下的4名女生中选两名即可；（2）考虑恰有2名男生和恰有3名男生和恰有4名男生三种情况，根据分类加法计数原理可得答案.（3）先安排甲组，再安排乙组，余下的学生为丙组即可.（1）选2名男生，有种选法；选3名女生，且某女生必须在内，有种选法．所以符合条件的不同选法有（种）．（2）方法一（直接法）：符合条件的选法有三类：第1类，2名男生，3名女生的选法有种；第2类，3名男生，2名女生的选法有种；第3类，4名男生，1名女生的选法有种；所以男生不少于2名的不同选法有（种）．方法二（排除法）：因为从9名学生中，选5名代表的选法共有种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有105（种）．故共有105种不同的选法．（3）先安排甲组有种分法，再安排乙组有种分法，余下的学生为丙组有种分法．所以符合条件的不同分法有（种）．故共有1680种不同分法．18.若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．（1）分别求和在交点处的切线方程；（2）若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．答案：（1）；；（2）；.解析：思路：（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得；（2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果.（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为．对求导，可得，将代入，得切线斜率．切线方程，即.对求导，，将，得切线斜率．切线方程，即.所以交点处的切线方程为，.（2）设公切点．对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率．对求导，可得，则在点处的切线斜率.因为两函数在点处存在公切线，所以，即①．又因为点在两函数图象上，所以②．由①得，将其代入②可得：，即，解得.将代入（1）得：，解得.将代入得.所以，点的坐标为．19.设函数.（1）当时，讨论的单调区间；（2）已知.（i）求的取值范围；（ii）证明.答案：（1）减区间，增区间（2）（i），（ii）证明见详解解析：思路：（1）求导，判断导数的正负得解；（2）（i）根据题意，