2025-2026学年甘肃渭源县第三高级中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分为150分，考试时间为120分钟.一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.（）A. B. C. D.3.若正数满足，则的最小值为（

）A. B. C. D.4.已知向量，．若，则（）A.1 B.2 C. D.5.已知为锐角，，则（）A. B. C.或 D.6.钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（）A.（0，1） B. C. D.7.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.8.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共18分）9.如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（）A.B.四面体体积的最大值为1C.时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为D.时，四面体外接球表面积为10.已知函数关于下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.直线是函数的一条对称轴C.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象D.的导函数的值域为11.已知曲线：，则（）A.曲线上任一点到原点的距离的最小值为B.曲线恰有八条对称轴C.过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数D.曲线所围成的封闭图形的面积满足三、填空题（每题5分，共15分）12.在二项式的展开式中，的系数为___________．13.一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答）14.设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15.已知数列的首项，且满足．（1）求的通项公式；（2）证明：．16.甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，（i）求抽到的是红球的概率；（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，.（1）若为棱的中点，求证：平面PAB；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点A到平面的距离.18.已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为．（1）求的方程；（2）过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点．（i）求的取值范围；（ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：．19.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数；（3）若恒成立，求实数的取值范围.

数学满分为150分，考试时间为120分钟.一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以．2.（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：．3.若正数满足，则的最小值为（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解.解答过程：因为，所以，又是正数，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.4.已知向量，．若，则（）A.1 B.2 C. D.答案：A解析：思路：先分别求出向量和的坐标，再利用两向量平行的坐标关系列方程求解.解答过程：因为，.所以，因为，所以.所以.5.已知为锐角，，则（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：利用三角函数的诱导公式和二倍角公式，将转化为与相关的形式，再结合为锐角确定符号.解答过程：因为，可得：.已知，所以.所以.解得.因为为锐角，即，所以所以.6.钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（）A.（0，1） B. C. D.答案：B解析：思路：先利用正弦定理将条件转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出的取值范围，再将目标式转化为关于的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可.解答过程：因为，由正弦定理得，，即，中，故，由及为钝角三角形可得，，由正弦定理得，，由各内角大于0，即，可得，故，对勾函数在上单调递减，且，所以，的取值范围为.7.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.答案：C解析：思路：根据已知得出渐近线的倾斜角进而得出，再根据即可求解．解答过程：∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，，∴此双曲线的离心率为2．8.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在区间上是单调函数，所以，且，所以．二、多选题（每题6分，共18分）9.如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（）A.B.四面体体积的最大值为1C.时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为D.时，四面体外接球表面积为答案：ABD解析：思路：对于A选项，作辅助线通过证明线面垂直证明线线垂直；对于B选项，找出二面角的平面角，计算四面体体积与的关系来判断体积的最大值；对于C选项，通过取各边中点把截面作出来，结合A选项得到截面为矩形，再计算面积；对于D选项，时，四面体有两个平面互相垂直，属于垂面型外接球，找到球心，计算出半径即可.解答过程：对于A选项，取中点，连接由于与是两个等腰三角形，，沿着翻折到，所以，,点为中点，所以，故平面,,所以A选项正确；对于B选项，作于点，作于点,连接,那么由可知,那么为二面角的平面角,面,所以，面,，，所以，四面体体积的最大值为1，故B选项正确；对于C选项，分别取的中点，连接,根据中位线的性质可知,且所以，且，四边形为平行四边形，所以，直线且与平行的平面截四面体的截面为.当时，由B选项可知为正三角形，,,由可得，,为矩形，，故C选项错误；对于选项D，当时，平面平面,由B选项可知平面,取的外心，取的外心，外接圆半径,分别作平面的垂线，平面的垂线交于一点,即四面体外接球球心，作于点，由于，所以为等腰直角三角形，所以，,所以，，，故D正确.10.已知函数关于下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.直线是函数的一条对称轴C.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象D.的导函数的值域为答案：BCD解析：思路：根据周期公式判断A；代入验证可判断B；利用平移变换可判断C；求导后结合余弦函数性质判断D.解答过程：对A，由题知，所以的最小正周期，错误；对B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，正确；对C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得，正确；对D，令，，则，即，由余弦函数性质可知，的值域为，正确.11.已知曲线：，则（）A.曲线上任一点到原点的距离的最小值为B.曲线恰有八条对称轴C.过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数D.曲线所围成的封闭图形的面积满足答案：ABD解析：思路：首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项.解答过程：由曲线可知，或，即或或或，如图，分别画出曲线的图象，这4个双曲线都关于轴，轴，和对称，如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确；根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小，不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即，此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确；如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点，与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误；如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为，设与在第一象限的交点为，，如图，连接与的交点，得到正八边形，正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部，所以，故D正确.三、填空题（每题5分，共15分）12.在二项式的展开式中，的系数为___________．答案：解析：解答过程：的展开式的通项为，，令，解得，则的系数为.13.一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答）答案：432解析：解答过程：相邻时，将歌曲、舞蹈捆绑，内部排列，再与其余4个节目全排列.恰好间隔1个节目时，先从剩余4个节目中任选1个夹在中间，再对歌曲、舞蹈换位排列，整体连同剩余3个节目全排列：综上，总排法.14.设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______.答案：解析：思路：构造函数，转化不等式为，利用函数单调性求参数范围即可.解答过程：令，则，是上的奇函数．又当时，，所以在上单调递减，又是上的奇函数．所以是上的减函数．由故等价于，，所以，解得故四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15.已知数列的首项，且满足．（1）求的通项公式；（2）证明：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可.（2）结合裂项相消法证明即可.（1）当时，，则，，，，所以，即.所以.当时，满足上式，故的通项公式为.（2）由（1）知，，则，所以，因为，所以，则，因此，故.16.甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，（i）求抽到的是红球的概率；（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）借助条件概率公式计算即可；（2）（i）利用全概率公式求解即可；（ii）利用贝叶斯公式计算即得.（1）记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”，则故；（2）（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，则，则（ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，.（1）若为棱的中点，求证：平面PAB；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点A到平面的距离.答案：（1）证明见解析（2）.（3）.解析：思路：（1）取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进而可求解；（3）利用点到平面的距离公式求解即可.（1）取棱的中点N，连接.在中，M，N分别为，的中点，所以，且.因为，所以.又因为底面中，且，所以，且.所以四边形为平行四边形，从而.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，，所以以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知条件可得各点坐标，，，.因为且，所以点C的坐标为.对于平面，.设平面的法向量为，则，令，则，.所以平面PCD的一个法向量为.对于平面，，.设平面的法向量为，则，令，则，.所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，故这两个平面夹角的余弦值为.（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，因为点在平面上，且点A坐标为，所以则点A到平面的距离d为，所以点A到平面的距离为.18.已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为．（1）求的方程；（2）过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点．（i）求的取值范围；（ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：．答案：（1）（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）根据双曲线的性质，利用渐近线方程和焦点坐标构造方程组求出，进而求出双曲线的方程；（2）（i）设直线方程，联立曲线方程，利用韦达定理求出进而求解比值范围；（ii）分别联立平行线与渐近线方程求出坐标，进而得出，再利用得出平行关系．（1）由渐近线方程知，，由焦点坐标可知，，联立，解得，双曲线的方程为．（2）（i）经分析可知，直线的