2025-2026学年广东省汕尾市陆丰市高二下册期中教学质量监测数学试题 含解析

/数学考试时间为120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知等比数列满足，则=（）A.3 B. C.1 D.2.记为等差数列的前n项和，若，，则=（）A.78 B.84 C.90 D.963.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（）A.在单调递增 B.在处取得极大值C.在单调递增 D.在处取得最大值4.函数在区间上的平均变化率为（）A. B.b C. D.a5.已知数列则是该数列的（）A.第99项 B.第100项 C.第101项 D.第102项6.已知等差数列的前项和为，，，则=（）A. B. C. D.7.已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（）A.-1013 B.1014 C.-1014 D.10138.已知函数的定义域为，其导函数是．若，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.下列求导运算中，正确的是（）A. B.C. D.10.已知数列满足，且，记数列的前n项和为，则下列结论正确的有（）A.数列为周期数列，且最小正周期为4B.若，则是常数列C.D.11.函数f(A.若，则在单调递减，在单调递增B.若，则C.若，则存在一个极值点D.若，则恒成立三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为_________．13.已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________．14.设数列满足，，，定义，为数列的前n项和，则=_________（结果用数字作答），=_________．（结果用和表示）四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在闭区间上的最值．16.已知函数．（1）求函数的零点和极值；（2）设直线l为曲线在点处的切线，若l与曲线只有一个公共点，求a的值．17.已知数列满足，，设．（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设，记为数列的前n项和，证明：．18.设为数列的前n项和，且．数列满足，．（1）求数列和通项公式；（2）记为数列的前n项和．（i）求；（ii）若，求n的最小值．19.已知函数f(（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：f(x（3）已知，，恒有f(x)≤−ax

数学考试时间为120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知等比数列满足，则=（）A.3 B. C.1 D.答案：D解析：解答过程：在等比数列中，由，得，所以或．2.记为等差数列的前n项和，若，，则=（）A.78 B.84 C.90 D.96答案：A解析：解答过程：在等差数列中，有，所以．3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（）A.在单调递增 B.在处取得极大值C.在单调递增 D.在处取得最大值答案：C解析：解答过程：由导函数的图象，可得：当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值4.函数在区间上的平均变化率为（）A. B.b C. D.a答案：C解析：解答过程：根据平均变化率公式可得：f(5.已知数列则是该数列的（）A.第99项 B.第100项 C.第101项 D.第102项答案：B解析：解答过程：归纳可得数列的通项为，令，即，故为偶数且，解得．6.已知等差数列的前项和为，，，则=（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：利用等差数列重要性质：，，成等差数列，则，所以，所以．故C正确．7.已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（）A.-1013 B.1014 C.-1014 D.1013答案：B解析：解答过程：，求导可得，和是的两个极值点，即和是的两个根，根据韦达定理可得，，因为是等比数列，所以，因此．8.已知函数的定义域为，其导函数是．若，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设函数，，求导可得所以函数在上单调递增，易知时，，不等式f(x)>2fπ3cos在上单调递增，可得x>π3因为，因此不等式f(x)>2f二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.下列求导运算中，正确的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：解答过程：对于A，，所以A正确；对于B，1+x对于C，，所以C错误；对于D，，所以D正确．10.已知数列满足，且，记数列的前n项和为，则下列结论正确的有（）A.数列为周期数列，且最小正周期为4B.若，则是常数列C.D.答案：ABD解析：解答过程：选项A：因为，an+1=an+11−an，所以因此为周期数列，且最小正周期为4；选项B：由A可知一个周期内四项的和为，而是连续4项之和，等于，所以是常数列；选项C：因为的周期为4，所以，，，所以a2024选项D：．