2025-2026学年江西省南昌市第五高级中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，则（）A.3 B.4 C.5 D.62.设P是所在平面内的一点，，则A. B. C. D.3.若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.4.已知向量，满足，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.已知，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.6.如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（）A. B.C. D.7.设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.对于非零向量，若，则B.若，则C.已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为D.已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则为钝角三角形10.四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（）A. B.当时，为CD中点C.的最小值为 D.的最大值为11.已知函数，若，，则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则的取值范围为C.若，则的最小值为D.若，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______．13.函数的定义域为______．14.若函数有个零点，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平行四边形ABCD中，设，点是边BC的中点，点在BD上，且．（1）用表示向量和．（2）判断，，三点是否共线？请说明理由．16.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求与的夹角的余弦值．17.函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围．18.如图，圆的半径为，其中、为圆上两点.（1）若，当为何值时，与垂直？（2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值.（3）若的最小值为，求的值.19.对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系．其中称为的像．（1）若；，判断与是否具有关系，并说明理由；（2）若；，且与具有关系，求的像；（3）若；，且与具有关系，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：D解析：思路：由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得．解答过程：，，则，所以.2.设P是所在平面内的一点，，则A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：移项得.故选B3.若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据的范围求得是第一､三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断.解答过程：因为在第一象限，所以，所以，所以是第一､三象限角，当是第一象限角时，；当是第三象限角时，；综上，一定成立.故选：C4.已知向量，满足，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据计算出，然后结合向量数量积的公式求解出的值，则与的夹角可求.解答过程：由题意得，所以，即，所以，所以.故选：B.5.已知，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据投影向量公式结合数量积坐标公式及模长公式计算求解.解答过程：因为，，则在方向上的投影向量为.故选：B.6.如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据题意求出，根据正弦的概念求解点的纵坐标，即可得解.解答过程：由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，，所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离.故选：C7.设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.解答过程：由题意，非零向量的夹角为，且，则，不等式对任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因为，所以，即，可得，即实数的取值范围为.故选：A.方法提示：求平面向量的模的两种方法：1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.8.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设与交于点，由得四边形是菱形，是对角线中点，用和其他向量表示并计算数量积后可得＝，由点与的位置关系可得的取值范围，得结论．解答过程：如图，与交于点，由得：，所以四边形是菱形，且，则，，由图知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵点是圆内一点，则，∴，故选：A.方法提示：关键点点睛：本题考查平面向量数量积的运算，解题关键是是利用线段的中点的性质，把用和其他向量相加，然后求数量积可化化简．二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.对于非零向量，若，则B.若，则C.已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为D.已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则为钝角三角形答案：BC解析：思路：根据向量的数量积运算，可判断A、B；根据题意，求得直线方程，结合点到直线的距离公式判断C；由题意计算出，利用数量积运算判断D.解答过程：对于A：，即．所以A错误；对于B：两边平方：，化简得，则.所以B正确；对于C：以向量为方向向量的直线的斜率，则过点P的直线：，即.点到直线的距离,所以C正确；对于D：，，则，即A为直角，为直角三角形，所以D错误.10.四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（）A. B.当时，为CD中点C.的最小值为 D.的最大值为答案：ABD解析：思路：通过建立平面直角坐标系分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可．解答过程：以为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如下图所示，因为四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），所以，设，选项A：，所以；选项B：，当时，可得，解得，即为CD中点；选项C：，则，所以，当时，的最小值为2；选项D：当或1时，的最大值为.11.已知函数，若，，则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则的取值范围为C.若，则的最小值为D.若，则的取值范围为答案：ACD解析：思路：对A：可化为，结合正弦函数值域可得存在，使得，即可得A；对B：结合定义域与正弦函数图象计算即可得；对C：表示出后代入计算即可得；对D：结合正弦函数图象可得，再分的不同取值计算即可得.解答过程：对A：由，则，化简得，由，则、，则恒有，即，故A正确；对B：若，需存在，使得，当时，，则有，解得，即的取值范围为，故B错误；对C：由，则，，且，则，且，故，当且仅当时，等号成立，故C正确；对D：若，则，则，，即有，，有，解得，即，若，则，又，解得；若，则，又，解得；又时，有，即，故时，符合要求；综上所述：的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______．答案：解析：思路：由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标.解答过程：由题，设，所以，即，所以，解得，所以点的坐标为.故13.函数的定义域为______．答案：解析：思路：要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域．解答过程：要使原函数有意义，必须有，即，解集为，取交集可得原函数的定义域为.14.若函数有个零点，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先判断分段函数在部分单调且仅有一个零点，因此在区间上需有3个零点，将区间代入，令其包含正弦函数的三个零点但不包含第四个，得到关于的不等式组，通过求解该不等式组确定的取值范围，结合单调性与零点分布求出的取值范围.解答过程：函数在上单调递增，则函数在上单调递增，而，则存在，使得，函数在上有个零点，由函数有4个零点，则函数在有个零点，由，得，则，解得，所以正数的取值范围是．故选：A四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平行四边形ABCD中，设，点是边BC的中点，点在BD上，且．（1）用表示向量和．（2）判断，，三点是否共线？请说明理由．答案：（1）；（2）三点共线，理由见解析解析：思路：（1）根据向量加法的三角形法则和数乘向量求解即可；（2）判断三点是否共线，可通过判断由这三点构成的两个向量是否共线来实现，若两向量共线且有公共点，则三点共线.（1）如图：由题意：．.（2）由（1）知，，，则，所以与共线，又与有公共点，所以三点共线.16.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求与的夹角的余弦值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解；（2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.（1）由，可得，即．又，，所以，，所以，解得．（2）因为，，所以，又，所以，解得，所以.又，所以，所以与的夹角的余弦值为．17.函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.（1）由题意可知：的面积，可得，所以周期，则，由，得，又，于是，所以；（2）由，则，得，即．由，得，即在上恒成立，亦即，因为，所以，解得，即实数的取值范围是．方法提示：方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.18.如图，圆的半径为，其中、为圆上两点.（1）若，当为何值时，与垂直？（2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值.（3）若的最小值为，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用余弦定理求出的长，利用平面向量数量积的定义可求出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可；（2）由重心的性质推导得出，由、、三点共线，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；（3）设，推导出，利用平面向量数量积的运算性质可得出，再结合二次函数的基本性质可求出的最小值为可求得的值，即为所求.（1）因为，，所以由余弦定理得，即，即，解得，由平面向量数量积的定义可得，若与垂直，则，所以，所以，解得，即当时，与垂直.（2）因为为的重心，所以，又因为，，所以，由于、、三点共线，所以存在实数使得，所以，化简为，因为、不共线，所以，，所以，所以.显然，，则，当且仅当时，即当时，取最小值.（3）设，取线段的中点，连接，则，则，又，所以当时，有最小值，所以，解得，即取最小值时，．19.对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系．其中称为的像．（1）若；，判断与是否具有关系，并说明理由；（2）若；，且与具有关系，求的像；（3）若；，且与具有关系，求实数的取值范围．答案：（1）不具有，理由见解析