2025-2026学年江西省南昌市新民学校高三下册适应性考试（二）数学试题 含解析

/数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的真子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.若，则z的虚部是（）A. B.3 C. D.3.设向量，若，则（）A. B. C. D.4.设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.65.当时，函数的图象大致是（）A. B.C. D.6.如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（）A. B. C. D.7.盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（）A. B. C. D.8.已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知两组样本数据和，，其中是的平均数，不全相同，则这两组样本数据的（）A.平均数一定相等 B.中位数一定相等C.标准差一定不相等 D.第百分位数可能相等10.已知函数为奇函数，则（）A.的最小正周期为B.将的图象向右平移个单位可得到函数的图象C.在区间上单调递增D.直线是曲线的一条对称轴11.已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（）A.直线的方程为B.的面积为C.D.若曲线（）与在第一象限相交于、且，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.，则______．13.若函数的最大值为，最小值为，则____________.14.已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若是锐角三角形，求的取值范围．16.在数列中，.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，数列的前n项和为，证明.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的正切值．18.某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下：活动开展第天人园游客量（百人）（1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；（2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）（3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；参考数据：，，，.19.已知函数．（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明：当时，．

数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的真子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：求出再求真子集个数即可．解答过程：依题意表示直线与圆的交点的集合，则，所以的真子集个数为个．故选：C．2.若，则z的虚部是（）A. B.3 C. D.答案：A解析：思路：由复数的四则运算法则结合复数的模即可求解.解答过程：由题意得，则，所以z的虚部是.3.设向量，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，由得，解得.4.设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.6答案：A解析：解答过程：因为，所以．5.当时，函数的图象大致是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项.解答过程：对于函数，因为，由可得且，故函数的定义域为，排除AC，当时，，排除D.6.如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合球和圆柱的表面积公式求解.解答过程：如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故所以剩余几何体的表面积为.7.盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由已知条件，，，所以.8.已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大，此时，又，所以最小时，最大，又P为椭圆E：（）上的动点，所以最小时，点为椭圆的短轴的端点，又因为的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，所以E的离心率为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知两组样本数据和，，其中是的平均数，不全相同，则这两组样本数据的（）A.平均数一定相等 B.中位数一定相等C.标准差一定不相等 D.第百分位数可能相等答案：ACD解析：解答过程：不妨设，则，对于A：第二组数据的平均数为，故A正确；对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误；对于C：记第一组数据的标准差为，则第二组数据的标准差为，故C正确；对于D：第一组数据第80百分位数为，第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确．10.已知函数为奇函数，则（）A.的最小正周期为B.将的图象向右平移个单位可得到函数的图象C.在区间上单调递增D.直线是曲线的一条对称轴答案：ABD解析：解答过程：由题意，，由，则，故．对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，将的图象向右平移个单位可以得到函数，故B正确；对于C，当时，，而函数在上单调递减，故C错误；对于D，，时，,所以是其对称轴，故D正确．11.已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（）A.直线的方程为B.的面积为C.D.若曲线（）与在第一象限相交于、且，则答案：ACD解析：思路：先由题意求出曲线的方程，再利用抛物线参数方程和焦点弦性质判断各选项.解答过程：由动点到点的距离比它到直线的距离小2，可得动点到点的距离与它到直线的距离相等，故动点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线，故曲线是抛物线.设，因为点在第一象限，所以，因为，所以将代入，得到，故判断A，直线经过与，其斜率为所以故A正确；判断C，，解得，解得，解得或，故由于焦点在线段上，所以故C正确；判断B，点到直线的距离为所以的面积不是，故B错误；判断D，设为曲线与抛物线在第一象限的两个交点，其中因为在抛物线上，所以令则且又因为在曲线上，所以于是整理得即因为，所以从而再设则已知因为在轴正半轴上，所以由倍角公式得整理得由得所以于是故D正确.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.，则______．答案：45解析：解答过程：，令，则，即．13.若函数的最大值为，最小值为，则____________.答案：4解析：思路：先将函数分离常数，构造奇函数，再利用奇函数的性质求出的最大值与最小值，进而得到的最值和，最后计算即可.解答过程：，令，则，则函数为奇函数，设的最大值为，则最小值为，所以，，则.故4.14.已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______．答案：18解析：思路：由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解.解答过程：圆C的圆心，半径，由题意互相垂直且均经过定点，因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立，所以，当且仅当等号成立，检验，当三点共线时，，直线的方程为，即，直线与圆联立方程组得，解得或，结合题意可知，此时，解得或，当时，直线，此时，当时，直线，此时，经检验，当或，时有最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若是锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角；（2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得.（1）由正弦定理，为外接圆半径.因为，所以，即，化简为，即，因为，所以．（2）因为，所以，又，所以．又是锐角三角形，则，解得，所以，.所以的取值范围为．16.在数列中，.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，数列的前n项和为，证明.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明；（2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证.（1）由，可得，又因为，所以，所以是首项为1，公差为3的等差数列.（2）由（1）知，，所以.，①，②①-②得，，所以，又，所以.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的正切值．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）连接、交于点，连接，由是中点、，推出，再结合得，故，由平行线分线段成比例定理得，再由线面平行判定定理，得平面.（2）以为原点建系，写出各点坐标与相关向量，分别求出平面与平面的法向量，再用向量夹角公式算出两平面夹角的余弦值，进而求得正切值为.（1）连接交于点，连接．因为是的中点，，，所以．又，所以，从而，在平面中，有．所以，又平面BDN，平面．所以平面．（2）因为底面，以为坐标原点，以的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，底面四边形为菱形，所以易得为等边三角形.则，，，．所以，，，．设为平面的法向量，则，即可取．设为平面的法向量，则，即，可取．设平面与平面的夹角为，则，所以，所以．设平面与平面的夹角的正切值为．18.某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下：活动开展第天人园游客量（百人）（1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；（2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）（3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；参考数据：，，，.答案：（1），相关程度很强（2），残差为百人（3）解析：思路：（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论；（2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可；（3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可.（1）由表格中的数据可得，，则，由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强.（2），，故经验回归方程为.对于表中第个观测，入园游客量为（百人），预测值为（百人），残差为（百人）（3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，由题意可得，，，，.19.已知函数．（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明：当时，．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出；（2）令，得，构造函数，求导