2025-2026学年江西省宜春市宜丰中学高二下册第二次月考数学试题 含解析

/数学一、单选题(40分)1.在等差数列中，，，则公差（）A.2 B.1 C.-1 D.-22.已知函数，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.3.函数在上的最大值是（）A. B.0 C. D.4.如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A. B.2 C.0 D.35.若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.7.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数的一个极值点为3，则（）A. B.当时，C.当时， D.是函数的极小值点二、多选题（18分）9.下列求导正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（）A. B.5 C.3 D.11.已知数列满足是公差为-2的等差数列，是首项为8的等比数列，且，则（）A.B.与都是递减数列C.的前项和有最大值D.的前项积有最大值三、填空题（15分）12.2和9的等比中项是____________.13.若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是________.14.若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____．四、解答题（77分）15.已知等差数列的公差，前n项和为．（1）若1，，成等比数列，求；（2）在（1）的条件下，若，求．16.已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等差数列；（2）记，数列的前项的和为，求证.17.已知函数（1）讨论的单调性.（2）若对任意都有恒成立，求的取值范围.18.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列．（2）令，求数列的前项和．（3）在第（2）问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．19.设函数.（1）当，（i）若，讨论的单调性；（ii）若，求极值点的个数；（2）对任意，总存在，使得，求的最小值.

数学一、单选题(40分)1.在等差数列中，，，则公差（）A.2 B.1 C.-1 D.-2答案：A解析：解答过程：在等差数列中，公差.2.已知函数，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求导，根据导函数的符号确定的减区间.解答过程：解：函数的定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减；的减区间是．3.函数在上的最大值是（）A. B.0 C. D.答案：B解析：思路：先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值.解答过程：由题，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.故选：B.4.如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A. B.2 C.0 D.3答案：B解析：解答过程：根据图像得，点，切线斜率为，，则.5.若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可.解答过程：由，则当时，，当时，，所以函数的减区间为，增区间为，则依题意有，可得，故选：C.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可.解答过程：由题意可得函数的定义域为，，因为，，当且仅当，即时等号成立，因为，所以恒成立，函数在上单调递增，则不等式，解得，所以不等式的解集为.7.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围.解答过程：由，数列是递增数列，得，解得，所以a的取值范围是.故选：C8.已知函数的一个极值点为3，则（）A. B.当时，C.当时， D.是函数的极小值点答案：B解析：思路：根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可.解答过程：由，所以，由题可知：，当时，，令，则；令，则或.所以函数在单调递增，在单调递减.对A，所以在处取得极小值，，错误；对B，，所以，正确；对C，当时，，所以错误；对D，是函数的极大值点，错误；故选：B二、多选题（18分）9.下列求导正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：AC解析：思路：依据求导公式和导数四则运算去判断即可解决.解答过程：对于选项A，∵，∴选项A正确；对于选项B，，令，则，∴选项B错误；对于选项C，∵，∴选项C正确；对于选项D，∵，∴选项D错误．故选：AC10.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（）A. B.5 C.3 D.答案：BD解析：思路：构造函数，判断出函数的奇偶性，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可.解答过程：令，则，所以函数为奇函数，，因为当时，，即，所以函数在上单调递减，又函数为奇函数，则在上单调递减，又，所以，所以，当时，令，则，当时，令，则，所以的解集为，所以选项BD符合题意.11.已知数列满足是公差为-2的等差数列，是首项为8的等比数列，且，则（）A.B.与都是递减数列C.的前项和有最大值D.的前项积有最大值答案：ACD解析：思路：根据等差数列、等比数列的通项公式和性质逐项计算判断即可.解答过程：设，则是公差为-2的等差数列，所以是首项为8的等比数列，所以.因为，且，所以.因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以，故A正确.因为，所以是递减数列.因为，所以当时，，当时，，当时，，所以不是递减数列，故B错误.因为是首项为8，公差为-2的等差数列，所以前项和有最大值，故C正确.因为是首项为8，公比为的等比数列，所以前项积有最大值，故D正确.三、填空题（15分）12.2和9的等比中项是____________.答案：解析：解答过程：令等比中项为，则.13.若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是________.答案：4026解析：思路：结合已知条件，利用等差数列的单调性判断与的符号，然后利用等差数列的性质即可求解.解答过程：设数列是公差为的等差数列，因为，故与符号相异，所以，又因为公差不为0等差数列具有单调性，且，，故，，因为，所以，因为，所以使前项和成立的最大自然数为4026.故4026.14.若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____．答案：解析：思路：根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值.解答过程：设公切线为，是与的切点，是与的切点，，，所以的方程为，因为，整理得，同理，因为，整理得．依题意两条直线重合，可得，两式相除得，所以，代入①得由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，因为，令，则或．当时，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以有极小值为，有极大值为，当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故的取值范围为．四、解答题（77分）15.已知等差数列的公差，前n项和为．（1）若1，，成等比数列，求；（2）在（1）的条件下，若，求．答案：（1）或（2），．解析：思路：（1）根据等差数列的性质和等比中项的定义，列出方程，求出首项即可；（2）根据等差数列前n项和公式，直接写出结果即可.（1）因为数列的公差，所以，因为1，，成等比数列，所以，即，解得或．（2）因为，所以，所以，．16.已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等差数列；（2）记，数列的前项的和为，求证.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）利用递推关系变形可证明等差数列；（2）利用裂项相消法求和可证明不等式.（1）由递推关系，两边取倒数可得：，整理可得：，所以数列为等差数列；（2）由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，即，即，又因为，所以.17.已知函数（1）讨论的单调性.（2）若对任意都有恒成立，求的取值范围.答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性；（2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围.（1）由题意可得，，当时，在恒成立，所以函数在单调递增；当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增，综上所述，当，函数在单调递增；当时，函数在单调递减,在单调递增.（2）因为对任意都有，所以，即，令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故.18.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列．（2）令，求数列的前项和．（3）在第（2）问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）由的关系通过作差得到即可求证；（2）通过错位相减法求和即可；（3）由不等式恒成立得到，构造数列，确定单调性即可求解.（1）证明：当时，，解得．当时，由，可得，两式相减，可得，化简得，所以数列是一个首项为1，公比为3的等比数列．（2）由（1）知数列的通项公式为，则所以，①①得，，②①－②得，，，化简得．（3）由（2）知，代入不等式，整理得．令，则．由于，因此，所以，所以，即是递增数列，所以．若对任意的，不等式恒成立，则，所以实数的取值范围是．19.设函数.（1）当，（i）若，讨论的单调性；（ii）若，求极值点的个数；（2）对任意，总存在，使得，求的最小值.答案：（1）（i）在上单调递减，在上单调递增；（ii）1个（2）解析：思路：（1）（i）直接求导判断即可；（ii）根据导函数特征分区间判断单调性，无法直接判断的部分二次求导后，利用零点定理判断极值点的存在性.（2）将移到一边，定义另一边为以为变量，为参数的一次函数，分类讨论单调性后得到关于的恒等式，再利用导数得到最值.（1），（i）若，，，因为在上单调递增，且，所以当时，；当时