2025-2026学年广东省深圳市盐田高级中学高一下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则是异面直线D.若，则或是异面直线3.向量，，若与同向，则（）A. B. C.3 D.±34.如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（）A.1 B.2 C.4 D.85.已知非零向量，满足m→=m→+n→A.−13n→ B.13n6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（）A. B. C. D.7.如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）9.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（）A.平面 B.平面C.点在平面内 D.点在平面内10.点O为所在平面内一点，则（）A.若，则点O为的重心B.若，则点O为的内心C.若，则点O为的垂心D.在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心11.记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（）A.a可能是最大边 B.b可能是最大边C.a可能是最小边 D.c可能是最小边三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则_____；_____．13.如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米．14.如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15.在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求边上的高的长.16.已知，，且.（1）求向量与的夹角大小.（2）求.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．（1）设平面平面，证明：；（2）证明：；（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．18.如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.（1）若，求实数的值；（2）若，且满足，①求实数的值；②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，，求的最小值.19.在中，内角的对边分别为，且点是线段上的一点．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求的值；（3）若为的角平分线，且，求的最小值．

数学一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断．解答过程：解：，，则在复平面内对应的点为，位于第一象限．2.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则是异面直线D.若，则或是异面直线答案：D解析：解答过程：对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误；对于D，若，则直线m,n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。3.向量，，若与同向，则（）A. B. C.3 D.±3答案：A解析：解答过程：由题设知，则，则，则，因为与同向，所以，故.4.如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（）A.1 B.2 C.4 D.8答案：D解析：解答过程：过作交轴于点，可得，因为，所以为等腰直角三角形，所以，根据斜二测画法，可得，如图所示，则，所以的面积，故选项D正确.5.已知非零向量，满足m→=m→+n→A. B.13n→ C. D.答案：D解析：思路：根据向量投影的计算公式计算即可.解答过程：由题意，已知m→=m化简得m2=m根据向量投影的计算公式，可得在方向上的投影向量为(m→+6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为，所以该圆锥的表面积为，设球O的半径为R，则球O的表面积为，由题意知，所以，圆锥的体积，球O的体积，所以.7.如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案.解答过程：当，即可得平面，此时是最小距离，然后把平面与平面展开成共面，如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为此时，即此时取到最小值，由正方体可知：，所以.故选：A8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.解答过程：和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上，又，所以的角平分线与边垂直，所以是等腰三角形，且.取的中点，连接，则.由题意知，，，所以.以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，故，设（），则，即..所以，当时，取得最小值，为.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）9.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（）A.平面 B.平面C.点在平面内 D.点在平面内答案：BD解析：思路：B选项，根据正方体和平行四边形的性质得到，然后利用线面平行的判定定理即可得到平面；D选项，利用中位线的性质得到，然后利用平行的传递性得到，即可证明点在平面内；A选项，根据图形即可判断；C选项，根据平面判断.解答过程：连接，在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故B正确.因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确；再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误；由平面，可知点不在平面内，故C错误.故选：BD.10.点O为所在平面内一点，则（）A.若，则点O为的重心B.若，则点O为的内心C.若，则点O为的垂心D.在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心答案：ABD解析：思路：根据题意，结合平面向量的线性运算法则，结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，则以为邻边作平行四边形，可得，且，设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，可得四边形是菱形，则，因为，所以，即，即和共线，即是的角平分线，同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确.对于C中，如图所示，取分别为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，因为，可得，所以，所以点在线段的垂直平分线上，所以点为的外心，所以C不正确；对于D中，由,因为，可得，即，设为的中点，可得，所以，即，且为的中点，所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.故选：ABD.11.记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（）A.a可能是最大边 B.b可能是最大边C.a可能是最小边 D.c可能是最小边答案：BCD解析：思路：应用正弦定理及两角和差公式化简，再结合诱导公式得出或计算判断即可.解答过程：由题意可得所以由正弦定理可得所以即即等价于所以则或即若则c是最大边，a，b可能是最小边；若则b是最大边，a，c可能是最小边.综上，选项B，C，D正确.故选：三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则_____；_____．答案：①.0②.解析：思路：根据题意建立直接坐标系，根据向量的坐标运算可解.解答过程：如图，建立平面直角坐标系，则，所以，，故0，13.如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米．答案：解析：思路：在中，利用正弦定理求得长，在中利用三角函数的定义即可求得长.解答过程：如图，在中，，由正弦定理，，则，在中，.故答案为.14.如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为______.答案：6解析：思路：分类讨论水平面经过点，，的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解.解答过程：1.当，，处的小孔都在水平面时，如图一，三棱台的体积为，所以容器所装水的多面体的体积；2.当只有1个小孔在水平面上方时，（1）当处的小孔在水平面上方时，如图二；当处的小孔在水平面上方时，图三；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大；（2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为，①当在线段上时，如图四，设，，则，因为正方体的体积为，棱台的体积为，，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.②当在线段上时，如图五，设，，的中点为，可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同，可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同，所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为.综上所述：该容器可装水的最大体积为6.故6.方法提示：关键点睛：分类讨论水平面经过点，，的个数，结合图形分析求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15.在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求边上的高的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角；（2）先根据余弦定理求出边的值，再通过三角形面积公式求出边上的高.（1）由正弦定理可得，因为，所以，又因为锐角三角形，，所以.（2）由余弦定理可知又因即代入上式可得则的面积为则解得.16.已知，，且.（1）求向量与的夹角大小.（2）求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量数量积运算法则计算出，从而求出夹角大小；（2）根据，结合向量数量积运算法则计算即可.（1）由，得，即，，解得.又，.（2）.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．（1）设平面平面，证明：；（2）证明：；（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）点M为线段上靠近C的四等分点，解析：思路：（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行.（2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直.（3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长.（1）因为四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）因为平面，又平面，所以.又底面为矩形，所以.平面，，所以平面.平面，所以.在中，，，，所以，所以.平面，，所以平面.又平面，所以.（3）如图：过作，交于点，过作交于点.因为，平面，平面，所以平面.同理平面.又平面，，所以平面平面.由（1）知，，又，则，则，因为，.所以，所以点M为线段上靠近C的四等分点，.18.如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.（1）若，求实数的值；（2）若，且满足，①求实数的值；②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，，求的最小值.答案：（1），；（2）①；②.解析：思路：（1）由条件和平面向量基本定理可得；（2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值；②由三点共线得，再用基本不等式可得最小值.（1）因为，所以，所以，又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；（2）①因为三点共线，所以存在实数使得（），所以，因为，所以，所以，又因为，所以，且与不共线，所以，解得．所以.②由①可知，，且，，所以，因为三点共线，所以，且，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．19.在中，内角的对边分别为，且点是线段上的一点．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求的值；（3）若为的角平分线，且，求的最小值．答案：（1）（2）（3）．解析：思路：（1）利用正弦定理化简即可；（2）解法一：根据正弦定理，计算即可；解法二：假设，利用