2025-2026学年广东省深圳市龙华区高三下册考前自测数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知样本数据则该组数据的上四分位数是（）A.6 B.9 C.9.5 D.103.已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（）A. B.C. D.5.已知，则的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.27.已知函数，若且，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.有三堆小球，每堆有5个，球上分别标有数字1，2，3，4，5．从每堆中各随机取一个小球，记取出的号码依次为，，，在的条件下，是8的倍数的概率是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.最小值为1 B.最小值为2C. D.最小值为410.已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（）A. B.C.，，使得 D.11.在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（）A.若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线B.若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆C.若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线D.若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，，且，则_________．13.已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________．14.在中，，，，则的面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，．（1）证明：平面平面；（2）若是等边三角形，，为的中点，求直线与平面所成角的余弦值．16.已知向量，，函数．（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）当时，求函数的值域；（3）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．17.已知函数，直线与曲线相切．（1）求实数的值；（2）若是函数的极大值点．①求实数的取值范围；②讨论的零点个数．18.已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．（1）当，时，①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望；（2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值.19.已知抛物线的焦点为，准线为．设点列在抛物线上，且均位于第一象限．对于每个，过点作准线的垂线，垂足为，连接交抛物线于另一点，已知．（1）求点的坐标；（2）设为锐角，且满足，其中为点的纵坐标，证明，并求关于的通项公式；（3）记，设．证明：对任意正整数，都有．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：集合，易知函数的值域为，即，集合，即，，因此.2.已知样本数据则该组数据的上四分位数是（）A.6 B.9 C.9.5 D.10答案：C解析：解答过程：因为上四分位数就是75%分位数，所以由，则上四分位数是．3.已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据给定条件，利用复数模的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.解答过程：复数，，则，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C4.如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且，所以，故，所以，所以.5.已知，则的零点所在的区间是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可.解答过程：令的值即的零点．而，即，，而，所以，所以函数的零点就是，．要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小，显然，，．6.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．解答过程：解：双曲线：的一条渐近线不妨取：，由双曲线：的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，可得到的距离为，所以，解得，故双曲线C的离心率为故选：B7.已知函数，若且，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：图像如图．设则．所以，，，设，则．所以在上单调递增．，．所以时，．8.有三堆小球，每堆有5个，球上分别标有数字1，2，3，4，5．从每堆中各随机取一个小球，记取出的号码依次为，，，在的条件下，是8的倍数的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先列举出所有满足的有序三元组得到总样本数，再从中筛选出满足是8的倍数的样本数，最后用符合条件的样本数除以总样本数得到所求概率.解答过程：而．所以共包括种情况，其中是8的倍数只能是情形，共种情况，故所求概率为．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.最小值为1 B.最小值为2C. D.最小值为4答案：BD解析：思路：根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可.解答过程：对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，取，则，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：BD10.已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（）A. B.C.，，使得 D.答案：BCD解析：思路：对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断.解答过程：设公比为，，则，两式作比得，进而，因此，故选项B正确.，因此公差，因此，选项A错误.，指数函数增长速度远快于一次函数，当时.因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确.则，所以，因此，选项D正确.11.在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（）A.若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线B.若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆C.若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线D.若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆答案：ACD解析：思路：利用根据抛物线，椭圆，双曲线，圆的定义判断.解答过程：因为点在线段的中垂线上，所以，A选项，就是，，由可知轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故A正确；B选项，由，得，若与不重合，则点的轨迹为椭圆；若与重合，则点轨迹是圆，故B错误；C选项，由得，则轨迹是以、为焦点的双曲线，故C正确；D选项，由抛物线的对称性可知，会存在无数多组关于抛物线的对称轴对称的点，显然不可能是圆，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，，且，则_________．答案：解析：思路：利用题中数列的递推公式依次代入求解即可.解答过程：因为，，，所以，，.故答案为.13.已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________．答案：解析：解答过程：设内切球半径为，则，则，则内切球的体积为14.在中，，，，则的面积为________．答案：解析：思路：先由和求出，再结合正弦定理求出，由求解.解答过程：中，且（1），（2），（2）-（1）得，．由正弦定理，．.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，．（1）证明：平面平面；（2）若是等边三角形，，为的中点，求直线与平面所成角的余弦值．答案：（1）三棱柱是直三棱柱，平面，又平面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面．（2）解析：思路：（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面．（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系求余弦.（1）略（2）以过且与平行的直线为轴，，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，.，，，设平面的法向量为则，令得．设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的余弦值为.16.已知向量，，函数．（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）当时，求函数的值域；（3）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数的解析式和周期；（2）根据正弦函数的性质求解；（3）根据伸缩平移变换得到的图象，几何结合正弦函数的性质求参数范围.（1）由题可知，则，最小正周期．（2）当时，，，所以值域为；（3）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再向上平移个单位长度，得到．当时，，．方程有两个不同实数解，即有两个不同解，等价于在上有两个不同解．结合正弦函数图像，可知，解得．17.已知函数，直线与曲线相切．（1）求实数的值；（2）若是函数的极大值点．①求实数的取值范围；②讨论的零点个数．答案：（1）（2）①；②答案见解析解析：思路：（1）利用导数来求切线斜率，再利用题意得方程组求解即可；（2）①利用分类讨论思想，结合导数的正负来判断单调性，即可得极值点是否满足题意；②利用分类讨论思想，结合零点存在性定理可判断零点个数.（1）设直线与曲线相切于点，由切点在直线上得，，因为，所以切线斜率为，可得,代入可得:,则可解得；（2）①由，，求导可得：，当时，，时，；时，，所以在上单调递减；在上单调递增，所以是函数的极小值点，不满足题意；当时，令得或；令得，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，不满足题意；当时，，所以在上单调递增；不符合题意；当时，令得或；令得，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增所以是函数的极大值点，满足题意．综上：实数的取值范围为．②由，根据①可知，在上递增；在上递减，在上递增，则，由，令，则，当，即时，，则在上无零点，又时，，则在上无零点，故此时零点个数为0；当，即时，同理只有，即零点个数为1；当，即时，，，使得，即零点个数为2，综上：时，无零点；时，有1个零点；时，有2个零点．18.已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．（1）当，时，①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望；（2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值.答案：（1）①；②（2）解析：思路：（1）①根据“正难则反”的原则结合独立事件的乘法公式计算求解；②列举随机变量的可能取值，计算对应概率后，再根据数学期望计算公式计算求解；（2）设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中，则，求导，根据导数计算可得最值.（1）①易知小明从甲口袋中有放回摸出一个白球的概率为，从乙口袋中摸出一个白球的概率为，设“小明4次摸球中，至少摸出一个白球”为事件，则“小明4次摸球都是红球”为事件，则，所以②的所有可能取值为0，1，2，3，4，由①得，，，，，所以；（2）易知此时