2025-2026学年广东省中山市华辰实验学校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若数列满足，，则（）A.4 B.2 C.0 D.2.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.3.已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.函数的图象在点处的切线方程为（）．A. B. C. D.5.已知函数，则（）A. B. C. D.6.设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.在数列中，，，，则的前20项和（）A.621 B.622 C.1133 D.11348.已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（）A. B. C.3 D.410.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列是递增数列D.当时，的最大值为811.已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（）A. B. C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.正项等比数列，满足，则______．13.若，则_____，_____．14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤.15.已知（1）当时，求的单调区间；（2）若当时为单调递增函数，求实数a的取值范围.16.在数列中，已知．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前项和．17.已知数列的前项和为．若为等差数列，，，求和的表达式；若数列满足，求．18.已知函数.（1）证明：当时，；（2）从编号为1～100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明.19.已知函数的定义域为，若，则称为类周期函数，为的一个类周期.（1）证明：不是类周期函数；（2）若是函数的一个类周期，且，记，求数列的前项和；（3）若且是类周期函数，求的取值范围.

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若数列满足，，则（）A.4 B.2 C.0 D.答案：D解析：思路：根据递推公式，依次求出数列各项的值，直接计算的值解答过程：当时,，同理,所以.故选：D.2.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据基本初等函数的求导公式即可结合选项求解.解答过程：对于A,,故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C错误，对于D,,故D错误，故选：B3.已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：思路：根据等比数列的定义即可得，进而推出且，反之不成立，即可判断.解答过程：数列为等比数列设其公比为，则，若，即数列不一定为等比数列，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：B.4.函数的图象在点处的切线方程为（）．A. B. C. D.答案：C解析：思路：求导，再根据导数的几何意义即可得解.解答过程：依题意，，因为，所以，所以切线方程为，即.故选：C．5.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解.解答过程：，令可得解得，所以，所以，故选:B.6.设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先求函数的导数，利用导数在内存在零点，利用参变分离，转化为函数值域问题，即可求解.解答过程：依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以.故选：B7.在数列中，，，，则的前20项和（）A.621 B.622 C.1133 D.1134答案：C解析：思路：设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案.解答过程：设，，则，.由已知可得，，即，所以为以2为首项，2为公差的等差数列，.，即，所以为以1为首项，2为公比的等比数列，.所以，的前20项和.故选：C.8.已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式.解答过程：令函数，由，得，又，求导得，函数在R上单调递增，不等式，解得，所以不等式的解集为.故选：A二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（）A. B. C.3 D.4答案：CD解析：思路：求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．解答过程：由题意，，令，解得，令，解得或，所以在上单调递增，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.故选：CD.10.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列是递增数列D.当时，的最大值为8答案：ABD解析：思路：根据已知条件求出，可判断AB；写出数列的前n项和公式，可判断CD.解答过程：设等差数列的公差为，由是与的等比中项，得，即，解得，故AB正确；则，，，所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误；当时，，所以的最大值为8，故D正确.故选：ABD11.已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：AD解析：思路：设公比为.由，得，整理得，即.令，利用导数判断的零点在上，即，从而可以判断选项的正误.解答过程：成等比数列，设公比为.，，整理得，即.令，则.由，得或；由，得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.