2025-2026学年广东省深圳市华胜实验学校高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.4.下列说法错误的是（

）A.B.，是单位向量，则C.若，则D.两个相同的向量的模相等5.在中，已知，，，则（）A.1 B. C. D.36.已知非零向量满足且，则与的夹角为（）A. B. C. D.7.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.8.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B.异面直线BM与A1E所成角是定值C.一定存在某个位置，使DE⊥MOD.三棱锥A1­ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值二、选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C. D.若，则10.下列命题中，不正确的有（）A.有相同起点的两个非零向量不共线B.“”的充要条件是且C.若与共线，与共线，则与共线D.向量与不共线，则与都是非零向量11.已知定义在上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（）A. B.若，则C.若，则 D.，，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则______．13.已知是一条直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法：①若，且，则；②若，且，则，且；③若，，则．其中正确的序号有______．14.已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量.（1）若，求；（2）若，求向量与的夹角的余弦值.16.△的内角的对边分别为，已知，（1）求角；（2）若，△的面积为，求△的周长.17.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式．（2）若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为．（1）求圆柱的表面积；（2）求三棱锥外接球的体积．19.如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求点到平面的距离.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：解：依题意，集合，又因为，所以．故选：C．2.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.解答过程：因为，故，故故选：C.3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据奇函数可排除C选项，由函数为增函数可排除A、B选项，得出答案.解答过程：选项A.函数为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确.选项B.函数为奇函数，但在定义域内不是增函数，故不正确.选项C.函数不是奇函数，不正确.选项D.函数是奇函数且在上为增函数.故正确.故选：D4.下列说法错误的是（

）A.B.，是单位向量，则C.若，则D.两个相同的向量的模相等答案：C解析：思路：由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，是单位向量，则，故B正确；对于C，若，则不能比较大小，故C错误；对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确.故选：C.5.在中，已知，，，则（）A.1 B. C. D.3答案：D解析：思路：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.解答过程：设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.方法提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．6.已知非零向量满足且，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，结合向量的数量积的运算，求得，再由向量的夹角公式，即可求解.解答过程：由向量满足，由，可得，可得，所以，所以与的夹角为.故选：C.7.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.解答过程：在直角梯形中，，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，则有，所以该平面图形的高为.故选：C.8.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B.异面直线BM与A1E所成角是定值C.一定存在某个位置，使DE⊥MOD.三棱锥A1­ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值答案：C解析：思路：取中点，连接，，证明平面，然后判断．取的中点为，连接，，说明为异面直线与所成的角．求解即可判断；连接．推出．判断，判断．推出为定值，判断正确．解答过程：解：取中点，连接，．为的中点，，又为的中点，且，四边形为平行四边形，．，，平面平面，平面，与平面垂直的直线必与直线垂直，正确；取的中点为，连接，，则且，四边形是平行四边形，，为异面直线与所成的角．设，则，，，，故异面直线与所成的角为定值，正确；连接．△为等腰直角三角形且为斜边中点，．若，则平面，．又，，，，又，平面，，与已知矛盾，错误；，为三棱锥的外接球球心．又为定值，正确；故选：．方法提示：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C. D.若，则答案：BC解析：思路：根据已知条件，运用特殊值法，并结合共轭复数的概念，即可求解．解答过程：对于A选项，当，时，，故A选项错误，对于B选项，设，，（），，则，故B选项正确，对于C选项，设，，（），所以，则，又，，所以，所以，故C选项正确，对于D选项，当，时，，但，故D选项错误．10.下列命题中，不正确的有（）A.有相同起点的两个非零向量不共线B.“”的充要条件是且C.若与共线，与共线，则与共线D.向量与不共线，则与都是非零向量答案：ABC解析：思路：利用共线向量，向量的模，充分必要条件的定义进行判定．解答过程：对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故A错误；对于B，充要条件是且方向相同，故B错误；对于C，当时，与共线不一定成立，故C错误；对于D，向量与不共线，则与都是非零向量，故D正确．11.已知定义在上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（）A. B.若，则C.若，则 D.，，使得答案：ACD解析：思路：由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否．解答过程：解：由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，所以，故A对，若，则，得，故B错，若，则或，因为，所以或，故C正确，因为定义在上函数的图像是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确，故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则______．答案：解析：解答过程.13.已知是一条直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法：①若，且，则；②若，且，则，且；③若，，则．其中正确的序号有______．答案：①②解析：思路：利用直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可．解答过程：对于①，因为两个平行平面中的一个平面与已知平面垂直，则另一个平面也与这个平面垂直，故①正确；对于②，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，故②正确；对于③，可能，故③错误．14.已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为______.答案：解析：思路：根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最小值.解答过程：由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，∵平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，令，则，故，∴点到平面的距离为，∴圆的半径为，由得，，∴，∴的最小值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量.（1）若，求；（2）若，求向量与的夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得，由此得到；（2）由向量垂直的坐标表示可构造方程求得，由向量夹角公式可计算求得结果.（1），由可得：，解得：，．（2），由可得：，解得：，.16.△的内角的对边分别为，已知，（1）求角；（2）若，△的面积为，求△的周长.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由正弦定理的边角关系、两角和正弦公式可得，进而可求；（2）由余弦定理有由三角形面积公式求，进而求出，即可得△的周长.解答过程：（1）由，则①，在△中，则②，由①②得：，又，且，即.（2）由余弦定理得：，即，∵，故即∴△的周长为.17.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式．（2）若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？答案：（1）（2），540元解析：思路：（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数；（2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可．（1）由题意可知，当时，；当时，，综上，.（2）当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为．（1）求圆柱的表面积；（2）求三棱锥外接球的体积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先求出AP、BP，即可得到，再由，求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得；（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得．（1）在中，，，，又在中，，，，而点P在圆柱的底面圆O上，且为圆的直径，，所以，于是由，得，，圆柱的表面积．（2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，则外接球的球心是的中点，半径，所以三棱锥外接球的体积．19.如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求点到平面的距离.答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).解析：思路：(1)利用中位线构造平行四边形，证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；(2)先证平面，再根据面面垂直的判定