2025-2026学年广东深圳高级中学（集团）高三下册适应性考试数学试题 含解析

/数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，其中为虚数单位，则（）A.2 B. C.1 D.2.“”是“函数的图象关于对称”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设集合，，若含有4个元素，则（）A. B.0 C.1 D.24.已知函数的图象关于原点对称，则（）A. B. C. D.5.如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（）A. B. C. D.6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（）A. B.9 C.36 D.7.函数与函数公切线的斜率为（）A. B. C.1或 D.1或8.在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（）A. B. C.事件，互斥 D.10.如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（）A.P、Q、M、N四点共面 B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为 D.直线MN与AC所成角余弦值为11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行共有2026个数B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______．13.已知数列的前项和为，若，且，则__________.14.在三角形ABC中，，设，，则________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设∠BAC=θπ12≤θ（1）若，求灯柱的高；（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？16.下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示：

红色外观蓝色外观米色内饰812棕色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求；（2）该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设：假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色.假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元.假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高.请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望.17.如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且．（1）证明：平面；（2）已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1．（i）求的长度；（ii）求直线与平面所成角的正弦值．18.已知A、B分别为x轴、y轴上的动点，，．（1）讨论C点的运动轨迹表示的图形；（2）若AB与只有一个交点，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．19.已知．（1）若，证明：恒成立．（2）令，且，有唯一的正零点．（i）求的取值范围；（ii）当时，证明：．

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，其中为虚数单位，则（）A.2 B. C.1 D.答案：D解析：思路：根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可.解答过程：因为，所以，所以.故选：D2.“”是“函数的图象关于对称”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.解答过程：若函数的图象关于对称，则，解得，因为是的真子集，所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.故选：A.3.设集合，，若含有4个元素，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：B解析：思路：根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.解答过程：根据集合元素的互异性可知，，.因为含有4个元素，所以仅含有1个元素，若，则或，所以或.若，则.结合集合元素的互异性可知或.当时，，，，符合题意.当时，，，，不符合题意.综上，.4.已知函数的图象关于原点对称，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：因为函数的图象关于原点对称，可得函数为定义域为奇函数，根据奇函数性质，可得,求得值，进而求得.解答过程：函数的图象关于原点对称可得：为定义域为奇函数根据奇函数性质令，可得又故故选：A.方法提示：本题解题关键是掌握奇函数在定义域包含时，，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5.如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：选用为基底向量，即可根据向量的线性运算以及数量积的运算律求解.解答过程：设与方向相同的单位向量分别为，则，故，由于，故.6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（）A. B.9 C.36 D.答案：D解析：思路：首先求出直线的方程为，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，则得到，最后利用焦点弦公式即可.解答过程：令，则，则点的坐标为的焦点为，则，所以直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，所以，所以由抛物线的定义得.故选：D.7.函数与函数公切线的斜率为（）A. B. C.1或 D.1或答案：C解析：思路：利用导数来求切线方程，再通过公切线得到方程组求解即可.解答过程：由题意可得，设切点坐标分别为x1,2+则函数在点处切线方程为：y−2+lnx1函数在点处切线方程为：，即y=ex2根据两切线是公切线可得：ex由ex2所以1+lnx1解得或，所以公切线斜率为或.8.在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：首先求旋转后的直线，再根据直线与圆的位置关系，即可求解解答过程：直线的斜率为，过点，绕原点逆时针旋转后，斜率为，过点，得到直线，若该直线与圆存在公共点，则圆心到直线的距离，解得，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（）A. B. C.事件，互斥 D.答案：AB解析：思路：由频率分布直方图求出对应的值，即可判断AB选项；由互斥事件的定义求来判断C选项；求出来判断D选项.解答过程：，，∵，∴，∴，A选项正确；，B选项正确；∵“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”，C选项错误；由频率估计概率得：，，D选项错误.故选：AB10.如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（）A.P、Q、M、N四点共面 B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为 D.直线MN与AC所成角余弦值为答案：BCD解析：思路：由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D.解答过程：对于A，直线平面，点平面，而直线，点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误；对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确；对于C，点到平面的距离为，则，C正确；对于D，取中点，连接，由是中点，得，则是异面直线与所成角或其补角，由已知，，，平面，所以平面，故平面，又平面，于是，而，则，因此，D正确.11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行共有2026个数B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为答案：BC解析：思路：对于A选项，找到每行与每行的数之间的关系，对于B选项，运用杨辉三角的性质求解；对于C选项计算出第48行的所有数之和除以7即可；对于D选项，找到此数列的前n项和的式子，再代入n为135即可.解答过程：对于A，第2026行共有2027个数，故A错误，对于B，由题意可得C4对于C，第48行的所有数字之和为=1+7C1617对于D，第行的和为，当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1，故第行到第行中去除为1的项的和为，故前17行中去除为1的项的和为，去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为，可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数，当时，，因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为，则此数列前135项的和为，则D答案错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______．答案：解析：思路：设双曲线方程为，利用双曲线过点，求出，即可得出双曲线方程．解答过程：设双曲线方程为，双曲线过点，，，故所求双曲线方程为：，即，故13.已知数列的前项和为，若，且，则__________.答案：解析：解答过程：0因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以.14.在三角形ABC中，，设，，则________.答案：解析：思路：利用三角形面积公式及面积比即可求解.解答过程：记，则，因为，所以，所以故四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设∠BAC=θπ12≤θ（1）若，求灯柱的高；（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？答案：（1）（2）设置时，制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米解析：思路：（1）在与中，由正弦定理即可求出灯柱的高；（2）根据正弦定理，分别表示出灯柱与灯杆的长，即可表示出，结合正弦和角公式化简，结合角的取值范围即可得解.（1）在中，，由正弦定理可得：，得AC=AD⋅sin在中，，由正弦定理可得：，得h=AC若，则灯柱的高；（2）中，由正弦定理可得：，得BC=AC⋅∴AB=323=321当时，取得最小值.故设置时，制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米.16.下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示：

红色外观蓝色外观米色内饰812棕色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求；（2）该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设：假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色.假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元.假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高.请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望.答案：（1）（2）抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，奖金额的分布列：600300150解析：思路：（1）由古典概率计算公式及条件概率公式即可求解；（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可.（1）由数表知，.（2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色，依题意，；则，因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，奖金额的可能值为：，奖金额的分布列：600300150奖金额的期望（元）.17.如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且．（1）证明：平面；（2）已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1．（i）求的长度；（ii）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.解析：思路：（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证.（2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出；（ii）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.（1）在正方形中，由，得，，则，，因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，又平面，所以平面.（2）（i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得，解得，则，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，，由点到直线的距离是1，得，则，而，解得，所以.（ii），，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知A、B分别为x轴、y轴上的动点，，．（1）讨论C点的运动轨迹表示的图形；（2）若AB与只有一个交点，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点