2025-2026学年广东省广州市增城区增城一中、新塘中学、郑中钧中学三校高二下册期中联考数学试题 含解析

/数学一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A.在上是增函数B.在上是减函数C.在上的最大值是D.当时，取得极小值2.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（）A.120 B.160 C.180 D.3003.甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（

）A. B. C. D.4.已知X的分布列为：X01Pa若随机变量，则等于（）A. B. C. D.5.已知函数在处有极大值，则实数c的值为（）A.2 B.6 C.2或6 D.86.下列求导正确的是（）A. B.C. D.7.若函数在上存在最值，则实数的取值范围为A. B.C. D.8.设A，B为两个事件，已知，，，则（）A.0.24 B.0.375 C.0.4 D.0.5二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若，，则（）A. B.C. D.10.有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（）A. B.C. D.11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：_______．（用数字作答）13.的展开式中的系数为__________.14.已知函数的定义域为R，其导函数为，满足，，则不等式的解集为___________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某种产品的加工需要经过5道工序．（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？16.已知函数.（1）求该函数在点处的切线方程；（2）证明：当时，.17.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；（2）李明在一年内领到资格证书的概率．18.从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.①直接写出，，的值；②求与的关系式（），并求（）.19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.

数学一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A.在上是增函数B.在上是减函数C.在上的最大值是D.当时，取得极小值答案：D解析：思路：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果．解答过程：解：根据导函数图象可知，在上先单调递减后单调递增，故错误；在上，单调递增，故错误；函数在上先单调递减，再单调递增，最后在上单调递减，故无法确定函数在上的最大值，故C错误；在时单调递减，在时单调递增，在时，取极小值，故对，故选：．2.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（）A.120 B.160 C.180 D.300答案：C解析：思路：分两步，第一步先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，第二步再排Ⅳ，然后根据分步计数原理相乘即可.解答过程：先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有种，再排Ⅳ有种，故不同的着色方法数有种.故选：C3.甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则，，，．4.已知X的分布列为：X01Pa若随机变量，则等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由分布列的性质有，再由即可得.解答过程：由题设，可得，则.故选：B5.已知函数在处有极大值，则实数c的值为（）A.2 B.6 C.2或6 D.8答案：B解析：思路：由题意可得，求出，再检验可得答案.解答过程：由，得，因为函数在处有极大值，所以，解得或，当时，，令，得或，当或时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以为极大值点，为极小值点，所以不符合题意，当时，，令，得或，当或时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以为极大值点，为极小值点，所以符合题意，综上故选：B.6.下列求导正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得.解答过程：对于A，，正确；对于B，，错误；对于C，，错误；对于D，，错误.故选：A7.若函数在上存在最值，则实数的取值范围为A. B.C. D.答案：A解析：思路：首先求得导函数的解析式，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围.解答过程：由题可得，当时，，函数在上单调递减，不存在最值；当时，令，可得，易得函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上存在最值，则，即，所以实数的取值范围为，故选A．方法提示：本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设A，B为两个事件，已知，，，则（）A.0.24 B.0.375 C.0.4 D.0.5答案：B解析：思路：根据给定条件，利用条件概率公式直接计算作答.解答过程：由，，得，所以.故选：B二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若，，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：令、可得答案.解答过程：因为所以令可得：令可得故选：AC10.有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由已知可得，，，，可判B项；根据乘法公式求解，即可判断A、C；根据全概率公式，可判D项.解答过程：由已知可得，，，，.对于A项，由已知可得，，根据乘法公式可知，故A项正确；对于B项，由已知可得，故B项错误；对于C项，由已知可得，，根据乘法公式可知，故C项错误；对于D项，因为，故D项正确.故选：AD.11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，答案：ACD解析：思路：求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.解答过程：对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：_______．（用数字作答）答案：解析：思路：利用排列数和组合数公式计算可得出结果.解答过程：原式.故答案为.13.的展开式中的系数为__________.答案：30解析：思路：先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解.解答过程：由，其展开式的通项为，，，令，得的展开式的通项为，，，令，得，则的展开式中的系数为.故30.14.已知函数的定义域为R，其导函数为，满足，，则不等式的解集为___________.答案：解析：思路：根据给定不等式特征构造函数，探讨函数单调性，再借助单调性解不等式作答.解答过程：依题意，令，因，则，即函数在R上单调递增，又，则，不等式，则有，解得，所以不等式的解集为.故四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某种产品的加工需要经过5道工序．（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？答案：（1）96，（2）36，（3）48，（4）72解析：思路：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空解答过程：解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；（3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；（4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序，16.已知函数.（1）求该函数在点处的切线方程；（2）证明：当时，.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）令，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性可证得结论成立.（1）解：因为，该函数的定义域为，则，所以，，，因此，曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：令，则，当时，，则函数在上为减函数，故当时，，则.17.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；（2）李明在一年内领到资格证书的概率．答案：（1）分布列见解析；（2）解析：思路：（1）的取值分别为1，2，3，分别求出，，，由此能求出李明参加考试次数的分布列（2）由已知条件，利用对立事件的概率计算能求出李明在一年内领到资格证书的概率．解答过程：解：（1）的取值分别为1，2，3．，，所以李明参加考试次数的分布列为：123P0.60.280.12（2）李明在一年内领到资格证书的概率为：18.从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.①直接写出，，的值；②求与的关系式（），并求（）.答案：（1）分布列见解析（2）①，，；②，；解析：思路：（1）列出随机变量的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得；（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得，，再通过构造等比数列求得数列的通项即得.（1）的可能取值为2和3，则，所以随机变量的分布列为：23（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，.②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”