的极大值为，极小值为.又，在区间上有一个零点.即时，，.，等比数列中，均为负数，均为正数..故选.方法提示：本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.正项等比数列，满足，则______．答案：9解析：思路：由数列为等比数列，利用等比数列的性质化简已知的式子，再利用完全平方公式变形后，根据此等比数列为正项等比数列，开方后即可求出所求式子的值．解答过程：∵{an}为等比数列，∴a2a4=a32，a42=a3a5，a4a6=a52，∴=++==81，又a3＞0，a5＞0，∴=9．故9．方法提示：此题考查了等比数列的性质，以及完全平方公式的运用，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．13.若，则_____，_____．答案：①.②.解析：思路：利用赋值法，求得，对的展开式两边求导，再利用赋值法可求得正确答案.解答过程：令x＝0可得：（1﹣0）2021＝a0，则a0＝1，令x＝1可得：（1﹣2）2021＝a0+a1+a2+...+a2021，所以a1+a2+...+a2021＝﹣1﹣a0＝﹣1﹣1＝﹣2，又由（1﹣2x）2021＝两边分别求导可得：2021×（1﹣2x）2020×（﹣2）＝，再令x＝1可得：2021×（1﹣2）2020×（﹣2）＝a1+2a2+...+2021a2021，所以a1+2a2+...+2021a2021＝2021×（﹣2）＝﹣4042，故﹣2；﹣404214.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.答案：①.②.1解析：思路：（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.解答过程：（1）由题意得，，则，，则.（2）由题意得，，，∴，令，则，令，则，显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.故，1.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤.15.已知（1）当时，求的单调区间；（2）若当时为单调递增函数，求实数a的取值范围.答案：（1）在上的单调递减，在上单调递增.（2）解析：思路：（1）求导，令和求解即可得到对应的减区间和增区间；（2）依题意，在上恒成立，分离参数求解即可.（1）的定义域为，当时，∴,当时，，当时，，所以在上的单调递减，在上单调递增.（2）当时为单调增函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令（），则恒成立，所以在单调递减，所以.∴.16.在数列中，已知．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前项和．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解.（1）因为数列中，，可得，,所以，因为，所以数列是首项为2，公比为的等比数列．（2）由（1），可得，所以，所以数列的前项和．17.已知数列的前项和为．若为等差数列，，，求和的表达式；若数列满足，求．答案：，；.解析：思路：设等差数列的通项公式，并结合条件列式求解即可；根据题干再构造出一组求和，两式做差得到，分步讨论进而得出.解答过程：解：设等差数列的通项为（为等差数列的公差），则，解得，所以，．，①当时，，②由①②得，，，当时，，，所以当时，；当时，；当时，，所以.方法提示：本题考查等差数列通项、前项和的求法，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题.求数列通项、前项和的方法如下：判断数列是等差数列还是等比数列，列出相应通项公式；根据和之间的关系，求得（讨论符合的取值）；判断数列是等差数列还是等比数列，列出前项和的式子.18.已知函数.（1）证明：当时，；（2）从编号为1～100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）先利用导数证明函数在定义域上为增函数，再考虑当时，，故当时，（2）先计算概率，再证明，即证明，最后证明，即证，即证，即证，而这个结论由（1）所得结论可得.（1）由已知得函数的定义域为，∵，∴函数在区间上单调递增，又∵∴当时，，即.（2）由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为，∵，同理，，，，∴，∴，再证：，即证：，即，，由（1）得，当时，，取，则，证毕.19.已知函数的定义域为，若，则称为类周期函数，为的一个类周期.（1）证明：不是类周期函数；（2）若是函数的一个类周期，且，记，求数列的前项和；（3）若且是类周期函数，求的取值范围.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）假设是类周期函数，且为的一个类周期，根据题中定义得出，令，可得出，然后对是奇数、偶数进行分类讨论，推导出结论不成立，结合反证法可得出结论；（2）根据定义得出，令，可求出的值，再令，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求得；（3）由定义得出，方法一：可得出，令，利用导数分析函数的单调性，并求其值域，可得出关于的不等式，即可解出的取值范围；方法二：令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出关于的不等式，解之即可.（1）假设是类周期函数，且为的一个类周期，则由，得，令，得，从而，若为奇数，则由，得，即①若为偶数，则由，得，即②，①，②式不可能恒成立，故假设不成立，从而不是类周期函数.（2）因为是函数的一个类周期，所以，令，则，令，则，即，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则.（3）设的类周期为，则由，得，则，方法一：由，得，即，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，若，从而，解得或，即的取值范围为；方法二：令，由题意可知在上存在零点，，若，则单调递减，因为，所以在上存在零点，符合题意，若，则，由，得