2025-2026学年江西九江市匡庐星瀚高级中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.2.设命题且，则的否定为（）A.且 B.且C.且 D.且3.已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（）A. B. C. D.4.在中,,是边上的一点,且,则的值等于（）A. B.0 C.4 D.85.记的内角的对边分别为，若，，则（）A. B. C.2 D.6.已知函数，记，则（）A. B. C. D.7.关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.设，，，则（）A. B.C. D.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.设的内角的对边分别为，若，则下列选项正确的是（）A.外接圆半径为B.面积的最大值为C.最大值为D.的最小值为3210.在中，内角所对应的边分别是，，点在线段上，且，若，则（）A. B.C.面积的最大值是9 D.面积的最小值是611.在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（）A.存在点，使得面B.存在点，使得面C.当点不是的中点时，都有面D.当点不是的中点时，都有面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______13.在中，，，线段上的动点（含端点），则的取值范围是_____．14.定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）将图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值．16.如图，在梯形中，，，，将沿折起，形成四棱锥，（1）若点为的中点，求证：平面；（2）在四棱锥中，，求面与面所成二面角(锐角)的余弦值.17.在中，，，对应的边分别为，，，．（1）求A；（2）若为边中点，，求的最大值；（3）奥古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立．求的最小值．18.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，直线与所成的角的余弦值等于，，点为线段上的动点，是的中点.（1）若直线和相交，求证：；（2）求证：平面平面；（3）当三棱锥的体积最大值时，求此时三棱锥外接球的体积.19.已知，定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，．（1）若，求实数x的取值范围；（2）求函数的值域，并求满足：的实数x的取值范围；（3）设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围．

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.解答过程：由，可得或，又，所以.故选：D2.设命题且，则的否定为（）A.且 B.且C.且 D.且答案：D解析：思路：根据全称命题的否定求解即可.解答过程：由全称命题的否定知：命题且的否定为：且.故选：D3.已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由复数的运算直接求解得到，再由共轭复数的概念求解即可.解答过程：由题知，复数的共轭复数为复数的共轭复数虚部为，故选：B.4.在中,,是边上的一点,且,则的值等于（）A. B.0 C.4 D.8答案：C解析：思路：化简可得,再根据三角形中的关系结合数量积公式计算即可.解答过程：由得,所以．又因为,,所以,所以.故选：C．方法提示：本题主要考查了平面向量的基本运算以及数量积的计算,属于基础题.5.记的内角的对边分别为，若，，则（）A. B. C.2 D.答案：D解析：思路：先求得，再由正弦定理求解即可.解答过程：由，，可得，由正弦定理可得，即.故选：D.6.已知函数，记，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据偶函数的性质、对数函数和指数函数的性质比较大小即可.解答过程：因为函数，定义域为，而且，所以为偶函数，所以．由指数函数与对数函数的性质可得，，且．所以可得.因为时，在上单调递增，所以，所以．故选：C.7.关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分离参数，构造函数，求导，根据导数求函数的最值.解答过程：由不等式在恒成立，得在上恒成立，设，，设，恒成立，所以在上单调递增，且，所以当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，又，，所以，又在上恒成立，所以，故选：B.8.设，，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先构造函数，和并分析单调性得出，时，，并取特殊值得出，根据构造函数单调性分析即可得出结果.解答过程：设，则，在时，，在时，，所以，即，所以对任意均成立.取，有，所以.再取，可得，两边取倒数，即，所以，又当时，设，，则，，即和在均递增，所以，，即时，，所以，由在单调递增，可得，即.故选：B方法提示：方法点睛:(1)对于实数比较大小我们通常观察式子结构，构造出对应的函数，然后利用函数单调性分析.(2)作差法是比较两个数值大小最常用的方法，看其值是正还是负，从而确定所比较的大小.(3)当直接无法比较的时候，往往需要取适当的“媒介”数（通常以“0”，或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而间接得出两数的大小.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.设的内角的对边分别为，若，则下列选项正确的是（）A.外接圆半径为B.面积的最大值为C.最大值为D.的最小值为32答案：ABC解析：思路：由正弦定理求得，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，可得判定B正确；由正弦定理和两角差的正弦公式化简得到，结合三角函数的性质，可判定C正确；由余弦定理和基本不等式，可判定D错误.解答过程：在的内角的对边分别为，若，对于A中，由正弦定理得，可得外接圆半径为，所以A正确；对于B中，由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立，即，所以面积的最大值为，所以B正确；对于C中，因为，可得，可得，则又由正弦定理，可得，（其中且），当时，取得最大值，最大值为，所以C正确；对于D中，由余弦定理得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以D错误.