2025-2026学年辽宁大连铁路职工子弟中学高一下册期中测试数学试题 含解析

/数学满分150分，答卷时间120分钟．第Ⅰ卷（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则角的终边位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（）A. B. C. D.13.已知，，且，则与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.4.若，则（）A. B. C. D.5.若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.6.已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撤离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（）A. B. C. D.8.在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列式子化简正确的是（）A. B.C. D.10.设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（）A.若，，，则三角形有两解B.若，则为等腰三角形C.若，则为锐角三角形D.若是锐角三角形，则11.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.，频率为，初相为B.函数的图象关于直线对称C.函数在上的值域为D.若在上恰有4个零点，则m的取值范围是第Ⅱ卷（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_____．13.已知向量，将绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标________.14.在中，若，，则的面积最大值为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.16.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．17.在中，角，，的对边分别为，，．且满足．（1）求角的大小；（2）已知，，在边上，且满足，求的长．18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若是线段的中点，且，求的面积；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.19.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．

数学满分150分，答卷时间120分钟．第Ⅰ卷（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则角的终边位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角的终边位于第四象限.2.（）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：本题先利用诱导公式进行化简，再利用两角和正弦公式，即可得到结果.解答过程：，故选：C.3.已知，，且，则与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据模长公式可得，即可由夹角公式求解.解答过程：由题意，，，又，所以，．故选：B．4.若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由已知化简求得，利用二倍角公式进行弦化切求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可.解答过程：由题意可得，解得，显然，，于是.5.若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意求得，再利用向量在向量上的投影向量公式求解.解答过程：由，，得，所以.所以向量在向量上的投影向量为，故B正确.6.已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，即，化简得，令，当时，，由题意可知，要使在区间上没有零点，则函数在上的图象与直线无交点，由余弦函数性质可知，，解得，即的取值范围为.7.胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撤离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在中，由正弦定义求，在中由正弦定理求，再解三角形求即可.解答过程：由已知在中，，，，所以，在中，，，所以，又，由正弦定理可得，所以，所以，在中，，，，所以.故选：C.8.在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出，利用是锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.解答过程：由题意得，代入余弦定理，化简得，由正弦定理得：，由于，代入化简得，因为，则，又因为正弦函数在上单调递增，所以，即，则，因为是锐角三角形，所以有，解得，则，，令，则有二次函数，由于二次函数的对称轴，因此函数在上单调递增，因此，故C正确.方法提示：本题的关键是利用三角恒等变换与解三角形的相关知识化得，从而得到的取值范围，进而利用正弦定理的边角变换与三角恒等变换即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列式子化简正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.10.设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（）A.若，，，则三角形有两解B.若，则为等腰三角形C.若，则为锐角三角形D.若是锐角三角形，则答案：BCD解析：思路：对于A，利用正弦定理，得到，结合即可判断；对于B，利用正弦定理结合恒等变形可得，即；对于C，由正切和角公式可得，结合三角形角的范围可得，，中不存在负数即可判断；对于D，在锐角三角形中，，进而得到，同理可得，再相加即可判断．解答过程：对A，由，则，故．又，故．而，故A只可能有一解，因此三角形有唯一解，故A错误；对B，由，结合正弦定理，可得．所以，于是，故是等腰三角形，所以B正确；对C，，整理得，又中至多一个角大于，故，，至多有一个负数，因此，，中不存在负数，故是锐角三角形，所以C正确；对D，若是锐角三角形，则，所以，于是，同理可得，故，故D正确．11.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.，频率为，初相为B.函数的图象关于直线对称C.函数在上的值域为D.若在上恰有4个零点，则m的取值范围是答案：BD解析：思路：利用函数的图象求出，进而根据相关定义即可求解A，代入验证是否为最值即可求解B，利用整体法结合三角函数的性质即可求解CD.解答过程：根据函数的图象，，，故，所以；当时，，所以，，整理得，，由于，所以当时，，故．对于A，，频率为，初相为，故A错误；对于B：当时，，故B正确；对于C：由于，故，故，故C错误；对于D：，则，若在上恰有4个零点，则，解得，故的取值范围是，D正确．故选：BD．第Ⅱ卷（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_____．答案：2解析：思路：根据和差角公式展开，即可得求解.解答过程：由可得，故，则.13.已知向量，将绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标________.答案：解析：思路：由条件得，设，则，，再求的正弦和余弦，然后由坐标，，即可求出结果．解答过程：，设，则，，设,，则，，故，故14.在中，若，，则的面积最大值为_____.答案：解析：思路：根据两角和差公式以及正弦定理化简得出，再利用余弦定理得出，最后利用面积公式以及基本不等式求最值.解答过程：因，则，则由正弦定理可得，，因，则，则由余弦定理得，则，则，因，则，等号成立时，则，故的面积最大值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.答案：（1）或.（2）且.解析：思路：（1）先设的坐标，再利用向量垂直关系得到向量积为0和它的模已知列方程组求坐标；（2）利用向量夹角为锐角，肯定向量积大于0，但要注意检验是否有可能夹角为0即可.（1）由，可得，设，则由，可得，又因为，可得，联立方程组解得：或即或.（2）由与的夹角为锐角，可得，代入，可得：，解得，当时，，可得，解得：，此时满足，即同向共线，所以夹角要排除为0的情形，综上可得与的夹角为锐角时，且.16.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）；（2）解析：解答过程：分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17.在中，角，，的对边分别为，，．且满足．（1）求角的大小；（2）已知，，在边上，且满足，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用两角和的余弦公式结合三角形内角和计算求解；（2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形．（1）由得，即，，即，，又，．（2）已知，，，在边上，且满足，，，，在中，由余弦定理得，在中，已知，则，解得．18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若是线段的中点，且，求的面积；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角；（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.（1），，，，，又，，，.（2）由（1）及余弦定理得，即，①又因为，则，则，即，所以，②由②①得，所以.（3）由（1）得，则，即，由正弦定理可知，所以.因为为锐角三角形，所以，即，则，即，则，故的周长的取值范围为.19.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．答案：（1）（2）最大值为，最小值为（3）解析：思路：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对进行化简，根据正弦函数性质列不等式计算即可求出答案；（2）利用换元法令，