2025-2026学年广西南宁沛鸿民族中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间150分钟.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（）A. B.C. D.2.中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、药墨中选购1种，则不同的选购方式有（

）A.种 B.种 C.种 D.种3.公比不为零的等比数列中，，，（）A.2 B.4 C.9 D.84.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.已知随机变量的分布如下：若，则（）012A. B.7 C. D.226.对于事件，，，，，（）A. B. C. D.7.已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线C交于P、Q两点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.若在上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式共项 B.含的项的系数为C.只有第项的二项式系数最大 D.展开式的各项系数的和为110.已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A.若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种B.在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为C.两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小D.第二次抽到2号球的概率为11.已知函数，则（）A.存在实数，使得的图象关于点对称B.当时，的极值之和为C.存在实数，，使得有三个零点D.当时，有两个零点第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，向量，若，则_____13.一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答）14.已知直线与圆相交于M，N两点，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求其前n项和为．16.树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立.（1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；（2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望.17.如图，在三棱柱中，平面，，，分别为棱的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角的大小.18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.19.已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

数学满分150分，考试时间150分钟.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解.解答过程：对于A，设存在实数，使得，可得，所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意；对于B，设存在实数，使得，可得，所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意；对于C，向量，不存在实数使得，所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意；对于D，设存在实数，使得，可得，所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.故选：B.2.中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、药墨中选购1种，则不同的选购方式有（

）A.种 B.种 C.种 D.种答案：A解析：解答过程：每个人有3种选择，根据分步乘法计数原理可知共有.3.公比不为零的等比数列中，，，（）A.2 B.4 C.9 D.8答案：D解析：思路：利用等比数列的基本性质和通项公式求解.解答过程：已知，则​，因为等比数列各项不为0，所以.所以a1+3a所以q2=a4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用导数求出时的导数值即直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求解.解答过程：由题，当时导数值为，所以直线方程为，即，故A正确.故选：A.5.已知随机变量的分布如下：若，则（）012A. B.7 C. D.22答案：C解析：思路：先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据D2X+5=4D解答过程：由题意得，，即，因为，所以，即，联立解得，，，则DX=4×1所以D26.对于事件，，，，，（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用概率乘法公式与随机事件的概率加法公式求出，再由对立事件的概率公式计算即得.解答过程：因为PAB又由可得，即PB=1−2故.7.已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线C交于P、Q两点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：本道题先设出P,Q坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算e，即可．解答过程：设,结合直角三角形满足的定理可知,,将PQ直线方程,代入双曲线方程,得到:,而,结合代入PQ中,得到,解得,即可.故选:C方法提示：本道题考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大．8.若在上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：∵函数的定义域为，区间在定义域内，对求导得.∵在上是减函数，∴对任意恒成立，即恒成立.∵，∴，不等式变形为恒成立.设，，为开口向上的二次函数，对称轴为，∴当时，取得最小值，.∴，即实数的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式共项 B.含的项的系数为C.只有第项的二项式系数最大 D.展开式的各项系数的和为1答案：BCD解析：解答过程：的展开式共21项，故A错；展开式的通项公式为Tr+1由得，则含的项的系数为，故B正确；展开式的第项（）对应的二项式系数为，，二项式系数最大为，对应，即二项式系数最大的项是第项，故C正确；令得展开式的各项系数的和为，故D正确．10.已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A.若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种B.在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为C.两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小D.第二次抽到2号球的概率为答案：AC解析：思路：利用隔板法求得将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子的方法数判断A；求得第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率判断B；分别求得两次都取到1号球的概率与两次都取到2号球的概率判断C；求得第二次抽到2号球的概率判断D.解答过程：对于A，若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有种，故A正确；对于B，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为，故B错误；对于C，两次都取到1号球的概率为，两次都取到2号球的概率为，又所以两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小，故C正确；对于D，第二次抽到2号球的概率为，故D错误.11.已知函数，则（）A.存在实数，使得的图象关于点对称B.当时，的极值之和为C.存在实数，，使得有三个零点D.当时，有两个零点答案：AC解析：思路：根据时，则，即可判断A，求导，可得函数的极值点，即可代入计算求解B，举例即可求解C，根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解D.解答过程：，当时，则，故存在实数，使得的图象关于点对称，A正确，当时，，当或时，，当，故分别是的极大值点和极小值点，故的极值之和为，故B错误，由于，故令，此时有三个零点，故C正确，，当时，此时，此时，故单调递增，此时至多只有一个零点，故D错误，故选：AC第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，向量，若，则_____答案：解析：解答过程：因为，所以，，，代入可得，解得.13.一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答）答案：432解析：解答过程：相邻时，将歌曲、舞蹈捆绑，内部排列，再与其余4个节目全排列.恰好间隔1个节目时，先从剩余4个节目中任选1个夹在中间，再对歌曲、舞蹈换位排列，整体连同剩余3个节目全排列：综上，总排法.14.已知直线与圆相交于M，N两点，则的最小值为___________.答案：8解析：思路：首先求出直线恒过定点，然后利用向量的数量积运算把的最小值转化为的最小值，最后利用数形结合思想即可求解.解答过程：由直线方程可化为，知直线恒过定点；圆的圆心为，半径；由于，故点P在圆内，直线与圆恒相交于两点M，N.设弦的中点为H，则，从而，，，过圆内定点P的弦中，当弦与垂直时弦长最短，此时圆心到直线的距离，最短弦长为.故最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求其前n项和为．答案：（1）（2）解析：思路：（1）把条件都用，表示出来，解方程求出，，可得等差数列的通项公式；（2）采用裂项求和的方法求数列的前项和.（1）设等差数列的通项公式为：，由题意：，解得.所以.（2）由（1）可得：，所以：，故.16.树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立.（1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；（2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望.答案：（1）（2）.0123解析：思路：（1）利用全概率公式求解；（2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为分别求出，，，由题意得到的所有可能取值，分别求出每个可能取值的概率，求出的分布列和数学期望.（1）记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为，则，由题意得，所以.（2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为则由题意得的所有可能取值为则..所以的分布列为0123所以的数学期望为.17.如图，在三棱柱中，平面，，，分别为棱的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角的大小.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由平面ABC得，E，F分别为棱AB，BC的中点得，得，，得，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，由夹角公式即可求解.（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，且，所以，又，平面，所以平面，又平面，则，又，易得，则，所以，又，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，则，则，由（1）知平面的一个法向量为，又，设平面的法向量为，则，取，设平面与平面的夹角为，则，又，所以，则平面与平面的夹角的大小．18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.答案：（