2026年中考数学一轮通关秘籍：圆几何压轴高频模型

初中绝密★启用前2026年中考数学一轮通关秘籍《圆》核心模板专项突破（人教版）解答题：本题共10小题，共100分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1.(本小题10分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

(1)证明：OD//BC;(2)若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切;(3)在(2)的条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF.若BC=1，求EF的长．2.(本小题10分)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB=26，求3.(本小题10分)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG//BC．

(1)求证：DG是⊙O的切线；

(2)若DE=6，BC=63，求优弧BAC的长4.(本小题10分)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．

(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长．

5.(本小题10分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

(1)求证：AE=AB；

(2)若AB=10，BC=6，求CD的长．6.(本小题10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为AC的中点，过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E．

(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为5，AB=8，求CE的长．

7.(本小题10分)如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD=∠A．

(1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)若E为AB中点，BD=12，sin∠BED=35，求BE的长．

8.(本小题10分)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF=1．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)求线段OF的长度．9.(本小题10分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE//AB，交CB的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若∠BAC=30∘，BC=2210.(本小题10分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．

(1)求证：DC是⊙O的切线；

(2)若OAOD=23，BE=3

2026年中考数学一轮通关秘籍《圆》核心模板专项突破（人教版）答案和解析1.【答案】【小题1】证明：如图，连接OC，则OC=OA．∵AD=DC，∴OD垂直平分AC，∠AEO=90∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90∴∠ACB=∠AEO，∴OD//BC．【小题2】证明：∵tan∠ABC=∴设BC=a，则AC=2a，∴AD=AB=∵OE//BC，且AO=BO=1∴OE=12BC=在Rt△AED中，DE=在△AOD中，AOOD∴AO∴∠OAD=90又∵OA为⊙O的半径，∴DA与⊙O相切．【小题3】解：如图，连接CF，AF，由(2)得AE=CE=12AC∴AE=CE=BC=1．∵CF∴∠CBF=∠EAF．又∵AB=AD，∠OAD=90∴△ABD为等腰直角三角形．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90∘，即∴F为BD的中点，∴AF=BF．在△CBF和△EAF中，BC=AE,∴△CBF≌△EAF(SAS)，∴EF=CF，∠EFA=∠CFB，∵∠EFA+∠EFB=90∴∠CFB+∠EFB=90即∠EFC=90∴△CFE为等腰直角三角形．∵CE=1，∴EF=CF=2.【答案】【小题1】证明：连接OA，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90∘，∴∠OAC+∠OAD=90∘，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠BAC=∠ADB，∴∠BAC+∠OAC=90∘，即∠BAO=90∘，∴AB⊥OA，又【小题2】解：∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，∴▵BCA∽▵BAD，∴ACAD=BCAB，设半径OC=OA=r，∵BC=2OC，∴BC=2r，OB=3r，在Rt▵BAO中，AB=【小题3】解：在(2)的条件下，AB=22r=26，∴r=3，∴CD=23，在Rt▵CAD中，ACAD=22，∴AC=2，AD=23.【答案】(1)证明：连接OD交BC于H，如图，

∵点E是△ABC的内心，

∴AD平分∠BAC，

即∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴OD⊥BC，BH=CH，

∵DG/​/BC，

∴OD⊥DG，

∴DG是⊙O的切线；

(2)解：连接BD、OB、OC，如图，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠ABE=∠CBE，

∵∠DBC=∠BAD，

∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE，

∴DE=DB=DC=6，

∵BC=63，

∴∠BDC=120∘，由圆内接四边形对角互补可得，∠BAC=60∘

∴∠BOC=120°，【解析】(1)连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则BD=CD，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH=CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；

(2)连接BD、OB，如图，先证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6，再利用正弦定义求出∠BDH=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6，则∠BOC=120°，然后根据弧长公式计算优弧BAC的长．4.【答案】解：(1)直线DE与⊙O相切，理由如下：

连结OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD//AC，

∵DE⊥AC，即∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

(2)过O作OG⊥AF于G，

∴AF=2AG，

∵∠BAC=60°，OA=2，

∴AG=12OA=1，

∴AF=2，

∴AF=OD，

由(1)知，OD//AC，

∴四边形AODF是平行四边形，

又∵AF=AO，

∴四边形AODF是菱形，

∴DF/​/OA，DF=OA=2，

∵∠EFD=∠BAC=60°，

∴EF=【解析】本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理，以及菱形的判定与性质．

(1)连结OD，根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义推出OD/​/AC，进而可得出结论；

