2025-2026学年广东省深圳市光明区深圳实验学校光明部高二下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学第一卷一、单选题（每题4分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知点在函数的图象上，则的最小值为（

）A. B.8 C. D.3.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.27 D.244.一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（）A. B. C. D.5.已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（）2.83.35.06.77.22.64.05.15.4A.2.5 B.2.7 C.2.9 D.3.16.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.937.随机变量，则等于（

）A.16 B.8 C.5 D.48.第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（）A.0.2856 B.0.1428 C.0.1587 D.0.5二、多选题（每题6分）9.下列结论正确的是（

）A.若随机变量，则B.某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2C.若，，且，则C，D相互独立D.，，，则的值为10.如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（）A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B.由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPaC.由方程可知，当时，则预测值D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（）A.第48行的所有数字之和被7除的余数为1B.第20行第7个数和第8个数的比为C.从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为D.第行所有数的平方和等于第行最中间的数第二卷三、填空题（每题5分）12.将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有__________种.（用数字填写）13.袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．14.已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为________.（，结果保留1位小数）四、解答题15.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：（1）求的值.（2）求展开式中的系数.16.在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题.（1）如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；（2）如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；（3）如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望.17.2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格：性别不喜欢观看“赣超”联赛喜欢观看“赣超”联赛男性25150女性5075（1）是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关；（2）用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，（结果精确到0.001）．α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下：（1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度；（2）建立关于的线性回归方程；（3）若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数）（参考数据：，，，，）（参考公式：，）19.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分．（1）求甲获得3分的概率；（2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为．①求的表达式，并比较和的大小关系；②求在上的最大值及取得最大值时的值．

数学第一卷一、单选题（每题4分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解.解答过程：由可得，结合，由于,故故2.已知点在函数的图象上，则的最小值为（

）A. B.8 C. D.答案：D解析：解答过程：因为点在函数的图象上，则有，，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为.3.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.27 D.24答案：A解析：思路：利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。解答过程：每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法．故选：A.4.一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数，要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个，从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为，故​恰好件不合格的概率为.5.已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（）2.83.35.06.77.22.64.05.15.4A.2.5 B.2.7 C.2.9 D.3.1答案：C解析：思路：先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可.解答过程：由题意，可得，，所以样本点的中心坐标为，代入回归直线方程，可得，解方程得.6.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.93答案：D解析：思路：根据全概率公式求解即可.解答过程.7.随机变量，则等于（

）A.16 B.8 C.5 D.4答案：C解析：解答过程：因为随机变量，所以期望，再根据期望的线性性质：有，代入得：.8.第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（）A.0.2856 B.0.1428 C.0.1587 D.0.5答案：A解析：思路：设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件，结合正态分布的概率计算，利用全概率及贝叶斯公式进行求解．解答过程：由于飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，得，则，，.设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件，则，，所以.故选：A.二、多选题（每题6分）9.下列结论正确的是（

）A.若随机变量，则B.某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2C.若，，且，则C，D相互独立D.，，，则的值为答案：BCD解析：思路：通过二项分布方差计算公式与方差的性质，条件概率，全概率公式求解.解答过程：，，选项错误；设小黄同学做对的题目数量为，则，期望为，选项正确；根据条件概率公式，由，得，所以，则C，D相互独立，选项正确；由全概率公式，即，解得，选项正确.10.如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（）A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B.由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPaC.由方程可知，当时，则预测值D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好答案：AD解析：思路：根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据回归方程计算出预测值，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项.解答过程：对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确；对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；对于C，当时，，所以预测值为24.5，故C错误；对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程的预报效果更好，故D正确．11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（）A.第48行的所有数字之和被7除的余数为1B.第20行第7个数和第8个数的比为C.从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为D.第行所有数的平方和等于第行最中间的数答案：ACD解析：思路：对A：由题意可得，再借助二项式的展开式计算即可得；对B：计算即可得；对C：借助计算即可得；对D：借助，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得.解答过程：对A：第48行的所有数字之和为，由，故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确；对B：第20行第7个数为，第8个数为，，故B错误；对C：第行的第4个数字为，由，则，故C正确；对D：第行所有数的平方和为，第行最中间的数为，由，则的展开式中的系数为，又对，有，则其展开式中的系数为，即有，故D正确.故选：ACD.第二卷三、填空题（每题5分）12.将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有__________种.（用数字填写）答案：解析：解答过程：由题设，必有一个学校有两名大学生，故不同的分配方法有.13.袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．答案：##0.5解析：思路：依题意第一次取得红球可得袋中还有2个红球和2个白球，从而求出取得白球的概率.解答过程：第一次取得红球，此时袋中还有2个红球和2个白球，现从中随机取出一个球，则取得白球的概率，故已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为.14.已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为________.（，结果保留1位小数）答案：解析：思路：先求样本中心点，再由样本中心点求回归直线的参数，最后结合二次函数即可求出最值时变量值.解答过程：由已知可得，所以，同理，代入，得，所以，所以，则，令，则，当时，z取最大值，此时．故答案为.四、解答题15.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：（1）求的值.（2）求展开式中的系数.答案：（1）6（2）1解析：思路：（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于的等式，即可解得的值；（2）写出展开式通项，令的指数为，求出的值，代入通项后即可得解.（1）由题意，，解得.（2）的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的系数为.16.在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题.（1）如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；（2）如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；（3）如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望.答案：（1）（2）（3）分布列见解析，解析：思路：（1）（2）根据古典概率计算公式结合组合数计算即可求解；（3）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望.（1）如果抽出的题不再放回，设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，则；（2）如果抽出的题再放回，设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，则；（3）根据题意，可能的取值为，，，所以的分布列为0123故随机变量的数学期望.17.2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格：性别不喜欢观看“赣超”联赛喜欢观看“赣超”联赛男性25150女性5075（1）是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关；（2）用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，（结果精确到0.001）．α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关，利用独立性检验思想判断（2）分布列：0123解析：思路：（1）通过列联表计算出值，结合独立性检验与临界值比较即可.（2）确定随机变量的值，根据二项分布概率计算公式得到分布列，进而求出数学期望.（1）假设：喜欢观看“赣超”联赛与性别无关，，则假设不成立，即有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关.（2）喜欢观看“赣超”联赛的市民中女性的概率为：，则.的可能取值为0，1，2，3.，，，，所以的分布列为：0123则.18.实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下：（1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度；（2）建立关于的线性回归方程；（3）若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预