11.函数，则下列说法正确的是（）A.若，则在单调递减，在单调递增B.若，则C.若，则存在一个极值点D.若，则恒成立答案：ACD解析：解答过程：f(x)=令，求导可得．选项A：当时，，所以函数在单调递增，因为，所以当时，，则，函数在单调递减，当时，，则，函数在单调递增；选项B：当时，要证，即证，当时，，而，此时不成立；选项C：当时，因为，所以，在上单调递增，因为，，所以存在，使得，当时，则，函数在单调递减，当时，则，函数在单调递增，所以是函数的极小值点，因此存在一个极小值点；选项D：当时，，故，由选项C可知，当时，在处取得极小值，其中满足，即，则f(因为，所以x0+12>0，，故因此恒成立，故当时，恒成立．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为_________．答案：4解析：解答过程：，求导可得，曲线在处的切线的斜率为．13.已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________．答案：解析：思路：根据题意得出在上恒成立，然后结合导数转化为恒成立问题，即可得到结果.解答过程：由题意，函数在上单调递增，所以在上恒成立，因为，要使对任意恒成立，则对任意恒成立，记，易知在上为减函数，所以g(x)<g0=2综上，实数的取值范围是．14.设数列满足，，，定义，为数列的前n项和，则=_________（结果用数字作答），=_________．（结果用和表示）答案：①.②.．解析：解答过程：由题意可得，，，，，则，因为，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在闭区间上的最值．答案：（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）最大值为83，最小值为．解析：（1）由题意，的定义域为，且，令，解得或．当或时，；当−2<x<1时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）由（1）可知，在−3,−2,1,6上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以在闭区间上的最大值为83，最小值为．16.已知函数．（1）求函数的零点和极值；（2）设直线l为曲线在点处的切线，若l与曲线只有一个公共点，求a的值．答案：（1）极大值为0，无极小值，只有一个零点．（2）或．解析：思路：（1）利用导数判断单调性求极值，再结合极值与函数符号确定零点；（2）由导数几何意义求切线方程，与曲线方程联立，分和两种情况求解即可.（1）的定义域为，令=0，解得．令，解得，函数在上单调递增，令，解得，函数在上单调递减，当时，的极大值为，无极小值，所以函数只有一个零点．（2）的导数为，曲线在处的切线l的斜率为，则曲线在处的切线l的方程为，即．由于切线l与曲线只有一个公共点，将与联立，得①有且只有一解，当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意；当时，则，即，解得，综上，或．17.已知数列满足，，设．（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设，记为数列的前n项和，证明：．答案：（1）证明见解析，（2）证明见解析解析：思路：（1）利用构造法或等比数列的定义可证为等比数列，从而可求的通项公式；（2）利用裂项相消法结合不等式的性质可证.（1）法一：由得，即，又，故，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列．从而，故．法二：对，bn+1bn所以是首项为2，公比为2的等比数列．从而，故．（2）由（1）知，则，，∴，Sn∵，∴，∴，故得证．18.设为数列的前n项和，且．数列满足，．（1）求数列和通项公式；（2）记为数列的前n项和．（i）求；（ii）若，求n的最小值．答案：（1），；（2）（i）（ii）4．解析：思路：（1）利用前n项和与第n项的关系求出，根据给定的递推公式，利用构造常数列求出.（2）（i）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得；（ii）法1，确定数列的单调性并依次计算即可；法2，等价变形不等式，再构造函数并确定单调性求解.（1）数列中，，当时，，而，满足上式，因此；由，得，即，则数列是常数列，，因此，所以数列和通项公式分别为和.（2）（i）由（1）得，，于是，两式相减得，所以.（ii）法一：由，得，则数列单调递增，而，，，，，，，，，所以n的最小值为4．法二：由，得，即，令，则，即，即为减函数，而，，，，所以n的最小值为4.19.已知函数f(（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：；（3）已知，，恒有，求的取值范围．答案：（1）答案见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）利用导数，分类讨论的取值范围即可；（2）利用导数证明fx（3）令，构造新函数求出的范围，最后根据a≥lnx（1）由题意得，函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增，当时，令，解得，单调递增，令，解得，单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）解法一：当时，fx=lnx−x，由