2025-2026学年广东广州铁一中学九年级下学期诊断性调研数学试题及答案

初中2025学年第二学期诊断性调研九年级数学学科第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分．在每小题的选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.下列实数中，无理数是（）A. B.0 C.3.14 D.2.我国科学家为建造月球基地，模拟月壤成分烧制出一种具有互锁结构的“月壤砖”（如图1），图2是“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（）A. B. C. D.3.下列运算中，结果正确的是（）A. B. C. D.4.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D.5.为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（）A.中位数是15万件 B.众数是15万件 C.平均数是14万件 D.方差是06.如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（）A.5 B.6 C.3 D.77.已知是的三条边，化简的结果为（）A. B. C. D.08.小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（）A.小明家和学校距离米 B.小华乘公共汽车的速度是米/分C.小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D.小明从家到学校的平均速度为米/分9.如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（）A. B. C. D.10.若点，，，，均在抛物线上，且，则的大小关系是（）A. B. C. D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度到点，则点的坐标是______．12.据相关部门统计，年春节假期中国高铁站客流量比往年有了较大增长，其中广州南站达到人次，将用科学记数法表示为________．13.方程的解为_______．14.某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）．15.一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________．16.如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是_______．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解不等式组18.如图，已知在中，．点D在上，且，过点A作于点A，，求证：．19.先化简，再求值：，其中．20.为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生．中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：（1）本次参加测评人数为人，并补全条形统计图；（2）现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少?21.如图，是的内接三角形，AB是的直径．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作的切线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的切线交AB的延长线于点D，当时，求点C到直线AB的距离．22.如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P为线段AB上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标．23.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测量学校综合楼及宣传牌的高度测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象综合楼，宣传牌，AB为山坡测绘过程与数据信息①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，②测得，，斜坡AB的坡角为．③用计算器计算得：，，，3≈1.73．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）：（1）求综合楼的高度；（2）求宣传牌的高度．24.【问题探究】（1）如图1，在中，，D为的中点，连接，则与的位置关系是．（2）如图2，在中，，E是线段上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点M和点N分别是边的中点．试探究和的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点E（不与点B、D重合）．连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域，用来种植新品有机蔬菜，并在F处设立蔬菜仓库．G点和D点为基地的两个蔬菜打包装运点，G在上且．现要沿修建蔬菜运输轨道，请求出运输轨道的最小值．并直接写出当最小时，有机蔬菜种植区域的面积（即的面积）．25.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．（3）设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围．

2025学年第二学期诊断性调研九年级数学学科第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分．在每小题的选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.下列实数中，无理数是（）A. B.0 C.3.14 D.【答案】D【解析】【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数．【详解】解：选项A、是分数，属于有理数；选项B、是整数，属于有理数；选项C、是有限小数，属于有理数；选项D、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数．2.我国科学家为建造月球基地，模拟月壤成分烧制出一种具有互锁结构的“月壤砖”（如图1），图2是“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上面看得到的图形是3.下列运算中，结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，因此A错误．B选项，，运算正确，因此B正确．C选项，，因此C错误．D选项，，因此D错误．4.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用根的判别式进而得出k的取值范围．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴．故选B．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．5.为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（）A.中位数是15万件 B.众数是15万件 C.平均数是14万件 D.方差是0【答案】A【解析】【分析】根据折线统计图读出这10台机器人的分拣数量，分别计算出众数、中位数、平均数和方差，然后对各选项进行判断即可【详解】解：由折线统计图可知，这10台机器人每周分拣快递数量（单位：万件）分别为：

