湖北武汉市黄陂区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北武汉市黄陂区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=13−i2，其中i为虚数单位，则zA.110 B.1010 C.2.已知数据x1，x2，⋯，x10的平均数为4，数据y1，y2，⋯，y8的平均数为5，则数据x1，x2，⋯，x10，y1A.102 B.389 C.1333.设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是(

)A.若m//α，α//β，则m//β

B.m⊥n，n⊥α⇒m//α

C.若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n

D.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β4.已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于(

)A.π+3π B.3π C.4π+25.将函数f(x)=cos2x+π3的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则φA.π12 B.π4 C.5π126.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，动点P满足A.四棱锥P−A1ABB1 B.四棱锥P−A1AC7.若非零向量m，n满足m=m+n，则3m−A.−52n B.−2n C.8.记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanC=1−sinAcosAA.(1,+∞) B.[42−5,+∞) C.[4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)

A.在△ABC中，若A<B，则sinA<sinB

B.数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3

C.若tanAa2=tanBb10.已知等边三角形ABC的边长为2，BD=λBC，CE=λCA(0<λ<1)，AD交BE于点A.若λ=13，则AD=13AC+23AB

B.若MA+MB+MC=0，则11.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD=AD=2，PD⊥平面ABCD，E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面α，则下列说法正确的是(

)A.存在点E，使得DE⊥PB

B.存在点E，使得二面角E−AC−D为π6

C.存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为π6

D.存在点E，使得截面α三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x1，x2，⋯，x8的方差为43，则3x1−2，3x213.在▵ABC中，D为边BC上一点，AC⊥AD，AD=23，AB=32BD，且▵ACD的面积为23，则14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱DD1上一点，满足MD=1，F为正方形AA1D1D四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平面上的两个向量a=(1)若a与b平行，求tanα(2)若a+b与5a−216.(本小题15分)为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有参与者中随机抽取了100人的成绩(均为整数)作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图(最低40分，最高100分)．(1)求频率分布直方图中a的值，并求出样本中成绩在60分以上的人数；(2)若划定成绩大于或等于第75百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参与者的成绩在“良好”以上等级的范围；(成绩取整数)(3)已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为88，方差为18，成绩在80,90内的平均数为86，方差为2，求成绩在90,100内的平均数和方差．(设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x1，x2方差分别为s117.(本小题15分)已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60∘，△PDB是等边三角形．

(1)求证：平面PBD⊥平面ABCD(2)求点D到平面PBC的距离；(3)若点E是线段AD上的动点(包括端点)，设直线PE与平面PBC所成的角为θ，求sinθ的取值范围．18.(本小题17分)如图，在▵ABC中，C=π6，BC=23，BD是(1)求BD；(2)若M，N是线段BD上的动点(包括端点)，且∠MAN=π3，记∠DAM为(i)用tanθ表示DM(ii)求▵MAN面积的最小值．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=3，AD=4，∠DAB=π3，M为BC的中点，点P在平面ABCD内的射影为点H，且(1)求证：PA⊥DM；(2)当△PAB为等边三角形时，求点H到平面PBC的距离；(3)若PA=m(m>21),∠PAH=θ，记三棱锥P−ABH的外接球表面积为f(θ)，当函数f(θ)取最小值时，二面角B−PC−D的大小为π2−θ1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】12

13.【答案】214.【答案】[15.【答案】解：(1)∵a与b平行，(2)∵a+b与5即5a故3即sin由于0≤α<2π，所以π6≤α+π6<故α=0或2π

16.【答案】(1)由10×0.004+a+0.034+0.030+0.018+0.006所以样本中成绩在60分以上的人数为：100×1−10×(2)因为0.04+0.08+0.34=0.46，0.46+0.30=0.76，所以成绩的第75百分位数在区间70,80内，由70+0.75−0.46因为成绩为整数，所以成绩在80,100的可以评为“良好”以上等级．(3)设成绩在90,100的平均数为x，方差为s2由88=0.180.18+0.06×86+由18=0.180.18+0.06×所以成绩在90,100内的平均数为94，方差为18．

17.【答案】(1)证明：∵点P在底面ABCD上的射影为AC与BD的交点O，

∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PBD，故平面PBD⊥平面ABCD；(2)解：由题意可得

▵ABD

､

▵BCD

与

▵PBD

都是边长为2的等边三角形，∴PO=AO=CO=3

，

S∴PC=PO2+CO2=6

设点

D

到平面

PBC

的距离为

h

，

由

VD−PBC=VP−BDC

得即

152h=3×3

，解得

h=2155

．

故点(3)解：设直线

PE

与平面

PBC

所成的角为

θ

，

∵AD//BC,AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD//平面PBC

，∴E

到平面

PBC

的距离即为

D

到平面

PBC

的距离

h

．过

E

作垂线

EF⊥

平面

PBC

交于点

F

，则

θ=∠EPF

，此时

sinθ=EFPE=2155PE

，

PE2=PO2+OE2=3+OE2，

当

OE⊥AD

时

OE

最小为

32，此时

PE

最小为

152；

当

E

与

A

重合时

OE

最大为∴

10

18.【答案】解：(1)在▵BCD中，C=π6，BC=2由余弦定理BD得到BD2=(2)(i)因为BD=CD=2，得∠DBC=C=π又BD是∠ABC的角平分线，故∠ABC=π3，在Rt▵ABC中，AB=BC⋅cosπ3=又∠ADB=π−π6−π2=π在△ADM中，由正弦定理得DMsin又AD=1，所以DM=sin由M,N在线段BD上，且∠MAN=π3，A=π所以DM=2tanθ(ii)因为∠DAN=θ+π3，在▵ADN中，由正弦定理ANsin∠ADN=在△ADM中，由正弦定理AMsin∠ADM=又▵MAN的面积S=1所以S=又sin (2π3所以sin2π所以S=3341+2cos则Smin=3

19.【答案】解：(1)证明：由题意知PH⊥平面ABCD，

∵DM⊂平面ABCD，∴PH⊥DM，

∵AH⊥DM，PH∩AH=H，AH，PH⊂平面PAH，

∴DM⊥平面PAH，

∵PA⊂平面PAH，∴PA⊥DM．

(2)如图，作HE⊥AB，HF⊥BC，垂足分别为E，F，连接PE，PF，

若△PAB为等边三角形，则E为AB中点，

∵PH⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则PH⊥BC，

∵HF⊥BC，PH∩HF=H，HF，PH⊂平面PHF，∴BC⊥平面PHF，

∵PF⊂平面PHF，∴BC⊥PF，

对于平面四边形ABCD，以A为坐标原点，AB为x轴，在平面ABCD中，过A作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(3,0)，C(5,23)，D(2,23)，M(4,3)，E(32,0)，

设H(x,y)，则AH=(x,y)，DM=(2,−3)，

若AH⊥DM，则AH⋅DM=2x−3y=0，∴y=23x，

∵E为AB中点，∴x=32，则y=3，即H(32,3)，

由B(3,0)，C(5,23)，可知直线BC：y=3(x−3)，且BC=(2,23)，

设F(a,3(a−3))，则HF=(a−32,3a−43)，

由HF⊥BC，得HF⋅BC=2a−3+6a−24=0，

解得a=278，即HF=(158,−538)，

则AH=212，HF=534，

∴三棱锥P−HBC的高PH=PA2−AH2=152，

在△PBC中，边BC的高PF=PH2+HF2=3154，

设点H到平面PBC的