(2)过O作OG⊥AF于G，得到AF=2AG，根据直角三角形的性质得到AG=12OA=1，AF=2，推出四边形AODF是菱形，得到DF//OA5.【答案】解：(1)证明：连接AC、OC，如图，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵CD⊥AD，

∴OC//AD，

∴∠OCB=∠E，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠B，

∴∠B=∠E，

∴AE=AB；

(2)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC=102−62=8，

∵AB=AE=10，AC⊥BE，

∴CE=BC=6，【解析】本题考查的是切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线的判定与性质有关知识．

(1)连接AC、OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC//AD，得到∠OCB=∠E，然后证明∠B=∠E，从而得到结论；

(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6，然后利用面积法求出CD的长．6.【答案】解：(1)DE与⊙O相切．

理由：连接OD．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°．

∵D为AC的中点，

∴AD=CD，

∴AD=CD，

∴∠ACD=45°．

∵O是AC的中点，

∴∠ODC=45°．

∵DE//AC，

∴∠CDE=∠DCA=45°，

∴∠ODE=90°，

∴DE与⊙O相切．

(2)∵⊙O的半径为5，

∴AC=10，

∴AD=CD=52，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC=90°．

∵AB=8，

∴BC=6．

∵∠BAD=∠DCE，

∵∠ABD=∠CDE=45°，

∴△ABD∽△CDE，

∴ABCD=【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

(1)连接OD，由AC为⊙O的直径，得到∠ADC=90°，根据AD=CD，得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠CDE=∠DCA=45°，求得∠ODE=90°，于是得到结论；

(2)根据勾股定理得到AD=CD=52，由圆周角定理得到∠ABC=90°，求得BC=6，证明7.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠ABD=90°．

又∵∠A=∠CBD，

∴∠CBD+∠ABD=90°，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC．

又∵AB是⊙O的直径，

∴BC为⊙O的切线；

(2)解：如图，连接AE．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=∠ADB=90°．

∵∠BAD=∠BED，

∴sin∠BAD=sin∠BED=35，

∵在Rt△ABD中，sin∠BAD=BDAB=35，BD=12，

∴AB=20．

∵E为AB的中点，

∴AE=BE，

∴△AEB【解析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定，由锐角三角函数定义求出直径是解决问题(2)的关键．

(1)由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°，得出∠ABC=90°，即可得出结论；

(2)连接AE.由圆周角定理得出∠BAD=∠BED，由锐角三角函数定义求出直径AB=20，由圆心角、弧、弦的关系证出AE=BE，得出△AEB是等腰直角三角形，得出∠BAE=45°，由锐角三角函数定义即可得出结果．8.【答案】(1)证明：连接OD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=∠A=60o，

∵OC=OD，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠CDO=∠A=60o，

∴OD//AB，

∵DF⊥AB，

∴∠FDO=∠AFD=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

(2)解：∵OD//AB，OC=OB，

∴OD是△ABC的中位线，

∵∠AFD=90°，∠A=60o，

∴∠ADF=30°，

∵AF=1

∴CD=OD=AD=2AF=2，

由勾股定理得：DF2=3，

在Rt△ODF中，OF=【解析】(1)连接OD，根据等边三角形及圆的性质求出OD/​/AB，再由DF⊥AB，推出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；

(2)由∠A=60o，OD⊥DF，AF=1可求得AD，AF，AB的长度，再根据中位线性质求出OD的长度，根据勾股定理即可求得OF的长．

本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用“锐角9.【答案】(1)证明，如图1，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∴∠ABD=∠ACD=∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=45∵DE//AB，∴∠BDE=∠OBD=45∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=90∴OD⊥DE∵OD为⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线．(2)解：如图2，过点B作BF⊥CD于点F，∴∠BFC=∠BFD=90∵∠BCD=45∴∠CBF=45∴BF=CF．在Rt△BFC中，BC=2根据勾股定理，得BF=CF=2，∵BC∴∠CDB=∠BAC=∴BD=2BF=4，在Rt△BFD中，根据勾股定理，得DF=2∴CD=CF+DF=2+2

【解析】(1)连接OD.根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90∘.再根据角平分线，得∠ACD=∠BCD=45∘，进而得∠ABD=∠ACD=45∘，又由∠ODB=∠OBD=(2)如图2，过点B作BF⊥CD于点F，先证明BF=CF.再根据勾股定理得BF=CF=2，根据含30°角的直角三角形的性质得BD=2BF=4，进而利用勾股定理即可求解．10.【答案】(1)证明：连接OC，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵∠ABC=∠DCA，

∴∠OCB=∠DCA，

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠DCA+∠ACO=90°，

即∠DCO