【全国一卷】2026年全国普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页【全国一卷】2026年全国普通高等学校招生全国统一考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据6，8，4，5，12的中位数为(

)A.5 B.6 C.8 D.92.已知平面向量a→,b→不共线，且2A.x=2,y=−3 B.x=−2,y=3 C.3.已知集合A={sin7π6,cos5π3A.{−32,−12} B.4.曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为(

)A.y=3x+2 B.y=5x C.y=8x−3 D.y=13x−85.已知抛物线C1:y2=2p1x(p1>0)A.12 B.45 C.6 6.已知函数f(x)=x+2ex+a的最大值为1，则A.12 B.1 C.32 7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为ai(i=1,2,…,12)，其中a1=1，a2=a3=3，a4=a5=5，且a6,a7,…,a12A.2 B.4 C.6 D.88.

设U={(x1,x2,x3)|xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}

为空间中

64

个点构成的集合，点P(1,1,1)，记样本空间Ω=∁U{P}，从Ω

中随机取一个点，定义随机变量XA.−121 B.−163 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z=3+2i；则(

)A.z―=3−2i B.|z|=5 10.在空间中，A,B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1，若二面角C−AB−D为60∘，则(

)A.∠CAD≥60∘ B.CD≥3

C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD11.已知圆C1:(x+1)2+y2=1，圆C2:(x−1)2+yA.k可以取任意实数

B.满足s1=s2=s3的直线l共有3条

C.满足s1+s2+s三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线5x2−6y213.已知f(x)=2sin(ax+θ)(a∈Z,0⩽θ<2π)

是偶函数，f(x)

在区间(0,π2)

单调递增，则θ=

，f(2π14.设实数q

满足：存在数列an，使得对于任意n∈ℕ∗，均有a1+a2+⋯+a3n=n2+n，且an

中有某连续

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.直三棱柱ABC−A1B1C1

中，∠ACB=90∘，(1)

证明：DE//

平面BCC(2)

设CC1=2，直线DE

与平面ACC1A1

所成的角为45∘，求直线DE16.

已知在▵ABC

中，AB=3，BC=23，(1)

求cosA(2)

设D,E

两点满足：D

在BA

的延长线上，DE//BC，AE⊥AC.若DE=617.

设整数N≥2，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N

次，当且仅当投中

1

次时或N

次均未投中时，停止练习，设该同学每次投中的概率为p(0<p<1)，各次投中与否相互独立，记(1)

当N=4，p=13

时，求X(2)

设k,m

均为自然数，(i)

当k≤N−1

时，求P(X>(ii)

当k+m≤N−1

时，证明：P(X>k+m|X>k)=P(X>m)．18.

已知椭圆C:x2a2+y(1)

求C

的方程；(2)

设O

为坐标原点，过F

且斜率大于

0

的动直线l

与C

交于P,Q

两点，其中Q

在第三象限，直线PO

与C

的另一个交点为R．(i)

若▵PQR

的面积是▵PFO

的面积的

3

倍，求l(ii)

求tan∠PQR

的最小值．19.已知函数f(x)

的定义域为R，且当x<0

时，f(x)=2x，对任意x(1)

若当x≥0

时，f(x)=1−x，求D(−1)；(2)

若f(x)

是奇函数，f(x1)≤f(x2(3)

设f(x)

满足：①

若f(x1)≤f(x2)，则D(x2)(i)

证明：f(0)≥1；(ii)

证明：f(x)

在区间(0,+∞)

