2025-2026学年江西省上饶市名校联盟高一下册5月期中训练数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角的终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则实数的值为（）A.2 B. C.1 D.3.已知扇形的周长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知，则的值为（）A. B. C. D.5.曲线与的交点的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.个6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（）A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数是以为周期的偶函数的是（）A. B. C. D.10.已知函数，下列四个选项正确的是（）A.f(x)的最小正周期是B.f(x)的值域是C.f(x)在区间上单调递增D.f(x)的图象关于对称11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（

）A.为定值B.的取值范围是C.当时，为定值D.的最大值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.13.函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个最大值点，.则__________.14.在中，角的对边分别是，若，，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知化简求值：；（2）已知且求的值.16.设（），图象的一条对称轴是直线.（1）写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到；（2）用“五点作图法”画出函数在区间上的图象.17.如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.（1）若，求实数的值；（2）若，且满足，①求实数的值；②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，，求的最小值.18.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．（1）霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值；（3）霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式．19.已知函数.（1）若对于任意都有，且，求的对称中心；（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，函数在区间（且）上恰好有2026个零点，求的最小值；（3）在第（2）问条件下，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度后得到函数的图象.若关于的方程在上有且仅有四个解，求实数的取值范围.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角的终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意，则与角的终边相同的最小正角是.2.已知向量，若，则实数的值为（）A.2 B. C.1 D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，因为，所以，解得.3.已知扇形的周长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：根据扇形的弧长和周长公式，即可求解.解答过程：设扇形圆心角为，，半径，弧长为，周长为，则扇形的周长为，又，所以C=2r又扇形的周长为，半径为，所以2×2+2α=12，解得.故选：D.4.已知，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将原式平方求出的值，进而求出的值，将变形，并将求出的两值代入变形之后的式子即可得解.解答过程：将两边平方可得，解得.因为，所以，故，所以，因为，所以.所以.5.曲线与的交点的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.个答案：C解析：思路：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，可得答案.解答过程：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示：所以曲线与的交点的个数为个.6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：C解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解判断.解答过程：在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，因此，两边平方得，又，则，，所以是直角三角形.7.在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，求得，设，得到，转化为点到直线的距离为，进而求得的长.解答过程：在中，由，所以，则，设，所以，所以的最小值为点到直线的距离，因为的最小值为1，所以.8.若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由函数在上单调递增及，结合正弦函数单调性与零点性质，得到的取值范围和的含参表达式；再由fx≤f−π4推出为对称轴，建立的另一含参表达式；联立两式解出，回代并结合的条件，最终确定．解答过程：因为，在上单调递增，，，所以2πω≥4所以，φ=2k又fx≤f−π所以，解得，因，则，所以，又，则当，时，．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数是以为周期的偶函数的是（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：对于A，先推出其奇偶性，再举反例推出其周期不是即可判断；对于B，先推出其奇偶性，再结合的最小正周期即可推出的最小正周期，进而即可判断；对于C，D，先推出其奇偶性，推出其周期即可判断．解答过程：对于A，由的定义域为，关于原点对称，令，则，所以为偶函数，又fπ2=所以，故函数的周期不是，故A错误；对于B，由的定义域为，关于原点对称，令，由g(−x)=sin又函数的最小正周期为，且函数的图象是将函数的轴下方图象翻折到轴上方，故周期变成函数的周期的一半，故的最小正周期为，即以为周期，故B正确；对于C，由的定义域为，关于原点对称，令，由，所以为偶函数，又函数的最小正周期为，即以为周期，故C正确；对于D，由的定义域为−π2令m(x)=tanx又函数的最小正周期为，则m(x+π)=tan(故选：BCD．10.已知函数，下列四个选项正确的是（）A.f(x)的最小正周期是B.f(x)的值域是C.f(x)在区间上单调递增D.f(x)的图象关于对称答案：AD解析：思路：化简后结合三角函数的性质逐一分析选项.解答过程：当，即时：，当，即时：，即，接下来逐一分析选项：选项A：和的周期都是，故；又不是周期：，，不存在更小的正周期，因此最小正周期为，A正确；选项B：最大值出现在时，，取不到，值域实际为，B错误；选项C：在区间内满足，故此时；而在上单调递减，在上单调递增，整个区间不单调，C错误；选项D：对任意，验证：若，则：，，同理可证也是对称轴，结合为对称轴及周期性可知，函数的对称轴为，D正确.11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（

）A.为定值B.的取值范围是C.当时，为定值D.的最大值为16答案：ACD解析：思路：根据题设中的圆幂定理可判断AC；取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B；根据直径的大小可判断D.解答过程：对于A，如图，过作直径，由题意，所以为定值，故A正确；对于B，若为中点，连接，则，由题意，则，故B错误；对于C，若，故，则，又，则，同理可得，故，故C正确；对于D，因为，则当弦均与重合时，此时有最大值，为16，故D正确.故选：ACD.方法提示：关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质判断各项正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.答案：##0.6解析：解答过程：sin513.函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个最大值点，.则__________.答案：解析：思路：根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得。解答过程：由图可知是“五点作图”的第一个最大值点，所以且..显然，从到经过了的一个完整周期，其中.则，,,代入得故答案为.14.在中，角的对边分别是，若，，，则______．答案：解析：思路：先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式求出角；再由三角形面积公式结合已知条件求出边；最后利用余弦定理计算出边的值．解答过程：因为，所以，又，所以，所以，化简得，所以，又，所以．所以，解得，由余弦定理得，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知化简求值：；（2）已知且求的值.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案.（2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案.解答过程：（1）由诱导公式得.（2）因为，所以，因为，，所以，，则.16.设（），图象的一条对称轴是直线.（1）写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到；（2）用“五点作图法”画出函数在区间上的图象.答案：（1）函数的振幅为1，周期为，初相为；①把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象；②把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（2）解析：思路：（1）根据正弦函数的图象对称性列出方程求解即得解析式，由解析式直接读取振幅、周期和初相，利用平移伸缩变换说明变换过程；（2）利用五点法作图即可.（1）因为直线是函数的一条对称轴，所以，则，解得，又，所以.（2）由知，函数的振幅为1，周期为，初相为；要得到函数的图象，可以把正弦曲线进行如下变换：①把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象；②把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（2）由可知，列表如下：故函数在区间上的图象如下：17.如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.（1）若，求实数的值；（2）若，且满足，①求实数的值；②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，，求的最小值.答案：（1），；（2）①；②.解析：思路：（1）由条件和平面向量基本定理可得；（2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值；②由三点共线得，再用基本不等式可得最小值.（1）因为，所以，所以，又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；（2）①因为三点共线，所以存在实数使得（），所以，因为，所以，所以，又因为，所以，且与不共线，所以，解得．所以.②由①可知，，且，，所以，因为三点共线，所以，且，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．18.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．（1）霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值；（3）霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式．答案：（1）验证见解析，（2）（3），解析：思路：（1）根据余弦定理表示出，再化简即可.（2）根据三角形的面积公式以及（1）结论，利用二次函数的最值求解.（3）根据题意列出解析式，再根据（1）（2）问的结论化简，利用二次函数的最值求解.（1）在△ABD中，由余弦定理得，即.在△BCD中，由余弦定理得，即，所以，即，所以无论BD多长，．（2），，则，由（1）知，，即，代入上式，得，配方得，当时，取到最大值为．（3）设，净收益为y，则，由（1）知，，则.由（2）知，所以，令，则，所以，即当时，净收益最大，.19.已知函数