故选：ABC.10.在中，内角所对应的边分别是，，点在线段上，且，若，则（）A. B.C.面积的最大值是9 D.面积的最小值是6答案：AC解析：思路：由，利用正弦定理边化角可得：，然后借助两角和的正弦公式可得：，结合，可得，利用余弦定理及基本不等式可得面积的最大值是9.解答过程：由，可得，整理得，即，又，，即，，所以A正确；由，得可能相等也可能不等，又，若，则为等边三角形就不会出现C，D求最值了，因此可用排除法，所以B不正确；由余弦定理可得，又可得又且，可得整理得又的面积又，，，当且仅当时等号成立，，则所以面积的最大值是9，无最小值.所以C正确，D不正确.故选：AC.11.在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（）A.存在点，使得面B.存在点，使得面C.当点不是的中点时，都有面D.当点不是的中点时，都有面答案：ACD解析：思路：对于A，由当点与点重合时，结合线面平行的判定定理即可判断；对于B，一方面若面，则，结合即可判断；对于CD，由线面平行，线面垂直的相关知识判断即可.解答过程：当点与点重合时，由，而面，面，可知面，即A正确.若面，注意到面，则，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，，所以，与矛盾，即B错误.当不是的中点时，由，且面，面，可知面，又直线为面与面的交线，则，又面，面，从而可得面，即C正确.同上，有，又面，面，所以，又面，所以面，则面，即D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______答案：##解析：思路：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出异面直线所成的角.解答过程：取点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，，，2，，，1，，，1，，，，，，与所成的角为．故．13.在中，，，线段上的动点（含端点），则的取值范围是_____．答案.解析：解答过程：因为，所以，∴，又∵，∴，又，所以，如下图所示，∴，则可设，，则.14.定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____.答案：解析：思路：根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性并求出在上的最小值，再结合恒成立建立不等式，利用一次型函数性质列式求解.解答过程：对任意，都有，当时，，对任意，取，得，函数是奇函数，设且，则，而当时，，因此，即，所以函数在上是减函数，当时，，由，恒成立，得，恒成立，由一次型函数性质得，解得或或，所以实数的取值范围为.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）将图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）首先可通过转化得出，然后根据正弦函数的性质即可得出结果；（2）本题首先可通过图像变换得出，然后根据得出、，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.解答过程：（1），令，则，故的单调递减区间为.（2）横坐标伸长到原来的倍，得到，然后向左平移个单位，得到，因为，所以，因为，所以，，故.16.如图，在梯形中，，，，将沿折起，形成四棱锥，（1）若点为的中点，求证：平面；（2）在四棱锥中，，求面与面所成二面角(锐角)的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）取中点，连，证明四边形为平行四边形，所以，得证线面平行；（2）延长，交于点，则为平面与平面的交线，证明平面，过作，垂足为，连接，证明为二面角的平面角，再在中计算其余弦值．解答过程：解：（1）证明：取中点，连，则，.又因为，，所以，.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面所以平面.（2）延长，交于点，则为平面与平面的交线因为，，所以.三角形中，因为，为的中点，所以，又因为，，，平面，所以平面，平面，所以.又因为，平面，所以平面.平面，所以.在三角形中，过作，垂足为，连接，因为，平面，所以平面，平面，所以.所以为二面角的平面角.在中，，，，由，所以，所以.在中，，，.所以.即面与面所成二面角(锐角)的余弦值为.17.在中，，，对应的边分别为，，，．（1）求A；（2）若为边中点，，求的最大值；（3）奥古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立．求的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理即可求解；（2）由余弦定理及基本不等式得出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；（3）由三维分式型柯西不等式，余弦定理，基本不等式，函数的单调性即可求解．（1）因为，由正弦定理得，由余弦定理，所以，即，若，等式不成立，则，可得，因为，所以．（2）由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，因为为边中点，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为．（3），又，所以，由三维分式型柯西不等式有，当且仅当，即时等号成立．由余弦定理得，所以，即，则，令，则，因为，得，当且仅当时等号成立，所以，则，令，则在上递减，当即时，有最大值，此时有最小值（此时与可以同时取到）．18.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，直线与所成的角的余弦值等于，，点为线段上的动点，是的中点.（1）若直线和相交，求证：；（2）求证：平面平面；（3）当三棱锥的体积最大值时，求此时三棱锥外接球的体积.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.解析：思路：（1）利用线面平行的判定、性质推理得证.（2）借助异面直线所成角求出，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.（3）求出三棱锥体积最大时点位置，再利用球面的性质确定球心位置，求出球半径，进而求出球的体积.（1）在四棱锥中，是正方形，则，由直线和相交，得平面，平面，于是平面，又平面平面，又平面，所以.（2）取的中点