单调递增．答案解析1.【答案】B

【解析】解：因为样本数据从小到大排序为：4，5，6，8，12，所以该样本数据的中位数为6。答案：B2.【答案】A

【解析】解：因为a→,答案：A3.【答案】C

【解析】解：先计算集合A的元素：sin所以集合为A={−12答案：C4.【答案】D

【解析】解：因为y′=5+8x，y′|x=1故选D。5.【答案】D

【解析】解：先把(4,8)代入y2=2p即抛物线y2=2p1x的焦点为(4,0)；

再把(4,8)即抛物线x2=2p2y的焦点为(0,12)；

设C1

的焦点与C2

的焦点之间的距离为6.【答案】B

【解析】解：由题意得x+2ex+a≤1，即x+2≤ex+a，令g(x)=ex−x−2+a，g′(x)=ex−1，所以g(x)7.【答案】B

【解析】解：a1,a2,…,a12即1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19，设新构成的数列为bn，由an均为奇数得bn均为偶数，设bn的前n项和为Tn，所以T6=S12=108，所以b1+b6=36，即2b1+5d=368.【答案】A

【解析】解：X当X=−6

时，A(−2,−2,−2)

共

1

个点，∴当X=−5

时，A(−2,−2,−1)

共

3

个点，∴当X=−4

时，A(−2,−1,−1)

共

3

个点，∴当X=−3

时，A(−2,−2,1)

或A(−1,−1,−1)

共

4

个点，∴当X=−2

时，A(1,−1,−2)

或A(2,−2,−当X=−1

时，A(−1,−1,1)

或A(−2,−1,2)

共

9

个点，∴当X=0

时，A(−1,−1,2)

或A(1,1,−2)

共

6

个点，∴∴E(X)=−3×49.【答案】ACD

【解析】解：对于A，z=3+2i的共轭复数为z=3−2i，A正确；

对于B，z=3+2i的模为z=32+22=13，B错误;

对于C，z2=(3+2i)210.【答案】BC

【解析】解：对于A，如图1，二面角C−AB−D为60∘，则∠CBD=60∘，但∠CAD

对于B，当AB⊥平面BCD时，CD最小，

由余弦定理：CD2=22+12对于C，如图2，当AB⊥CD时，过D作DH⊥AB，

则AB⊥平面DCH，故AB⊥CH，∠CHD=60∘，

由余弦定理得CD=3，故CD⊥DH，

又AB⊥CD，AB∩对于D，如图3，当AB⊥平面ACD时，AC与AD不垂直，故D错误．

故选BC．11.【答案】BCD

【解析】解：由题意，▵C1C2C3为正三角形，且三个圆两两外切，

由题意得C1(−1,0)，C2(1,0)，C3(0,3)，三圆半径均r=1;

直线l:y=kx+b⇔kx−y+b=0，圆心到直线距离：di=|k⋅xCi−yCi+b|k对于B，因为s1=s2=s3⇔d1=d2=d3，

即：|b−k|=|b+k|=|b−3|.

因为|b−k|=|b+k|⇔4kb=0，

分两种情况： ①当k=0时，直线y=b，|b|=|b−3|，所以b=32，直线y=32;

 ②b=0:直线y=kx，|k|=|3|，所以k=±3，直线y=3x，y=−3x，

三条直线均满足di=32<1，满足相交条件，共3条，B正确．

对于C，设圆心到直线的距离为di，则1−d12+1−d22+1−d32=32，

令

对于D，当b=0时，l:y=kx，

圆心到直线的距离d1=d2=|k|k2+1,d3=3k2+1，

弦长s1+s2+s3=4综上，选BCD．12.【答案】66【解析】解：由双曲线方程5xx215−y216离心率e=c答案：13.【答案】3π2【解析】解：由f(x)

是偶函数，得f(−x)=f(x)，即：2sin(−ax+θ)=2sin(ax+θ)，

利用三角恒等变换，可得sin(ax)cosθ=0

对所有x

成立，

故cosθ=0若θ=π2，则f(x)=2cos(ax)，此时f(x)

若θ=3π2，则f(x)=−2cos(ax)，在(0,π2)

单调递增，需满足0<|a|⋅π2答案：3π2；114.【答案】33【解析】解：令S3nS3n−S3(n−1)=a3n−2+a3n−1+a3n=2n

q3=2(n+2)2(n+1)