，数据共有10个，排序后第5个和第6个数据均为15中位数为，故选项A正确；14和16均出现了3次，出现次数最多众数是14和16，故选项B错误；平均数平均数是15万件，故选项C错误；方差，故选项D错误．6.如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（）A.5 B.6 C.3 D.7【答案】D【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案；【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上，∴，∵，的周长为15，∴，∴．7.已知是的三条边，化简的结果为（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可．【详解】解：a，b，c是的三边长，，，则，，，，原式，故选：B．8.小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（）A.小明家和学校距离米 B.小华乘公共汽车的速度是米/分C.小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D.小明从家到学校的平均速度为米/分【答案】C【解析】【详解】解：由图象可知小明家和学校距离米，故A选项正确，不符合题意，小华乘公共汽车的速度是（米/分），故B选项正确，不符合题意，∵小华与小明在从家到学校已走米处相遇，此时，小明在吃早餐，∴相遇时，小明所用时间为（分钟），∵小明出发去学校，∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇，故C选项错误，符合题意，小明从家到学校的平均速度为（米/分），故D选项正确，不符合题意．9.如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解．【详解】解：如图，连接．矩形中，，，，分别是和的中点，，以此类推，，，……，．10.若点，，，，均在抛物线上，且，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把点A和点B坐标代入得出，再求出，求出该抛物线与x轴的两个交点坐标，结合，在抛物线上，得出，点在点B的左边，，，即可得出，进而得出对称轴的取值范围，最后根据该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可比较函数值的大小．【详解】解：把，代入得：，整理得：，得：，整理得：，∴该抛物线的对称轴为直线，当时，，解得：，，即该抛物线与x轴的交点坐标为：，∵，在抛物线上，∴当时，y随x的增大而减小，该抛物线开口向下；∴点在点B的左边，∴，，整理得：，∴，则，∴点C离对称轴的距离：，即，点D离对称轴的距离：，即，点E离对称轴的距离：，即，∵该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意得出对称轴的取值范围，掌握当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度到点，则点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减求解即可．【详解】解：∵将点向左平移2个单位长度到点，∴点的横坐标为，纵坐标不变，∴的坐标为．12.据相关部门统计，年春节假期中国高铁站客流量比往年有了较大增长，其中广州南站达到人次，将用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【详解】解：．13.方程的解为_______．【答案】【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解.【详解】解：原方程整理为方程两边同乘最简公分母，得：去括号，得：移项，合并同类项，得：检验：当时，因此是原分式方程的解.14.某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）．【答案】【解析】【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可．【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为，圆锥的底面周长为，扇形木纸板的半径为，扇形木纸板的面积为，15.一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________．【答案】【解析】【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于、的方程组，利用可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得到值，进而得出的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【详解】解:设矩形的长为，宽为，由题意可得：得：③，将③代入②，得：，整理，得，解得：，（舍去），所以，所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：．16.如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是_______．【答案】##【解析】【分析】如图，连接AC，OC．证明点N在⊙T上，运动轨迹是，过点T作TH⊥AB于H．求出BT，TN，可得结论．【详解】解：如图，连接AC，OC．∵C是半圆的三等分点，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．∵OM⊥PC，∴CM＝PM，∴NC＝NP，∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，∴∠CNM＝60°，∴∠CNO＝120°，∵CNO＋∠OAC＝180°，∴点N在⊙T上，运动轨迹是，过点T作TH⊥AB于H．在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，∴TH＝AH•tan30°＝，∴AT＝TN＝2HN＝2，在Rt△BHT中，BT＝，∵BN≥BT−TN，∴BN≥，∴BN的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解不等式组【答案】【解析】【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∴不等式组的解集为．18.如图，已知在中，．点在上，且，过点作于点，，求证：．【答案】证明：，，，，在和中，，，．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明后，利用全等三角形的性质即可得到．【详解】略19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：，当时，原式．20.为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生．中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：（1）本次参加测评人数为人，并补全条形统计图；（2）现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少?【答案】（1）100；（2）【解析】【分析】（1）因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得到B等级人数，补全条形统计图；（2）先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果数，根据概率公式计算对应概率．【小问1详解】解：等级有20人，占总人数的，总人数为：（人），等级人数：人；等级人数：（人）．补全条形图略【小问2详解】记2名等级同学为，，2名等级同学为，，列表得所有等可能的抽取结果：

共12种等可能的结果，其中恰好1名等级、1名等级的结果有8种，恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率为．21.如图，是的内接三角形，是的直径．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作的切线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的切线交的延长线于点D，当时，求点C到直线的距离．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接并延长，过点C作的垂线即可；（2）作交于E，设，则，，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等面积法计算即可．【小问1详解】解：如图，【小问2详解】解：如图，作交于E，∵，∴，设，则，，∵是的切线，∴，∴，即，解得：（舍去），，∴，∵，∴，即点C到直线的距离为．22.如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：（2）或【解析】【分析】（1）运用待定系数法，将分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式；（2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段上的一点，则有，由已知可得，，根据点C为中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标．【小问1详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为，∴将代入反比例函数中，得：，解得：，∴反比例函数的解析式为：；同理，将代入一次函数中，得：，解得：，∴一次函数的解析式为：；【小问2详解】解：设点P的纵坐标为m，∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：，∴，∵过P作y轴的垂线，垂足为H，∴，∵点C为中点，∴，∵点C在反比例函数图象上，∴，整理得：，解得：或，∴或．23.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测量学校综合楼及宣传牌的高度测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象综合楼，宣传牌，为山坡测绘过程与数据信息①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，②测得，，斜坡的坡角为．③用计算器计算得：，，，．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）：（1）求综合楼的高度；（2）求宣传牌的高度．【答案】（1）综合楼的高度为（2）宣传牌的高度为【解析】【分析】（1）直接解直角三角形，求出的长即可；（2）过B作，，解直角三角形求出的长，再根据线段的和差关系即可得出结果.【小问1详解】解：∵仰角为，，（m）．答：综合楼的高度为．【小问2详解】解：如图，过B作，，则四边形为矩形，的坡角为，，（m），（m），B处测得宣传牌顶部C的仰角为，（m），（m）．答：宣传牌的高度为．24.【问题探究】（1）如图1，在中，，D为的中点，连接，则与的位置关系是．（2）如图2，在中，，E是线段上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点M和点N分别是边的中点．试探究和的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点E（不与点B、D重合）．连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域，用来种植新品有机蔬菜，并在F处设立蔬菜仓库．G点和D点为基地的两个蔬菜打包装运点，G在上且．现要沿修建蔬菜运输轨道，请求出运输轨道的最小值．并直接写出当最小时，有机蔬菜种植区域的面积（即的面积）．【答案】（1）；（2），理由如下：如图，连接，，，，，，，，∵，，∴，∵，∴，，，，，，，即，，，．（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定得出，进一步根据，即可推出，即证；（2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明；（3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，过作,交于点，利用相似性质得出，即可进一步求的面积．【小问1详解】解：由题意知，在与中，，，，，，又（平角定义），，即．【小问2详解】略【小问3详解】取中点，连接，过作，交于，由正方形可得,，,，，,是等腰直角三角形，从而确定出的运动轨迹即如下图：,，即最小值等于最小值,由两点之间线