2025-2026学年广东省珠海市斗门第一中学高二下册阶段性考试数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.2.在展开式中，的系数为（）A.405 B.270 C.150 D.903.某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.4.函数的图象可能是（）A. B.C. D.5.等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（）A. B. C.3 D.86.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（）A.12种 B.24种 C.36种 D.30种8.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（）A.任意站成一排，有120种排法B.学生不相邻，有24种排法C.教师相邻，有48种排法D.教师不站在两边，有72种排法10.已知，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算__________.13.若是函数的一个极值点，则_____.14.如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁，它们排成一条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）.爬行规则如下：①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行；②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落.当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为.则________；若，写出满足条件的一组为________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记正项数列的前n项和为，已知，．从①；②；③这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项的和，求证：．16.已知函数.（1）求函数的单调区间以及极值；（2）求函数在上的最值.17.在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.18.已知数列的首项，的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）当时，证明：当时，.（3）若有两个零点，求a的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误．2.在展开式中，的系数为（）A.405 B.270 C.150 D.90答案：D解析：思路：根据二项展开式的通项即可求得结果.解答过程：易知展开式中含的项为，所以的系数为.故选：D3.某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据导数的物理意义直接求解即可.解答过程：，当时，，即该物体在时的瞬时速度是.故选：D.4.函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：对求导，可得的单调性进而排除AC；当趋近，故小于可排除D，即可得出答案.解答过程：的定义域为，所以，所以在单调递增，故A，C错误；当趋近，故小于，故D错误.故选：B.5.等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（）A. B. C.3 D.8答案：A解析：思路：根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.解答过程：设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，所以，又，所以，整理得，因为，所以，所以数列前6项的和为.故选：A6.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出函数的导数，利用导函数在内有零点列式求解.解答过程：由，求导得，而函数在区间上不单调，则在内有解，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：C7.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（）A.12种 B.24种 C.36种 D.30种答案：B解析：思路：根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.解答过程：因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法；若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，则有种分配方法；所以不同的安排方式有种；故选：B.8.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可.解答过程：设，则.因为，所以，即，所以在上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在上单调递减，所以，解得.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（）A.任意站成一排，有120种排法B.学生不相邻，有24种排法C.教师相邻，有48种排法D.教师不站在两边，有72种排法答案：AC解析：思路：根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D.解答过程：对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确；对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误；对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确；对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误；故选：AC.10.已知，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.答案：AD解析：思路：根据题意，利用二项展开式的形式，结合选项，利用赋值法，逐项计算，即可求解.解答过程：对于A，令，可得，所以A正确；对于B，令，可得，所以，所以B错误；对于D，令，可得，因为，两式相加得，所以D正确；对于C，令，则，所以，其展开式的通项为，令，可得，所以，所以C错误.11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，答案：ACD解析：思路：求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.解答过程：对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算__________.答案：解析：思路：根据排列数、组合数求解即可.解答过程：因为，，所以.13.若是函数的一个极值点，则_____.答案：解析：思路：对函数进行求导，是极值点，则，计算出的值代入原函数计算即可.解答过程：，因为是函数的极值点，所以，即，故，所以，.故14.如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁，它们排成一条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）.爬行规则如下：①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行；②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落.当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为.则________；若，写出满足条件的一组为________.答案：①.②.解析：解答过程：当左侧有1只蚂蚁，右侧有2只蚂蚁，则左侧和右侧最前面的蚂蚁碰头一次后，左侧蚂蚁调头爬到桌面边缘掉落，而右侧碰头的蚂蚁调头后与后面的蚂蚁再一次碰头，然后两只蚂蚁调头都爬到桌面边缘掉落，这样一共就是碰头2次，所以；当左侧有1只蚂蚁，右侧有12只蚂蚁，依次编号为，则左侧和号碰头一次后，左侧蚂蚁调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头次，号调头与号碰头一次后，号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头次，号调头与号碰头一次后，号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头次，号调头与号碰头一次后，号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头次，号调头与号碰头一次后，号和号都调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头次，所以此时有，故满足条件的一组为，即，任意一组正整数解都符合要求，例如

（也可填等都正确）.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记正项数列的前n项和为，已知，．从①；②；③这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项的和，求证：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）选择①利用可得答案；选择②利用累乘法可得答案；选择③利用等差数列的定义可得答案；（2）利用裂项相消求和可得答案.（1）选择①，当时，而时，满足左式，∴．选择②，，选择③，由，得，从而得．（2）因为，所以因为，所以，∴.16.已知函数.（1）求函数的单调区间以及极值；（2）求函数在上的最值.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值（2），解析：思路：(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值;(2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值.（1）函数的定义域是.又，令，得，令，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极大值为，无极小值.（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以所以在上的最小值为.又因为，所以，所以函数在上的最小值为，即.17.在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.答案：（1）；（2），，，；(3).解析：思路：(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果(2)由通项公式分别计算当时的有理项(3)设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果解答过程：（1）由题意知：，则第4项的系数为，倒数第4项的系数为，则有即，.（2）由（1）可得，当时所有的有理项为即，，，.（3）设展开式中第项的系数最大，则，，故系数最大项为.方法提示：本题考查了二项式定理的展开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法．18.已知数列的首项，的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用等比数列的定义即可证明；（2）对进行求导，再利用错位相减法即可求出.（1）因为，所以，所以，又，即，所以数列是公比和首项均为2的等比数列.（2）由（1），所以，所以，所以，设所以，所以，所以，又，所以.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）当时，证明：当时，.（3）若有两个零点，求a的取值范围.答案：（1）（2）证明见解析；（3）.解析：思路：（1）根据导数的几何意义，求出和，利用点斜式写出切线方程；（2）设，利用导数得在上恒成立，从而可得函数的单调性和最值；（3）设，分情况：，，和研究函数单调性和最值，从而得解.（1）当时，，则，从而，，故曲线在点处的切线方程为，即；（2）设，则.显然在上恒成立，所以在上单调递减.又，所以在上恒成立，所以在上单调递增，故，即当时，.（3）由题意可得.设，则.①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增.