当n=1

时，答案：315.【答案】解：(1)证明：连接BC1，

D为AB中点，E为AC1中点，故DE为△ABC1的中位线，∴DE//BC1，

又BC1⊂平面BB1C1C，DE⊄平面BB1C1C，

∴DE//平面BB1C1C;

(2)由(1)DE//BC1

则直线DE与平面ACC1A1所成的角，就是直线BC1与平面ACC1A1所成的角，

因∠ACB=90∘，得BC⊥AC，

又直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

BC⊂平面ABC，则CC1⊥BC，

CC1∩AC=C,CC1,AC⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

所以CC1是BC1在平面ACC1A1内的射影，

从而∠CC1B就是直线BC1与平面ACC1A1所成的角，

据题意得∠CC1B=45°，

得△CC1B是一个等腰直角三角形，从而AC=CC1=2，

直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

AC⊂平面ABC，则【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：(1)在△ABC中，AC所以AC=3．则cosA=(2)

由(1)可知cosA=13，

已知cosB=33，则sinB=1−(33)2=63，

因为D在BA的延长线上，且DE//BC，AE⊥AC，即∠CAE=90∘，

在△ADE中，已知DE=6，∠ADE= 180°−B，∠DAE=90∘−∠BAC，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)当N=4,p=13时，X的所有可能取值为1，2，3，4，

P(X=1)=13，

P(X=2)=(1−13)×13=29，

P(X=3)=(1−13)2×13=427，

P(X=4)=(1−13)3=827，

故X的分布列为：

(2)(i)当【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解(1)由题意得，c=1，e=ca=又b2=a(2)设l:y=k(x+1)(k>0)，P(x1联立y=k(x+1)x24+y由韦达定理得x1+x2(i)由题意易知S△PQR=2因为k>0，点Q在第三象限，所以x2<−1，又x1>x2，y1因为S△PQR=3S△PFO，所以k(x1+1)=−2k(由x1+x2=−8k由x1x2=4解得k=52．

(ii)设直线l的斜率为k，易知kPQkQR故tan因为k>0，所以tan∠PQR=4(k+34k)≥4⋅2故tan∠PQR的最小值为4

【解析】略19.【答案】解：(1)f(−1)=2−1=12，因为D(−1)={d∈R|f(−1+d)>12}，

令t=−1+d，解f(t)>12．

若t<0时，f(t)=2t，2t>12=2−1，易知y=2x单调递增，故t>−1，则−1<t<0;

若t≥0时，f(t)=1−t，则1−t>12，解得t<12，则0≤t<12．

综上所述，t的取值范围是(−1,12).

代入t=−1+d可得−1<−1+d<12，则0<d<32，

故D(−1)={d∈R|0<d<32}.

(2)因为f(x)是奇函数，所以x>0时，−x<0，f(x)=−f(−x)=−2−x，f(0)=0．

则f(x)=2x,x<00,x=0.−2−x,x>0．

当x<0时，f(x)∈(0,1)，d∈D(x)，等价于f(x+d)>f(x)>0，

则x+d<0，且2x+d>2x，d<−x，且d>0，所以D(x)=(0,−x)．

当x>0时，f(x)∈(−1,0)，d∈D(x)，等价于f(x+d)>−2−x．

若x+d<0，f(x+d)>0>−2−x，得d<−x:

若x+d=0，f(0)=0>−2−x，得d=−x;

若x+d>0，f(x+d)=−2−(x+d)>−2−x，

则−(x+d)<−x，得d>0，

所以D(x)=(−∞,−x]∪(0，+∞).

已知f(x1)≤f(x2)且x1x2≠0.

 ①若x1<0，x2<0，2x1≤2x2，x1≤x2<0，−x1≥−x2>0，D(x1)=(0,−x1)，D(x2)=(0,−x2).

因为(0,−x2)⊆(0,−x1)，所以D(x1)⊇D(x2).

 ②若x1>0，x2>0，−2−x1≤−2−x2，−x1≥−x2，0<x1≤x2，D(x1)=(−∞,−x1]∪(0，+∞)，D(x2)